高考数学-平面向量(知识点归纳+习题)

高中数学向量专题

【基础知识精讲】

1.向量的定义

既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的

向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).

2.向量的模

所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向

量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.

4.平行向量、共线向量

方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.

根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.

由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，

则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

【重点难点解析】

通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.

例1判断下列各命题是否正确

(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b

(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.

(3)若a=b,b=c,则a=c

(4)两向量a、b相等的充要条件是

(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件.

(6) AB =CD 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.

解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB =DC ,∴｜AB ｜=｜DC ｜且AB ∥DC . 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.

∴四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形则AB ∥DC ，且AB 与DC 方向相同，因此

AB =DC .

(3)正确.∵a =b

∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又∵b =c

∴b ，c 的长度相等且方向相同.

∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a =c

(4)不正确.当a ∥b ,但方向相反，即使｜a ｜=｜b ｜，也不能得到a =b ，故

不是a =b 的充要条件. (5)正确.这是因为|

b || a |=a =b ,但a =b ?｜a ｜=｜b ｜,所以｜a ｜=｜b ｜是a =b 的必要不充分条件.

(6)不正确.这是因为AB =CD 时，应有：｜AB ｜=｜CD ｜及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有A 与C 重合、B 与D 重合.

说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向a 、b 相等的充要条件应是a 、b 的方向相同且模相等.

②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.

③结论(6)不正确，告诉我们平面向量a 与b 相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.

例2 如图所示，△ABC 中，三边长｜AB ｜、｜BC ｜、｜AC ｜均不相等，E 、F 、D 是AC ，AB ，BC 的中点.

(1)写出与EF 共线的向量. (2)写出与EF 的模大小相等的向量. (3)写出与EF 相等的向量.

解：(1)∵E 、F 分别是AC ，AB 的中点 ∴EF ∥BC

从而，与

EF 共线的向量，包括：

FE ，BD ，DB ，DC ，CD ，BC ，CB .

(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=

21BC,BD=DC=2

1

BC. 又∵AB 、BC 、AC 均不相等

从而，与EF 的模大小相等的向量是：FE 、BD 、DB 、DC 、CD (3)与EF 相等的向量，包括：DB 、CD .

例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.

(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±

a

a .

解：(1)假命题，还可以方向相反；

(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；

(4)假命题，因为若a ,b 方向相同，但只要｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b . (5)真命题，任一非零向量：a 的单位向量为±

a

a .

例4 如图，已知：四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又AB =DC .

求证：=MA ， 证明：∵=

∴｜AB ｜=｜DC ｜，且AB ∥DC.从而，四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD=BC

∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=

21AD,MC=2

1

BC. ∴AN=MC. 又AN ∥MC ，

∴四边形AMCN 是平行四边形.于是得：AM ∥NC ，｜AM ｜=｜NC ｜. 又由图可知：CN 与MA 的方向一致. ∴CN =MA

【难题巧解点拔】

例1 如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是两对角线AC 与BD 的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ ｜任P ，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}，试求集合T 的子集个数.

分析：要确定向量为元素的集合T 有多少个子集，就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.

解：以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：AO =OC 、OA =CO ;DO =OB 、

BO =OD ;AC 、CA ；BD 、DB ；AD =BC 、DA =CB ;AB =DC 、BA =CD .它们中有12个向量是各不相等的.

故T 是一个12元集.所以T 有212

个子集.

说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T 中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.

例2 已知；如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF =EA .

(1)求证：△BDE ∽△DCF.

(2)求当D 在什么位置时，四边形AEDF 的面积可以取到最大值?

证明：(1)∵=

∴DF ∥AE ，｜DF ｜=｜EA ｜.

从而，得：四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ，｜DE ｜=｜AF ｜ 由DE ∥AF 可得：∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得：∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF

(2)设｜BC ｜=a,｜AC ｜=b,｜AB ｜=c,｜BD ｜=x,则｜DC ｜=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴

CD

BD =

DF

BE =

FC

ED

从而，

x

BE =

x

a DF -，设比为k 1.

x

ED =

x

a FC -，设比为k 2.

由｜BE ｜+｜DF ｜=c,｜ED ｜+｜FC ｜=b. 可得：xk 1+(a-x)k 1=c,∴k 1=a

c . xk 2+(a-x)k 2=b,∴k 2=a

b . ∴｜DF ｜=a

c

(a-x) ｜DE ｜=

a

b x 由点F 作FT ⊥AB ，垂足为T

由锐角三角函数，｜FT ｜=｜AF ｜sinA=a

b

x ·sinA ∴S □AEDF =｜DF ｜·｜FT ｜=

a c (a-x)·a

b

x ·sinA =

2a

bc (ax-x 2

)sinA =2a

bc ［42a -(x-2a )2］sinA ≤4bc sinA

当且仅当x=

2

a

时，等号成立. 答：D 是BC 边的中点时，S □AEDF 取到最大值.

