基本不等式专题---完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
(1)若R b a ∈,,则ab b a 22
2
≥+
(2)若R b a ∈,,则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式(均值不等式)
若*
,R b a ∈,则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*
,R b a ∈,则
ab b
a ≥+2
(2)若*,R b a ∈,则2
2?
?
? ??+≤b a ab
总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论 (1)若0x >,则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”)
(4)若R b a ∈,,则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ (5)若*
,R b a ∈,则2
2111
22b a b
a a
b b
a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当
b a =时取“=” (1)若,,,a b
c
d R ∈,则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有 222(a a a ++???+)222)b b b ++???+(2()a b a b a b ≥++???+
二、题型分析
题型一:利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥
b
a 112+
2、已知
c
b a ,,为两两不相等的实数,求证:
ca bc ab c b a ++>++222
3、已知1a b c ++=,求证:222
13
a b c ++≥
4、已知,,a b c R
+
∈,且1a b c ++=,求证:
abc c b a 8)1)(1)(1(≥---
5、已知,,a b c R
+
∈,且1a b c ++=,求证:
1111118a b c ??????
---≥ ???????????
设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
7、(2013年卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2
2
3
3
22-≥-
题型二:利用不等式求函数值域
(1)2
2
21
3x x y += (2))4(x x y -=
(3))0(1>+=x x x y (4))0(1
<+=x x
x y
题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)
1、已知2>x ,求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值;
变式1:已知2>x ,求函数4
24
2-+=x x y 的最小值;
变式2:已知2 24 2-+=x x y 的最大值; 练习:1、已知5x > ,求函数142y x =-+的最小值; 2、已知5 4x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值; 题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数) 1、当时,求(82)y x x =-的最大值; 变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值; 变式2:设2 3 0< 2、若02< -()63的最大值; 变式:若40< 3、求函数)2 5 21(2512<<-+-=x x x y 的最大值; (提示:平方,利用基本不等式) 变式:求函数)4 1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值; 题型五:巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b =+11 的最小值; 法一: 法二: 变式1:已知22,0,=+>b a b a ,求t a b =+11 的最小值; 变式2:已知28 ,0,1x y x y >+=,求xy 的最小值; 变式3:已知0,>y x ,且11 9x y +=,求x y +的最小值。 变式4:已知0,>y x ,且19 4x y +=,求x y +的最小值; 变式5: (1)若0,>y x 且12=+ y x ,求11x y +的最小值; (2)若+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x + 的最小值; 变式6:已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,,使得14a a a n m =,求n m 4 1+的最小值; 题型六:分离换元法求最值(了解) 1、求函数)1(1 10 72-≠+++= x x x x y 的值域; 变式:求函数)1(1 8 2>-+= x x x y 的值域; 2、求函数5 22 ++=x x y 的最大值;(提示:换元法) 变式:求函数9 41 ++=x x y 的最大值; 题型七:基本不等式的综合应用 1、已知1log log 22≥+b a ,求b a 93+的最小值 2、(2009)已知0,>b a ,求ab b a 211++的最小值; 变式1:(2010)如果0>>b a ,求关于b a ,的表达式 ) (112b a a ab a -++ 的最小值; 变式2:(2012诊断)已知,当1,0≠>a a 时,函数 1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ,若点A 在直线 0=+-n y mx 上,求n m 24+的最小值; 3、已知0,>y x ,822=++xy y x ,求y x 2+最小值; 变式1:已知0,>b a ,满足3++=b a ab ,求ab 围; 变式2:(2010)已知0,>y x , 3 12121=+++y x ,求xy 最大值;(提示:通分或三角换元) 变式3:(2011)已知0,>y x ,12 2 =++xy y x ,求xy 最大值; 4、(2013年(理))设正实数z y x ,,满足 04322=-+-z y xy x ,则当 z xy 取得最大值时, z y x 2 12-+的最大值为( ) A .0B .1C . 4 9 D .3 (提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值) 变式:设z y x ,,是正数,满足032=+-z y x ,求xz y 2 的 最小值;