齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

例题、（07山东）

已知椭圆C ：13

42

2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m

x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=，

（*） 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，（**）

整理得：2

2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((2

222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦

对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”）

解法二（齐次式法）

由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值）

依题意直线l 不过椭圆的右焦点)0,2(P 设直线1)2(:=+-ny x m l ， 由12432

2

=+y x 得124)22(32

2

=++-y x （??????凑出因式)0(),2(--y x ）

故04)2(12)2(32

2

=+-+-y x x （

??????此式不是齐次式，有2次式和1次式，下面齐次化）

故0])2()[2(124)2(32

2=+--++-ny x m x y x （

??????1的代换）

即0)2(12)2(124)2(3222=-+-++-y x n x m y x （?

?????下面凑出斜率PB PA k k ,。两边同除2

)2(-x ）

故0)312(212)2(42=++-+-m x y n x y ， （??????因为B A ,是直线与曲线的交点，故B A ,的坐

标满足此式，即2,222

11--x y

x y 是相应方程0)312(1242

=+++m nt t 的解）

故143

12222211-=+=-?-=?m x y x y k k PB PA ，解得12

7

-=m ，代入1)2(:=+-ny x m l 得

017

2

127=+--ny x ，由?????==+-00127127y x 得??

?

??==072y x ，故l 过定点)0,72(。 变式此题若改为：已知椭圆C ：13

42

2=+y x 的右顶点P ，若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且=+PB PA k k 3，,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

此题用传统法解得时要计算，1212322y y

x x ∴+=--，化简变形比原题更难，用齐次式法，与原题类似。 解：由原题齐次式解法得0

)312(2

12)2(42=++-+-m x y n x y ，故33=-=?n k k PB PA 解得1-=n ，代入1)2(:=+-ny x m l ，知1)2(:=--y x m l ，过定点)1,2(-。

变式此题若改为：已知椭圆C ：

13

422=+y

x 上一点)23,1(P ，若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且1-=?PB PA k k ，,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

◆迁移训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）

练习3：过122

2=-y x 上的点)1,1(A 作动弦AB 、AC 且3=?AC AB k k ，证明BC 恒过定点。（本题参考

答案：)5

1,51

(-）

练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

π

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案

()2,2p p -）

【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4

π

αβ+=，

故0,4

π

αβ<<

，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为π从而设AB 方程为

y kx b =+，显然22

12

12,22y y x x p p ==

， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2

220ky py pb -+=

由韦达定理知121222,p pb

y y y y k k

+=?=

① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4

π

αβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122

122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：

212p

b pk

=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=

所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.

练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是的角平分线, 证明直线过定点.

【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C

(Ⅱ) 点B (-1,0), .

直线PQ 方程为:

所以,直线PQ 过定点(1,0)

练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入 （5分）

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=?-=?=+t m t y y m y y y x E y x D

4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-?+++-=--+--=?∴y y y y x x x x y y x x AE AD

5)(2)4

4(4421212

2212221++-?++-?=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-?+?-+-?=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>?+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ?u u u u r u u u r

为定值;

（II ）若△POM 的面积为2

5

，求向量OM 与OP 的夹角；

（Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M Θ),,4(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线， ,4

414,2

2

212

1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,14212

1211=∴+=+y y y y y y 即 .54

42122

21=+?=

?∴y y y y OP OM (II)设∠POM =α，则.5cos ||||=??αOP OM

.5sin ||||,2

5

=??∴=?αOP OM S ROM Θ由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(??=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q Θ),,4

(323

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222

331313

2

3133131311,,41444

(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=L L L L 即即即分

,044

4,4,432

322121=+++?∴==y y y y y y y y 即Θ

即.(*)04)(43232=+++y y y y ,4

4

43

2232

232y y y y y y k PQ +=--=

Θ )4(4

2

2322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线

即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

模型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆2

2

2

r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也

有结论：“椭圆),()0(10022

22y x P b a b

y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：

14

22

=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. 第22题

（1）求证：直线AB 恒过一定点；

（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。

【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33

4(

11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13

322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13

3

ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）

（2）把AB 的方程0167,14

)1(322

=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+?+=AB 又M 到AB 的距离3323

1|

334|=+=d ∴△ABM 的面积21

316||21=??=

d AB S ◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用

本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料 练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.

