天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

第一章 随机变量 习题一

1、写出下列随机试验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和

Ω= {}1843,,,

(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

Ω= {

} ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。

Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}

(4)在单位圆任意取一点，记录它的坐标

Ω= }|),{(122<+y x y x

(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度

Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x

其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度

(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =

“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =

解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。}

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10

( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …

2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系

(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件

(3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件

(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容

(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

解: 互不相容:φ=AB ; 对立事件 : φ=AB )1( 且 Ω=?B A

3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件

(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB

(3)A,B,C 中至少有一个发生 -C B A ?? (4)A,B,C 都发生 -ABC

(5)A,B,C 都不发生 - C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ??

(7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ??

(8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ??

4、盒装有10个球，分别编有1- 10的，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的为偶数”，事件B 表示“取到的球的为奇数”，事件C 表示“取到的球的小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.

(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10

(5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9 (7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或

10

5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立. (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立 (5)若B A ?，则AB A = 成立

(6)若φ=AB ，且A C ?，则φ=BC 成立 (7)若B A ?，则A B ? 成立 (8)若A B ?，则A B A = 成立

7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) 43211A A A A B =

(2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212A A A A A A A A B =???=

(3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ???=

(4)至少有三个产品不是次品 4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ????=

8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ：

(1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E （3）()()G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()E F F F E F E E E ==

(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E ===

(3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E ==

9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=?AB P B A

(2)3.0)(,==?AB P S B A

10. 设 事 件 A ， B ， C 分 别 表 示 开 关 a ， b ， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ，

则可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = A B C ；(2) D = ()C B A 。

11、设A,B,C 是三事件，且8

1041======)(,)()(,)()()(AC P BC P AB P C P B P A P ， 求A,B,C 至少有一个发生的概率.

解:)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=??

8500810414141=+---++= ABC AB ? 0)()(0=<≤AB P ABC P 0)(=∴ABC P

12. (1)设事件A , B 的概率分别为 51 与 41，且 A 与 B 互 斥，则 )(B A P = 5

1 . (2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，

则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 ___14

285____。

(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率

等于 ___13

24___。

(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件，

已知P(A1) = α , P(A2) = β，P(A3) = γ ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1- (1- α)(1- β)(1- γ) .

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，

则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __34

57____。

13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求

(1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.

解: 2001500110110090400)1(C C C P =

??????+-=2000150019911001400200150020011001)2(C C C C C P 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手

同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率.

解:=A “甲中” =B “乙中”

98.072.08.09.0)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P

15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？

解: 88

8!)(=A P 16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？

解：设所求事件=A “至少有两个人的生日在同一个月的”

=A “任何两个人的生日都不在同一个月”

427.0121)(1)(,12)(44124412=-=-==A A P A P A A P

17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概

率各是多少？

解：3个球放入4个杯子中去共有34种放法，设i B 表示杯子中球的最大个数为n 的事件),,(321=n ,1B 表示每只杯子最多只能放一个球，共有34A 种方法，故

834

3341==A B P )(;2B 表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有423?C 种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故2B 包含的基本事件数为363423=??C ，于是16

943632==)(B P ;3B 表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故1614433==

)(B P . 18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D ( 其

中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质 点

落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。

y

2

1

o 2 x D 1 43222121211=??+==)()(D D A P

19、(1)已知504030.)(,.)(,.)(===B A P B P A P ，求)|(B A B P

(2)已知2

13141===)|(,)|(,)(B A P A B P A P ，求)(B A P 解: (1)250.)|(=?B A B P (2)3

1=?)(B A P

20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回,

设i A ( i =1，2，3，)表示第i 次抽到的是次品，求： ()99412=A A P ，()999512=A A P ，()

99512=A A P ()999412=

A A P ，()983213=A A A P ， ()

9894213=A A A P 21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，

乙厂的合格率是80%。若用事件A 、A 分别表示甲、乙两厂产品，B 表示合格品。

试写出有关事件的概率.

(1)=)(A P 70%

(2)=)(A P 30% (3)=)|(A B P 95% (4)=)|(A B P 80% (5)=)|(A B P 5% (6)=)|(A B P 20%

22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人

取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概 率各是多少？

解: 解：设i A 第i 个人取得红球的事件),,,(1021 =i , 则i A 为第i 个人取得白球的事件， 显然10

1)(1=

A P ,)(212121212φ==?=A A A A A A A A A 10191109)|()()()(121212=?=?==∴A A P A P A A P A P

同理10

1!10!9)()(1092110===A A A A P A P 23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？

解：设A 为{由出生活到20岁}的事件，B 为{由出生活到25岁}的事件 则所求事件的概率为)()()|(A P AB P A B P = B AB A B =∴?

2

18040====

..)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求)(),(),(),(ABC P B A P AB P A P . 解：152)(,104)(==AB P A P 154)(=B A P 30

1)(=ABC P 25. 设 0< P(C) <1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A ，B ，恒 有

P { ( A B )∣C} = P{A ∣C} + P{B ∣C}

证:

()[]()[]()C P C B A P C B A P +=

+ ()()C P BC AC P +=

()()()C P BC P AC P += ()()

C B P C A P += 26、设事件A 与B 互斥，且10<<)(B P ，证明)

()()|(B P A P B A P -=

1. 证明：由于φ=AB ，故B A B B A A =?=)( )1)(()(1)()()()|(≠-==∴B P B P A P B P B A P B A P

27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次