概率论论文-浅谈中心极限定理

浅谈中心极限定理

摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。

关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。

引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹

射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。

在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得中心极限定理的重要性。

目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：

林德伯格-莱维中心极限定理：设

{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且

)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记

n X

Y n

i i

n σμ

∑=1

则对任意实数y ，有

{}?

∞

--∞

→=Φ=≤y

t n n t y y Y P .d e π21)(lim 2

这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，

对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n 充分大时,

Y 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种

近似不能保证。也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与n

Y 有关事件的概率，而

n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当

)

1,0(~N Y n 时，则有

)

(~),,(~2

n N X n n N X

i i

σμσμ∑=。

现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理。例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经

营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。[1]

解：设

i ξ为第i 天出售的汽车的数量，则36521......ξξξξ+++=为一年的总销量，由

2)()(==i i Var E ξξ，知=)(ξE 365×2=730

利用中心极限定理得

P(ξ>700)=1-P(ξ≤700)≈1—

)730730

700(

-Φ=1-Φ(一1．11)=0.8665

在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。例如，利用中心极限定理证明：

!lim 0

=∑=-∞→n

k k n

n k n e [1] 证明：设{

k ξ}独立同分布且k ξ～P(1)，k=1，2…….

则a=

()

k E ξ=l ，2

σ=

()

k Var ξ=1

∵由泊松分布的可加性知

∑=n

k k

～P(n)

∴n

n k k n k n i i n k k e

k n k P n P -====∑∑∑∑=??? ??==??? ??≤0011

!ξξ 又∵由中心极限定理知：

()?

???≤-=??? ??≤-=??? ??≤∑∑∑===010111

k n k n k k n k k P n P n P ξξξ ()()00111Φ→??????≤-=∑=n k k n P ξ

()∞→=

n 21

∴

21!lim 0=∑=-∞→n

k k n

n k n e 如果在林德伯格-勒维中心极限定理中，

X 服从二项分布，就可以得到以下的定理。

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中出现的概

率为p （0

S 为n 次试验中事件A 出现的次数，且记

npq

np S Y n n -=

*，则对任意

实数y ，有

y y Y P y

n n ?

∞

→==≤2

)()(lim π

φ。

它表明，n 充分大时，

npq

np S Y n n -=

*分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分

布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n 充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用也很广泛，例如：假设某校要建新校区，里面有学生5000人，只有一个开水房。由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：

(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？

(2)至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？[2]

解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则)01.0,5000(~B X 拥挤的概率是：

∑=-?

??? ??=≤≤-=>=45

0k 500099.001.05000-145)(0 P 145)P(p k

k k ξξ

由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，n=5000，p=0.01，q=0.99，

04.7,50==npq np

故

2389.0)1.7()71.0()04.750

0()04.75045(

)450(=---=---=≤≤φφφφξP

即拥挤的概率为

7611.02389.01)45(=-=>ξP

（2）欲求m ，使得95.0)0(≥≤≤m P ξ，则由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知，

95.0)04.750

0()04.750(

≥---φφm

由于

0)09.7()04.750

≈-=-φφ

即

95.0)04.750

(

≥-m φ

查表得645

.104

.750

≥-m

即6.61≥m

故需装62个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤。

保险与我们的生活息息相关。中心极限定理在保险行业方面也有很大应用。

例如，某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元。问：(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)保险公司一年的利润不少于1010万元，200万元的概率各为多大? [3]

分析：首先，我们先设一年内死亡的人数为随机变量X ，保险公司亏本的概率为P 。因为题中人和人之间是独立的，而且死亡的概率都一样为0.002，因此比较容易看出，此题中的X 是服从二项分布的，我们也可用二项分布的方法把p 具体地求出来，但要想求出

()k

k k k X P -???? ??==2500)998.0(002.02500绝非易事，更何况还要算上几千个呢？为此我们不

妨用中心极限定理来求解它。

解：设X 为一年内死亡的人数，则)002.0,2500(~B X ，5=np ，99.1)1(=-p np (1)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知

P(亏本)=(4.48)-1)4.99

5-15(-115)P(X -115) X ( P 300)(20X P φφ=≈≤=>=>

=1-0.99993=0.00007

所以，保险公司亏本的概率为0.00007，几乎为0。 (2)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知

P(利润100≥)98.0)99.4510(

)10()10020300(=-≈≤=≥-=φX P X P

P(利润200≥)5.0)99

.455()5()20020300(=-≈≤=≥-=φX P X P

以上结果说明，保险公司几乎不可能亏本．不过，关键之处是对死亡率的估计必须正确，

如果所估计的死亡率比实际低，甚至低得多，那么，情况就会不同。

结论

中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明，只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。

参考文献：

[1]杜伟娟,于文娟。中心极限定理及其初步应用[J] 内蒙古电大学刊，2007 [2]孔祥凤，中心极限定理在管理中的应用[J] 西安邮电学院应用数理系，2009

[3]孙蓓，中心极限定理及其在若干实际问题中的应用[D] 河南：开封基础教育研究室，2012

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）