中考数学复习《巧用转化思想求作梯形面积等分线》
巧用转化思想求作梯形面积等分线
——对一道中考试题的探究
一、问题的缘起
原题(2005年贵阳中考题)如图1,在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;
(1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全
等关系的直线有多少组;
(2)请在平行四边形中画出满足小强分割方法的不同的直线;
(3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?
解(1)无数;
(2)作图的时候要首先找到对角线的交点,只要过对角线的交点,任画两条直线即可.
(3)这两条直线过平行四边形的对称中心(或对角线的交点).
图2中前两个图中四部分面积相等,第三个图只是相对的面积相等.由此我们想到新问题:怎样在平行四边形中作两条直线,把其面积四等分?
我们知道,过平行四边形对称中心的直线平分其面积,在图3中,EF把□ABCD的面积分为两个全等等积的梯形,因此只要过一腰中点作梯形的面积等分线即可.
二、问题的探究
问题梯形ABCD中,AD∥BC,点O是CD的中点,在AB上求作一点P,使直线OP平分梯形ARCD的面积.
分析1 假设直线OP已作出,如图4.
由合比定理,得AF BP AB AB
=,
故而AF=BP.
作法1 如图4.
1.连结AO并延长,交BC延长线于点E;2.过点C作CF∥AE,交AB于点F;3.在BA上作BP=AF;
4.作直线OP.
分析2 假设直线OP已作出,如图5.
要使S△APD=S△BPC,
只需AP·AD=BP·BC.
将AD平移至BE,在AB上截取AF=BP,则AP=BF,则只需BF·BE=BP·BC,
即BE BP
BC BF
=,则PE∥CF,四边形ECFP为梯形.
取其中位线MN,则MN∥EP,此时N为AB的中点.
作法2 如图5.
1.过点D作DE∥AB,交BC于点E;
2.分别作EC、AB的中点M、N,连结MN;
3.过点E作EP∥MN,交AB于点P;
4.作直线OP.
分析3 假设直线OP已作出,如图6.
要使S△APD=S△BPC,将AD平移至BE,
则S△APD=S△PAE.
过点A作AF∥PE,则S△PAE=S△PEF.
故只需S△BPC=S△PEF,
由于同高,故而BE=CF.
作法3 如图6.
1.过点D作DE∥AB,交BC于点E;
2.在BC延长线上作CF=BE,连结AF;
3.过点E作EP∥AF,交AB于点P;
4.作直线OP.
分析4 在图6中明显地看到AF经过点O,这是巧合吗?由CF=BE,而AD=BE,故CF=AD且平行,由平行四边形对角线互相平分易证AF经过点O.看来是偶然中的必然,为此可改良作法3.
作法4 如图6.
1.过点D作DE∥AB,交BC于点E;
2.连结AO并延长,交BC延长线于点F;
3.过点E作EP∥AF,交AB于点P;
4.作直线OP.
分析5 假设直线OP已作出,如图7.
将AD平移至BE,连结AO并延长,交BC延长线于点F,
则S△BOE=S△OCF=S△OAD,S△BAO=S△BFO,
∴S△BPO+S△PAO=S△BOC+S△OCF.①
要使S四边形APOD=S四边形BCOP,
即S△PAO+S△OAD=S△BOC+S△BPO.②
由①、②,得S△BPO=S△OCF,
故S△BPO=S△BOE.
△BPO与△BOE同底OB,只需等高即可.
作法5 如图7.
1.过点D作DE∥AB,交BC于点E;
2.作点E关于BO的对称点E’;
3.过点E’作E'P∥BO,交AB于点P;
4.作直线OP.
注图中还有S△APO=S△BOC,
分析6 假设直线OP已作出,如图8.
将AD平移至CE,取AE中点F,则O-F-B等分梯形面积.
连结BO、PF,
则S四边形APOD=S□AFOD+S△APF+S△PFO
=S□AFOD+S△ABF-S△PFB+S△PFO,
故S△PFB=S△PFO,因而PF∥BO.
作法6 如图8.
1.过点A作AE∥DC,交BC于点E;
2.取AE中点F,连结OB;
3.过点F作FP∥BO,交AB于点P;
4.作直线OP.
分析7 假设直线OP已作出,如图9.
连结AC;过点D作DE∥AC,交BA延长线于点E则S△ACD=S△ACE,梯形面积转化为△BCE的面积.
取BE中点F,连结OF,
则S△EFC=1
2
S△BCE=S四边形APOD
而S△EFC=S△AFC+S△ACE
=S△AFC+S△ACD=S四边形AFCD.
故只需S四边AFCD=S四边形APOD,
只需S△OFP=S△OFC,因而CP∥OF.
作法7 如图9.
1.连结AC;过点D作DE∥AC,交BA延长线于点E;
2.取BE中点F,连结OF;
3.过点C作CP∥OF,交AB于点P;
4.作直线OP.
分析8假设直线OP已作出,如图10.连结AO、BO;分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO、交直线AB于点E、F,则梯形面积转化为△EOF的面积,此时只需作EF上的中线即可.
作法8 如图10.
1.连结AO、BO;
2.分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO,
交直线AB于点E、F;
3.取EF的中点P;
4.作直线OP.
注图9、图10的方法也是过任意四边形边上一点
作四边形的面积等分线的通法,之所以把这两种通法放到最后,是以防通法禁锢住我们的思维而陷入思维定势,让我们不再动脑多思而漏掉前6种作法.
以上解法,多次用到了转化的思想,如等线段代换,等积代换等等,让我们感受到了转化的神奇魅力.同时,“老题”不“老”,“老题”也能发“新芽”,也能焕发出勃勃生机!