(Ⅰ) 求抛物线的方程;

(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为. (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),

则切线的斜率分别为,, 所以切线：,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解. 所以直线的方程为.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知,, 所以

联立方程,消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以

又点在直线上,所以, 所以

所以当时, 取得最小值,且最小值为.

练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.

(I)求的值;(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方.

【答案】

模型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

例题：如图，已知直线L ：的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、B 在直线上的射影依次为点D 、E 。连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解： 先探索，当m=0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 中点N ,且。

猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点

证明：设，当m 变化时首先AE 过定点N

∴K AN =K EN ∴A 、N 、E 三点共线 同理可得B 、N 、D 三点共线 ∴AE 与BD 相交于定点

法2：本题也可以直接得出AE 和BD 方程，令y=0，得与x 轴交点M 、N,然后两个坐标相减=0.计算量

也不大。

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。

例题、已知椭圆C ：22

14

x y +=，若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任

一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

方法1：点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于

知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由

122

(2)44

y k x x y =+??+=?消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-= 12x -Q 和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则2

112

1

2814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为211

22

11284(,)1414k k k k -++，

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q

12122

k k k k t -∴

=-+，Q 直线MN 的方程为：121121

y y y y x x x x --=--，

∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4

x t

=

又2t >Q ，∴402t <

椭圆的焦点为

4

t

∴=

t =

故当t =

MN 过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222

121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合

韦达定理，得到点M 的横纵坐标：2

112

12814k x k -=+，1121414k y k =+；其实由222(2)44y k x x y =-??+=?消y 整理得222

222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即2

222

28214k x k -=+，2222414k y k -=+很快。不过如果看到：将2112

1

164

214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2222222

824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到1

2122

k k k k t

-=-+，由直线MN 的方程121121y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距2112

12

x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =

，由4

t

=

t =

，到此不要忘了考察t =2t >。

◆方法2：先猜想过定点，设弦MN 的方程，得出N A M A 21、方程，进而得出与T 交点Q 、S ，两坐标相减=0.

如下：

时，猜想成立。显然，当韦达定理代入整理）（：易得、相较于若分别于得直线方程：）（）（设求出范围；）（联立椭圆方程，整理：设3

3

4)]

)(43()43(44-[)2)(2(1)

2)(2()

)(43())(3(24)2(2

)2(2))2(2

,(,)2(2,

);2(2

:),2(2:,,,,;01324,3:212

21212121212211221122

1122112221=

--+-++-=+---++-+-=

-----=-------=--=

?=-+++=t y y t t m m

x x x x y y t y y t y my t x y

t x y y y t x y t S t x y t Q S Q l x x y y l x x y y l y x N y x M my y m my x l S Q T N A M A MN

◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。

练习1：（10江苏）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y

25

=1的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，

设过点T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0.

⑴设动点P 满足PF 2－PB 2

=4,求点P 的轨迹

⑵设x 1=2,x 2=1

3

，求点T 的坐标

⑶设t=9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)

解析：问3与上题同。

练习2：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．过椭圆的右焦点F 任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.

（1）求椭圆的方程：

（2）是否存在这样直线，使得点Q 恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

解析：（1）设椭圆方程为 将、、代入椭圆E 的方程，得 解得. ∴椭圆的方程

（也可设标准方程，知类似计分） （2）可知：将直线

代入椭圆的方程并整理．得 设直线与椭圆的交点， 由根系数的关系，得 直线的方程为： 由直线的方程为：，即

由直线与直线的方程消去，得

∴直线与直线的交点在直线上． 故这样的直线存在

模型四：动圆过定点问题

动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。（I ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点)3

1,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222

=+-+???=+=b x b x y x

y b

x y 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(2

2=--=?∴b b 1=∴b

22222

2

1,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=Q .12

22=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222

)3

4()31(=++y x

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12

2

=+y x ,由???==??

