二元一次方程应用题分类复习(整理)

文案二元一次方程应用题分类复习

日期： 2 月 8日

1、知道用方程组解决实际问题的一般步骤

2、读懂并能找出实际问题中的各种形式表达的数量关系，列出方程组，得出问题的解答．

列二元一次方程组解应用题

(1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤

①设出题中的两个未知数；

②找出题中的两个等量关系；

③根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；

④解这个方程组，求出未知数的值；

⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案．

(2)用方程解决实际问题的几个注意事项

①先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知

数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理．

②“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就可以用表格或图形

来分析，这样既直观，也易理解题意．

③所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等．

④要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义．

⑤不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称．

⑥分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．

⑦对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几

个方程，即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等．

例1：配套问题

1.某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

120

502201

x y

x y

+=

?

?

?=?

?

，解之，得

20

100

x

y

=

?

?

=

?

．

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，

文案

其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即

a b

=甲产品数乙产品数

； （2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：a b c

==甲产品数乙产品数丙产品数

．

跟踪练习

1、木工厂有28个工人，每个工人一天加工桌子数与加工椅子数的比是9:20，现在如何安排

劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？

2、某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？

3、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底可以使盒身与盒底正好配套？

例2、数字问题

2.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x ，个位上的数为y ，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

解方程组

109101027

x y x y y x x y +=++??

+=++?

十位上的数

个位上的数

对应的两位数

相等关系 原两位数 x y 10x+y 10x+y=x+y+9 新两位数

y

ｘ

10y+x

10y+x=10x+y

+27

，得

1

4

x

y

=

?

?

=

?

，因此，所求的两位数是14．

点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

跟踪练习

1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

2、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交

换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数.

某校环保小组成员收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克，试问1号电池和5号电池每节分别重多少克？

2、某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物

每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

3、学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，

教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，信封个数分别为多少个？

文案

文案

4、为迎接2008年奥运会，?某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，?已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，?生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

1.在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时，则

()3120

120x y x y -=???

+=??

，整理，得40120x y x y -=??+=?，解得8040x y =??=?， 因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

2.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的

4

5

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？

分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得

()41505200125

y x y x ?

=?

?

?-=+?

，解得337518x y =??=?.

点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

跟踪练习

1、甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？

2、一条船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米。那么这条轮船在静水中

每小时行多少千米？

3、两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列

车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.

4、现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；

若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？

5、甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？

文案

一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

解方程组

0.920%

0.810

x y y

x y

-=

?

?

-=

?

，解得

200

150

x

y

=

?

?

=

?

，

因此，此商品定价为200元．

点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

跟踪练习

1、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商

品的定价是多少？

2、某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（1）一次购买金额不超过1万元的

不予优惠；（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元的九折优惠；（3）一次购买金额超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠。某厂因库存原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元。如果他是一次性购买同样的原料，可少付款多少元？

3、学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次

性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；

若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？

文案

文案

例6：生活中的百分比问题

增长率＝增长量

计划量

×100%；

计划量×(1＋增长率)＝增长后的量； 计划量×(1－减少率)＝减少后的量． (2)经济类问题

利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数； 税后利息＝本金×利率×期数×(1－利息税率)； 商品的利润＝商品的售价－商品的进价；

商品的利润率＝商品的利润

商品的进价

×100%.

1、某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？

2、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

3、某人用24000元买进甲,乙两种股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌10%时卖出,共获利1350元,试问某人买的甲,乙两股票各是多少元 ？

4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.

（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？

文案

5、某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？

例7：利用二元一次方程组解决信息题

的形式多样，取材广泛，条件清晰、明了．有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．

对图表型信息应用题，要善于从图表中挖掘信息，找到一些隐含信息，构建相应的数学模型，灵活应用所学知识来解决实际问题．

(2)情境信息题是通过图形中的文字表述或图中的人物对话获取信息，确定相等关系，列出方程组或通过观察图形，获取隐含信息，如拼图问题，要注意根据拼图中的相等线段找等量关系．

重在分析，审题，列式是核心，书写格式必须完整、准确．

要善于根据情境捕捉解题条件，把情境中的相等关系正确地转化为数学关系．

1、在“五一”期间，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩，下图是购门票时，小明与他爸爸的对话．

(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？

(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．

2、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

销售方式 直接销售 粗加工后销售

精加工后销售

每吨获利（元）

100

250

450

16吨（两种加工不能同时进行）．

销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分

直接销售 获利（元） 140吨蔬菜，则

应如何分配加工时间？

3、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供

的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？

4、甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg

购苹果数不超过30kg 30kg以下但不超过50kg 50kg以上

每千克价格3元 2.5元2元（1

（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？

5、用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米

题中的两个相等关系：

1、小长方形的长+ =大长方形的宽

可列方程为：

2、小长方形的长=

可列方程为：

文案