例3 如图A 1，A 2，…A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个?

分析：(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是i OA 与O A i (i=1,2,…，8)两类.

(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是i OA (i=1,2，…，8)共8个；另一类是O A i (i=1,2,…,8)也有8个，两类合计16个.

(2)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有4×2×2=16个.

说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与O A i (i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到i OA (i=1,2,…，8)这8个，而易遗漏O A i (i=1，2，…，8)这8个.

(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边A 1A 3对应向量31A A 与42A A .因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.

【命题趋势分析】

本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.

【典型热点考题】

例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.

∴选A.

例2 如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.

(1)与向量相等的向量有；(2)若｜｜=3，则向量的模等于 .

分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得ED=AB且DC=AB，所以ED=.于是E、D、C三点共线，故｜｜=｜ED｜+｜｜=2｜AB｜=6.

答：(1) ，；(2)6

例3下列命题中，正确的是( )

A.｜｜=｜｜?=

B.｜｜＞｜｜?＞

C. =?｜｜∥｜｜

D.｜｜=0?=0

解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.

∴应排除D，∴应选C.

例4下列四个命题：①若｜｜=0,则=0；②若｜｜=｜｜,则=或=-；③若与是平行向量，则｜

｜=｜｜；④若=，则-=正确命题个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

分析：①是忽略了0与不同，由于｜｜=0?=,但不能写成0；

②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；

③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；

④正确，故选A.

强化练习：

【同步达纲练习】

一、选择题

1.下列命题中的假命题是( )

A.向量AB与BA的长度相等

B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

2.如图，在圆O中，向量，，是( )

A.有相同起点的向量

B.单位向量

C.相等的向量

D.模相等的向量

3.如图，△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有( )

A.一组

B.二组

C.三组

D.四组

4.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1；

b，其中正确的有( )

a

A.①④⑤

B.③

C.①②③⑤

D.②③⑤

5.四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD( )

A.是平行四边形

B.是梯形

C.是平行四边形或梯形

D.不是平行四边形，也不是梯形

6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )

A.一条线段

B.一个圆面

C.圆上的一群弧立点

D.一个圆

7.若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于( )

A. B. C. D. 不存在

8.命题p：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p是命题q的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二、判断题

1.向量AB与BA是两平行向量.( )

2.若是单位向量，也是单位向量，则=.( )

3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )

4.与任一向量都平行的向量为向量.( )

5.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )

6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )

7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是OA长度的3倍.( )

8.已知四边形ABCD是菱形，则｜｜=｜｜是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )

9.在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )

三、填空题

1.已知a ，b ，c 为非零向量，且a 与b 不共线，若c ∥a ，则c 与b 必定 .

2.已知｜OA ｜=4,｜AB ｜=8，∠AOB=60°，则｜AB ｜= .

3.如图，已知O 是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个.

4.如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 共线的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= .

5.已知四边形ABCD 中，AB =2

1

DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是 .

四、解答题

1.如图，在△ABC 中，已知：向量AD =DB ,DF =BE ,求证：DE =AF .

2.在直角坐标系中，将所有与y 轴共线的单位向量的起点移到x 轴上，其终点的集合构成什么图形?

【素质优化训练】

1.已知、是任意两个向量，下列条件：①=;②｜｜=｜｜;③与的方向相反；④=或=;⑤与都是单位向量.其中，哪些是向量与共线的充分不必要条件 .

2.已知ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，下列各式：①AB =DC ;②AD =BC ;③｜AC ｜=｜BD ｜;④｜AB ｜≠｜

｜;⑤AB ∥CD .

正确的式子的序号是 .

3.不相等的向量a和b，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.

4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?

(1)两个三角形的面积S1，S2；

(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；

(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；

(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.

【生活实际运用】

某人从A点出发向西走了10米，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点，最后又向东走了10米到达D点.

(1)作出向量AB、BC、CD (用1cm长的线段表示10m长)；

(2)求｜DA｜.

解：(1)

(2)显然DA=CB,故｜DA｜=｜CB｜=15cm

【知识验证实验】

已知某轮船从S岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.

【知识探究学习】

一小球在30m高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S后的水平位移，竖直位移，并计算出实际位移的大小.(g=10m/s2)

解：依题意：v0=2m/s,t=2s