2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(全国卷1word解析版)

2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(全国

卷1）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

1．设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A

B =

（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B 【解析】

试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，选B. 考点：集合运算

2．设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】

试题分析：设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得

3-=a ，选A.

考点：复数的概念

3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）

13 （B ）12 （C ）13 （D ）56

【答案】A 【解析】

试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为3

1，选A. 考点：古典概型

4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3

A =

，则b=

（A （B （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】

试题分析：由余弦定理得3222452

???-+=b b ，解得3=b （3

1

-=b 舍去），选D. 考点：余弦定理

5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4

，则该椭圆的离心率为 （A ）

13 （B ）12 （C ）23 （D ）34

【答案】B 【解析】

试题分析：如图，由题意得在椭圆中，11OF c,OB b,OD 2b b 42

===

?= 在Rt OFB ?中，|OF ||OB||BF ||OD |?=?，且222a b c =+，代入解得

22a 4c =，所以椭圆得离心率得：1

e 2

=

，故选B.

考点：椭圆的几何性质

6．若将函数y=2sin （2x+6π）的图像向右平移1

4个周期后，所得图像对应的函数为 （A ）y=2sin （2x+4π） （B ）y=2sin （2x+3π

）

（C ）y=2sin （2x –4π） （D ）y=2sin （2x –3

π

）

【答案】D

【解析】

试题分析：函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )6

π=+的图像向右平

移

14个周期即4π个单位，所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463

πππ

=-+=-，故选D.

考点：三角函数图像的平移

7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 【解析】

试题分析：由三视图知：该几何体是

7

8

个球，设球的半径为R ，则37428V R 833

ππ=?=

，解得R 2

=，所以它的表面积是

2273

4221784

πππ??+??=，故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积 8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则

（A ）log a c ＜log b c （B ）log c a ＜log c b （C ）a c ＜b c （D ）c a ＞c b

【答案】B 【解析】

试题分析：对于选项A ：a b 1gc 1gc

log c ,log c lg a lg b

=

=，0c 1<<1gc 0∴<，而

a b 0>>，所以lg a lg b >，但不能确定lga lg b 、的正负，所以它们的大小不能确定;

对于选项B ：c b 1ga 1gb log a ,log c lg c lg c =

=,而lga lg b >，两边同乘以一个负数1

lg c

改变不等号方向所以选项B 正确;对于选项C ：利用c

y x =在第一象限内是增函数即可得到

c c a b >，所以C 错误;对于选项D ：利用x y c =在R 上为减函数易得为错误.所以本题

选B.

考点：指数函数与对数函数的性质

9．函数y=2x 2–e |x|

在[–2,2]的图像大致为

（A ）（B ）

（C ）（D ）

【答案】D 【解析】

试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|

在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为

22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一

零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D

10．执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n=1,则输出,x y

的值满足

n=n +1

输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+

n-1

2

，y=ny 输入x,y,n 开始

（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C 【解析】

试题分析：第一次循环：0,1,2x y n ===，

第二次循环：1

,2,32

x y n =

==， 第三次循环：3

,6,32

x y n =

==，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，

3

,62

x y ==，满足4y x =．故选C

考点：程序框图与算法案例

11．平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α

=平面，

11ABB A n α

=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）

3 （B ）22 （C ）3 （D ）1

3

【答案】A

【解析】

试题分析：如图，设平面11

CB D 平面ABCD ='m ，平面11

CB D 平面11ABB A ='n ，

因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11//D E B C ，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而

111//,//BD CE B F A B ，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60?，故,m n

所成角的正弦值为

3

，选A. 考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.

12．若函数1

()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）11,3??

-????

（C ）11,33??-???? （D ）11,3??

--????

【答案】C 【解析】

试题分析：()2

1cos2cos 03

f x x a x '=-

+对x ∈R 恒成立，

故()2212cos 1cos 03x a x -

-+，即245cos cos 033

a x x -+恒成立， 即245033t at -

++对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533

f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，

故只需保证()()1103

110

3f t f t ?

