对数与对数函数试题1

高一数学同步测试（9）—对数与对数函数

一、选择题： 1．

3

log 9

log 28的值是 （ ）

A ．

32 B ．1 C ．2

3 D ．2 2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55

1533

1322

1z y x ===0，则x 、y 、z 的大小

关系是

（ ）

A ．z ＜x ＜y

B ．x ＜y ＜z

C ．y ＜z ＜x

D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3

－x －6)等于

（ ）

A.

2

3 B.

45 C.0

D.

2

1 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则

15

lg 12

lg 等于

（ ）

A ．

b

a b

a +++12

B ．

b

a b

a +++12

C ．

b

a b

a +-+12

D ．b

a b

a +-+12

5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为

（ ）

A ．1

B ．4

C ．1或4

D ．4 或 6.函数y =)12(log 2

1-x 的定义域为

（ ）

A ．(

2

1

，＋∞) B ．［1，＋∞)

C ．(

2

1

，1] D ．(－∞，1)

7．已知函数y =log 2

1 (ax 2

＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．a ＞ 1

B ．0≤a ＜ 1

C ．0＜a ＜1

D ．0≤a ≤1

8.已知f (e x

)=x ，则f (5)等于 （ ）

A ．e

5

B ．5

e

C ．ln5

D ．log 5e

9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ）

10．若2

2log ()y x ax a =---在区间(,1-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．[22]-

B ．)22?-?

C ．(

22?-?

D ．()

22-

11．设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22

等于 （ ）

A ．}1|{>x x

B ．}0|{>x x

C ．}1|{-

D ．}11|{>-

12．函数),1(,1

1

ln

+∞∈-+=x x x y 的反函数为

（ ）

A ．),0(,11

+∞∈+-=x e e y x

x B ．),0(,11

+∞∈-+=x e e y x

x C ．)0,(,1

1

-∞∈+-=x e e y x

x D ．)0,(,1

1

-∞∈-+=x e e y x

x 二、填空题：

13．计算：log 2.56.25＋lg

100

1＋ln e ＋3

log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2

(x ＜1＝的反函数为___ _______． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9

与(lg m )0.8

的大小 ．

16．函数y =(log 4

1x )2－log 4

1x 2

＋5 在 2≤x ≤4时的值域为_____ _ ．

三、解答题：

17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．

18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2

＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．

19．已知f (x )=x 2

＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a

的值，并求此时f (x )的最小值？

20．设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．

21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，

（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（3）证明函数图象关于y=x对称．

22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

对数函数参考答案

一、选择题： ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.

213，14.y =1－2x (x ∈R )， 15. (lg m )0.9≤(lg m )0.8

，16.

84

25≤≤y 三、解答题：

17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2

又a 是对数的底数，

∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜

a

2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得

a

2

＞1，∴a ＜2 又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数

∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜2

18、解：依题意(a 2－1)x 2

＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．

当a 2

－1≠0时，其充要条件是：

?????<--+=?>-0

)1(4)1(0

12

22a a a 解得a ＜－1或a ＞35 又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意． 所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(

3

5

，＋∞) 19、解析：由f (－1)=－2 ，得：f (－1)=1－(lg a ＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，

∴

b

a

=10，a =10b ． 又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2

＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2

＋x lg a ＋lg b ≥0，对

x ∈R 恒成立，

由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2

－4lg b ≤0

即(lg b －1)2

≤0，只有lg b =1，不等式成立． 即b =10，∴a =100．

∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2

－3 当x =－2时，f (x ) min =－3．

20.解法一：作差法

|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|

a x lg )1lg(- |－|a x lg )1lg(+|=|

lg |1

a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|)

∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x

∴上式=－

|lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－|

lg |1a ·lg(1－x 2

) 由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2

)＜0，∴－|

lg |1a ·lg(1－x 2

)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|

解法二：作商法

|

)1(log ||

)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|

∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )x

+11 由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2

＜1 ∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴x

+11

＞1－x ＞0 ∴0＜log (1－x )

x

+11

＜log (1－x )(1－x )=1 ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法三：平方后比较大小

∵log a 2(1－x )－log a 2

(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )] =log a (1－x 2

)·log a

x

x +-11=|lg |12a ·lg(1－x 2

)·lg x x +-11 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2

＜1，0＜

x

x

+-11＜1

∴lg(1－x 2

)＜0，lg

x

x

+-11＜0 ∴log a 2

(1－x )＞log a 2

(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法四：分类讨论去掉绝对值

当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2

)

∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2

＜1

∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2

)＞0

当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0

∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2

)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x 2＞x 1

∵a ＞1，∴12

x x a a

>，于是a －2x a ＜a －1x a

则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1x

a )

即f (x 2)＜f (x 1)

∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y

) ∴f －1(x )=log a (a －a x

)(x ＜1)

故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x

)(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.

解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积

S=

)]2(log [log 2

)]

2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a

222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )

2()1(log 212

2++=a a a a a a a 212log 21222+++=)211(log 2122a

a ++= 因为1≥a ,所以3

4

log 21)311(log 2122max =+=

S

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）