选修2-3教案2.2.1 条件概率

§2.2.1 条件概率

教学目标

（1）通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义；

（2）掌握一些简单的条件概率的计算．

教学重点，难点：条件概率的定义及一些简单的条件概率的计算．

教学过程

一．问题情境

1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．

（1）两次都是正面向上的概率是多少？

（2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？

（3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

2．问题：上述几个问题有什么区别？它们之间有什么关系？

二．学生活动

两次抛掷硬币，试验结果的基本事件组成集合{}S =正正，正反，反正,反反，其中两次都是正面向上的事件记为A ，则{}A =正正，故()14

P A =． 将两次试验中有一次正面向上的事件记为B ，则{}B =正正，正反，反正，那么，在B 发生的条件下，A 发生的概率为13

． 这说明，在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率产生了变化．

三．建构数学

1． 若有两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A 的条件概率，记作()P A B ． 注：在“”之后的部分表示条件，区分()P A B 与()

P B A ． 比如，若记事件“两次中有一次正面向上”为B ，事件“两次都是正面向上”为A ，则()P A B 就表示“已知两次试验中有一次正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率”．

思考：若事件A 与B 互斥，则()

P A B 等于多少？ 在上面的问题中，()()()311,,443

P B P AB P A B =

==，我们发现 ()()()

114334

P AB P A B P B ===． 注：事件AB 表示事件A 和事件B 同时发生． 2． ()

P A B 与()P AB 的区别：

()P A B 是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，()P AB 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，无附加条件．

3．一般的，若()0P B >，则在事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是()

P A B ， ()()()

P AB P A B P B =. 反过来可以用条件概率表示事件AB 发生的概率，即有乘法公式 ：

若()0P B ≠，则()()()P AB P A B P B =,

()2

同样有 若()0P A ≠，则()()()P AB P B A P A =. (2)'

4． 条件概率的性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即()01P A B ≤≤．

必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．

四．数学运用

1．例题：

例1．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =，令事件{}2,3,5A =，{}1,2,4,5,6B =，求()P A ， ()P B ，()P AB ， ()P A B ． 解：{}2,5A B = ，由古典概型可知

()3162P A ==，()56P B =，()2163

P AB ==， ()()()25

P AB P A B P B ==． 例2正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求()P AB ，()P A B ．

解：根据几何概型，得()19P AB =，()49

P B =， 所以 ()()()14

P AB P A B P B ==． 例3．在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球．求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率．

解：记“第1个人摸出红球”为事件A ，“第2个人摸出白球” 为事件B ，则由乘法公式，得 ()()()101050.2632192019

P AB P B A P A ==?=≈

答：所求概率约为0.2632．

例4． 设100件产品中有70件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．

解：设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则

（1）因为100件产品中有 70件一等品， 70()0.7100

P B == （2）方法1：因为95 件合格品中有 70 件一等品，又由于一等品也是合格品 AB B ∴=

70()0.736895

P B A ==. 方法2： ()()()P AB P B A P A =701000.736895100

=≈. 2．练习：

（1）．甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，

乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：

① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲市下雨时乙市也下雨的概率.

解 记 “甲市下雨”为事件A ，记“乙市下雨”为事件B .

按题意有，()20P A =﹪，()18P B =﹪，()12P AB =﹪.

①乙市下雨时甲市也下雨的概率为

()122(|)()183P AB P A B P B ===；

②甲市下雨时乙市也下雨的概率为

()()()123205

P AB P B A P A ===． （2）．第55页练习第1,2题．

五．回顾小结：

1． 条件概率公式：()()()

P AB P A B P B =， 若()0P B ≠，则()()()P AB P A B P B =；

若()0P A ≠，则()()()P AB P B A P A =；