-=-????-=+??

，解得1133a -．故选C ．

考点：三角变换及导数的应用

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分

二、填空题（题型注释）

13．设向量a=（x ，x+1），b=（1，2），且a ⊥b ，则x= . 【答案】2

3

- 【解析】

试题分析：由题意， 20,2(1)0,.3

a b x x x ?=++=∴=- 考点：向量的数量积及坐标运算 14．已知θ是第四象限角，且sin （θ+

π4）=35，则tan （θ–π

4

）= . 【答案】3

4

-

【解析】 试题

分

析

：

由

题

意

，

43

cos(),tan()tan()tan().4544244

πππππθθθθ+=∴-=+-=-+=-得2a =.

正方体的对角线等于其外接球的直径2R ，

所以22

2323,=4=12R a S R ππ==球面，故选A. 考点：三角变换

15．设直线y=x+2a 与圆C ：x 2

+y 2

-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若

，则圆C 的

面积为 . 【答案】3π 【解析】

试题分析：圆2

2

:220C x y ay +--=，即2

2

2

:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||3,AB C =到直线2y x a =+的距离为

2

，所以由

22

223(

(222

a +=+得21,a =所以圆的面积为2(2)3a ππ+=. 考点：直线与圆

16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900

【答案】216000

【解析】

试题分析：设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么

1.50.5150,

0.390,

53600,

0,

0.

x y

x y

x y

x

y

+

?

?+

??

+

?

?

?

??

①

目标函数2100900

z x y

=+.

二元一次不等式组①等价于

3300,

103900,

53600,

0,

0.

x y

x y

x y

x

y

+

?

?+

??

+

?

?

?

??

②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.

将2100900

z x y

=+变形，得

7

3900

z

y x

=-+，平行直线

7

3

y x

=-，当直线7

3900

z

y x

=-+经过点M时，z取得最大值.

解方程组

103900

53600

x y

x y

+=

?

?

+=

?

，得M的坐标(60,100).

所以当60

x=，100

y=时，

max

210060900100216000

z=?+?=.

故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.

考点：线性规划的应用

评卷人得分

三、解答题（题型注释）

12111

==3

n n n n b b a b b nb +++=1，，，.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）31n a n =-（Ⅱ）

131

.223

n --? 【解析】 试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求。

试题解析：（Ⅰ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===

得1221121

,1,,3

a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13

的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则

11

1()313.122313

n

n n S --==-?- 考点：等差数列与等比数列

18．如图，在已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.

P

A

B

D C

G

E

（Ⅰ）证明G 是AB 的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）作图见解析，体积为43

【解析】

试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据 正三棱

中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323

=

????=V 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥

因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥

又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点. （Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.

理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ,所以EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.

连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2

.3

=

CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此

21

,.33

=

=PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2, 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114

222.323

=

????=V 考点：线面位置关系及几何体体积的结束

19．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【答案】（Ⅰ）)(,

19,5700500,19,

3800N x x x x y ∈??

?>-≤=（Ⅱ）19（Ⅲ）19

【解析】 试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x.19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出您9，n=20的所需费用的平均数来确定。 试题解析：（Ⅰ）当19≤x 时，

3800=y ；当19>x 时，

5700500)19(5003800-=-+=x x y ，所以y 与x 的函数解析式为

)(,19,5700500,19,

3800N x x x x y ∈?

??>-≤=.

（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为19.

（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

4050)104500904000(100

1

=?+?. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 考点：函数解析式、概率与统计

20．在直角坐标系xOy 中，直线l:y=t （t≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：

2

2(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H. OH

（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）没有 【解析】

试题分析：先确定),(2t p t N ，ON 的方程为x t

p y =，代入px y 22

=整理得

022

2

=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(

2

t p

t H ，所以N 为OH 的中点，即

2|

||

|=ON OH .（Ⅱ） 直线MH 的方程为x t

p

t y 2=

-，与px y 22=联立得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其

它公共点.

