一元一次不等式与一次函数的关系

导学案：一元一次不等式与一次函数的关系

学校____________ 班级____________ 姓名____________ 【学习目标】

1、一元一次不等式与一次函数的关系。

2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。

3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。 【学习重点】

了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。 【学习难点】

根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。 【学习过程】 一、复习导学

前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标，也就是说：

“一元一次方程ax +b =0”与“求当x 为何值时，y =ax +b 的值为0”是同一问题， 那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？ 如：下面两个问题是同一问题吗？ （1）解不等式：2x -4＜0

（2）当x 为何值时，函数y =2x -4的值小于0？

今天我们就来探究类似这样的问题？ 二、自主探究、合作交流

1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如y =2x －5为一次函数．

-4

2y

x

在一次函数y=2x－5中，

当y=0时，有方程2x－5=0；

当y＞0时，有不等式2x－5＞0；

当y＜0时，有不等式2x－5＜0．

由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________．2．做一做：

作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题．

（1）x取哪些值时，2x－5=0？

（2）x取哪些值时，2x－5＞0？

（3）x取哪些值时，2x－5＜0？

（4）x取哪些值时，2x－5＞1？

请回答：

（1）

（2）

（3）

（4）

3．试一试

如果y =－2x －5，那么当x 取何值时，y ＞0？ 首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图：

从图象上可知:_____________________________________________________ __________________________________________________________________． 4．练一练

函数y 1=2x -5和y 2=x -2的图象如图所示，观察图象回答下列问题：

（1）x 取何值时，y 1＝y 2？ （2）x 取何值时，y 1＞y 2？

x

x -2

x

（3）x 取何值时，y 1＜y 2？ 从图象上看:

总结一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看

从形的角度看

三、应用新知、拓展提升 （一）基础演练

1．已知函数y =3x +8，当x ________________________时，函数的值等于0．当x _________________________时，函数的值大于0．当x __________________________________时，函数的值不大于2．

2．如图，直线l 1，l 2交于一点P ，若y 1≥y 2，则（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤ 3 D ．x ≤4

（二）典例示范

例1 ．作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题： （1）x 取何值时，2x －4＞0？ （2）x 取何值时，－2x +8＞0？

（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？

（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写

P

O 4

3

l 2l 1

y x

出过程．

例2．一次函数y=-3x+12中，x为何值时：

（1）当x取何值时，y＞0；

（2）当x取何值时，y＝0；

（3）当x取何值时，y＜0．

（三）拓展提升

例3．已知y1=－x+3，y2=3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？

四、课堂小结

1．转化思想：

转化

__________问题 ___________问题

2．解函数问题的方法：

图象法：_________________________________．

3．一次函数与一元一次不等式的关系：

从数的角度看

从形的角度看

五、课堂检测

1．已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞5 B ．x ＜

C ．x ＜－6

D ．x ＞－6 2．已知一次函数的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（ ）

A ．－2＜y ＜0

B ．－4＜y ＜0

C ．y ＜－2

D ．y ＜－4

3．若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________．

4．已知1213

222

y x y x =-=+，，试确定x 取何值时2y 不小于1y ？

5.在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）写出直线y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的交点P 的坐标． （2）直接写出：当x 取何值时y 1＞y 2；y 1＜y 2

参考答案： 一、复习导学

二、自主探究、合作交流

1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：

1

2

y kx b =+

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．

2．做一做：

（1）当y =0时，2x －5=0， ∴x =

2

5

， ∴当x =

2

5

时，2x －5=0． （2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件．当x ＞

2

5

时，由y =2x －5可知y ＞0．因此当x ＞

2

5

时，2x －5＞0． （3）同理可知，当x ＜

2

5

时，有2x －5＜0； （4）要使2x －5＞1，也就是y =2x －5中的y 大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （3，1），则当x ＞3时，有2x －5＞1．

3．试一试

从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0，得x =－2.5，所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0．

4．练一练 从图象上看，

（1）y 1=y 2时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程2x -5=x -2的解； （2）一次函数y 1=2x -5的图象在y 2=x -2的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式2x -5＞x -2的解；

（3）一次函数y 1=2x -5的图象在y 2=x -2的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式2x -5＜x -2的解．

总结一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看

求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求函数y =ax +b 的函数值大于0（或

小于0）时x的取值范围．

从形的角度看

求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求直线y=ax+b在x轴上方或下方时自变量的取值范围

三、应用新知、拓展提升

（一）基础演练

1．＝

8

3

-，﹥

8

3

-，﹤﹣2．2．B

（二）典例示范

例1．

分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．解：

（1）当x＞2时，2x－4＞0；

（2）当x＜4时，－2x+8＞0；

（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立；

（4）由2x－4=0，得x=2．

由－2x+8=0，得x=4．

所以AB=4－2=2．

由

24

28 y x

y x

=-

?

?

=-+

?

，

，

得交点C （3，2）．

所以△ABC 中AB 边上的高为2． 所以S =2

1

×2×2=2． 例2．

解：（1）当y ＞0时，则有-3x +12＞0， -3x ＞－12， x ＜4

（2）当y ＝0时，则有-3x +12＝0， -3x ＝－12， x ＝4

（3）当y ＜0时，则有-3x +12＜0， -3x ＜－12， x ＞4 （三）拓展提升 例3．

解：如图所示：

当x 取小于

4

7

的值时，有y 1＞y 2． 四、课堂小结 1．转化思想：

一次不等式问题

一次函数问题 2．解函数问题的方法：

图象法：画出函数图象解决函数和不等式问题． 3．一次函数与一元一次不等式的关系：

y 1转化

从数的角度看

求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求函数y =ax +b 的函数值大于0（或小于0）时x 的取值范围．

从形的角度看

求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求直线y =ax +b 在x 轴上方或下方时自变量的取值范围

五、课堂检测

1．C ． 2．C ． 3．m ＜4且m ≠1． 4．当2-≥x 时2y 不小于1y ．

5．图象略．（1）P （1，0）； （2）当x ＜1时y 1＞y 2，当x ＞1时y 1＜y 2．