??

?=+=++101

)34()31(22222

y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。 当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）

若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3

1-

=kx y 由01612)918(:12

312222

=--+???????

=+-=kx x k y y x kx y 得消去 记点),(11y x A 、???

????

+-=+=+9181691812),,(2212212

2k x x k k x x y x B 则 1122(,1),(,1),TA x y TB x y =-=-u u r u u r 又因为

1212121244(1)(1)()()33

TA TB x x y y x x kx kx ?=+--=+--u u r u u r 所以

916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 09

16

918123491816)1(2

22=++?-+-?+=k k k k k ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

例题2：如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率是2

，12,A A 分别是椭圆C 的左、右两个

顶点，点F 是椭圆C 的右焦点。点D 是x 轴上位于2A 右侧的一点，且满足

121122A D A D FD

+==。 （1）求椭圆C 的方程以及点D 的坐标；

（2）过点D 作x 轴的垂线n ，再作直线:l y kx m =+ 与椭圆C 有且仅有一个公共点P ，直线l 交直线n 于点 Q 。求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定 点的坐标。 解：（1）12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，设(,0)D x ， 由

1211

2A D A D

+=有

112x a x a +=+-， 又1FD =，1,1x c x c ∴-=∴=+，于是

11

211c a c a +=+++-

1(1)(1)c c a c a ?+=+++-

，又2

c a a =?=Q ，

1(1)(1)c c c ∴+=+++

2

0c c ?-=，又0c >

，1,1c a b ∴=∴==，椭圆2

2:12

x C y +=，且(2,0)D 。

（2）方法1：(2,2)Q k m +Q ，设00(,)P x y ，由22

22

()121

2

y kx m

x kx m x y =+???++=?+=?? 222()2x kx m ?++=222(21)4220k x kmx m ?+++-=，

由于2

2

2

2

2

2

2

2

164(21)(22)021021k m k m k m m k ?=-+-=?-+=?=+（*），

而由韦达定理：*00

222422222121km km km k x x k k m m ---=?===-++由（）， 20021k y kx m m m m ∴=+=-+=，21

(,)k P m m

∴-，

设以线段PQ 为直径的圆上任意一点(,)M x y ，由0MP MQ ?=u u u r u u u u r

有

2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0k k k

x x y y k m x y x k m y m m m m m +-+--+=?++-++++-=由对

称性知定点在x 轴上，令0y =，取1x =时满足上式，故过定点(1,0)K 。

法2：本题又解：取极值，PQ 与AD 平行，易得与X 轴相交于F （1,0）。接下来用相似证明PF ⊥FQ 。

;22,,0000=+y y x x PQ y x P 切线方程为易得）（设)1,

0(0

y x D -易得 FD PH ⊥设

0090,;1;1;1;=∠??==-=

-==PFQ FDQ PHF FD DQ

PH HF DF y x DQ x HF y PH ，易得相似于固

问题得证。

练习：（10广州二模文）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点2F 与抛物线2

2:4C y x =的焦点重

合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25

||3

PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点,圆3

C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；

（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.

（1）解法1：∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).

∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由

抛物线的定义可知211PF x =+,∵253

PF =

,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >,

得1y =

∴点P

的坐标为23,? ?. 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中， 1c =

.122||||4a PF PF =+=+=

∴2,a b ===∴椭圆1C 的方程为22143

x y +=. 解法2：∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为

1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,

∵253

PF =

,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >

得1y =

∴点P

的坐标为2(3.在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中，1c =. 由222

221424

199c ,a b c ,.

a

b ?

?=?=+???+=?

解得2,a b ==∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.

∴r =

∴圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()*

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).∴20014

x y =

. 把20014

x y =

代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()**

方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.

x y x y ?-=??-=??+-=??

解得2,

0.x y =??=?

∵点(2,0)在椭圆1C :22

143

x y +=上,∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.∴

r =

∴ 圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()***

令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为22

4x y +=.

由22224,

1,4

3x y x y

?+=??+=??解得2,0.x y =±??=?∴圆3C :22

4x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. 分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不

恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0.