试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2

t p

t P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t p t N ，ON 的方程为x t

p y =，代入px y 22

=整

理得022

2

=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(

2

t p

t H . 所以N 为OH 的中点，即

2|

||

|=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t

p t y 2=

-，即)(2t y p t

x -=.代入px y 22=得

04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以

外直线MH 与C 没有其它公共点.

考点：直线与抛物线 21．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若

有两个零点，求a 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）()0,+∞

【解析】 试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定，主要要根据导函数零点来分类；（Ⅱ）

试题解析：（Ⅰ）()()()()()

'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+

（i ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. （ii ）设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln （-2a ）.

①若2e

a =-

，则()()()'1x f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2

e

a >-，则ln （-2a ）＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >；

当()()

ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()

(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()

ln 2,1a -单调递减. ③若2

e

a <-

，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >，当

()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在

()()1,ln 2a -单调递减.

（Ⅱ）（i ）设0a >，则由（I ）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 22

b a

<， 则()()()23

321022a f b b a b a b b ??>

-+-=->

??

?，所以()f x 有两个零点. （ii ）设a=0，则()()2x

f x x e =-所以()f x 有一个零点.

（iii ）设a ＜0，若2

e

a ≥-

，则由（I ）知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；若2

e

a <-，则由（I ）知，()

f x 在()()

1,ln 2a -单调递减，在()()

ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点.

综上，a 的取值范围为()0,+∞. 考点：函数单调性，导数应用 22．选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以O 为圆心，

1

2

OA 为半径作圆.

（Ⅰ）证明：直线AB 与

O 相切；

（Ⅱ）点C,D 在⊙O 上，且A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，证明60AOE ∠=?；（Ⅱ） 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ，证明'OO AB ⊥，'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ． 试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，连结OE ， 因为,120OA OB AOB =∠=?，所以OE AB ⊥，60AOE ∠=?．

在Rt AOE ?中，1

2

OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．

E

O'D

C

O B

A

（Ⅱ）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．

由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上，所以

'OO AB ⊥．

同理可证，'OO CD ⊥．所以//AB CD ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t

y a t =??

=+?

（t 为参数，a ＞0）．在以

坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.

（Ⅰ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．

【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=（Ⅱ）1

试题分析：（Ⅰ）把cos 1sin x a t

y a t =??=+?

化为直角坐标方程，在化为极坐标方程； （Ⅱ）2C ：

()

2

224x y -+=，3C ：2y x =，1C 2C 相减为3C 由此可得1a =

试题解析：（Ⅰ）cos 1sin x a t

y a t =??=+?

（t 均为参数）

∴()2

221x y a +-= ①

∴1C 为以()01，

为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，

∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 （Ⅱ）24cos C ρθ=： 两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ

ρρθ==+=，

224x y x ∴+= 即()2

224x y -+= ②

3C ：化为普通方程为2y x =

由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C

∴210a -=

∴1a =

考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 24．选修4—5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =+--. （Ⅰ）在图中画出()y f x =的图像；

（Ⅱ）求不等式()1

f x>的解集．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）()()

1

135

3

??

-∞+∞

?

??

，，，

【解析】

试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解试题解析：（Ⅰ）如图所示：

（Ⅱ）()

41

3

321

2

3

4

2

x x

f x x x

x x

?

?--

?

?

=--<<

?

?

?

-

??

，≤

，

，≥

()1

f x>

当1

x-

≤，41

x->，解得5

x>或3

x<

1

x-

∴≤

当

3

1

2

x

-<<，321

x->，解得1

x>或

1

3

x<

1

1x

-<<

∴或

3

1x

<<

当3

2x ≥，41x ->，解得5x >或3x <

3

32

x <∴≤或5x > 综上，1

3

x <或13x <<或5x >

()1f x >∴，解集为()()11353??-∞+∞ ?

??

，，，

考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法