初三数学第3讲：三角形一边的平行线性质定理

教学内容

一、知识要点：

1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，

（2）

（1）

D

C

B

A

D C

B

A

如图（1）：

ABD ADC S BD

S DC

=

如图（2）：若A D ∥BC,则

ADC ABC S AD

S BC

=

2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

如图（1），若D E ∥BC ，则

AD

AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE

AB AC =

如图（2），若D E ∥BC ，则AB

AC AE

AD =或AB AC EB DC =或EA DA

EB DC

=

E

D

E

（2）

（1）

C

B

A

D

C B

A

3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则

A D D E A E

A B B C A C

==;

如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则

AB BC AC

AE DE AD

==.

E

D

E

（2）

（1）

C

B

A

D

C B

A

小试牛刀： 选择题

1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（ ）

A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立

B 、利用平行线性质

C 、利用三角形全等

D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题

1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC

2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则

AC=____________

3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5

厘米，则AC=_______厘米。

4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________.

5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD

相交于点O ，则EO:OB=____________。

第1题

E D C

B

A

第4题

O

D

C

B

A

O

E

D

C

B

A

二、典型例题：

例1、如图所示，D E∥AB,EF∥BC，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD。

F E

D C

B

A

例2、如图所示，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O。

求证：

注意：（1）在证明时，常把等积式转化成比例式证明；（2）当证明的比例式中线段在同一直线上时，常采取用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量；

（3）证明比例式常利用中间比来转化。

O F

E

D

C

B

A

例3、如图，平行四边形ABCD，E是AB的中点，F是BC的三等分点，EF与BD交于O 点，求BO：OD的值。

A D

E

O

B F C

例4、如图，平行四边形ABCD，E是AB的中点，F是BC的三等分点，G是AD上的四等分点，EF与BG交于O点，求BO：OG的值

A G D

E

O

B F C

尖峰时刻

例5、如图所示，A B⊥BD于点D，连接AD、BC，它们交于点E，EF⊥BD于点F。

求证：

111

+=

AB CD EF

F

E

D

C

B

A

试一试：上题中，如将条件“AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD”改为“AB∥EF∥CD”那么原结论是否成立呢？

三、课堂练习

1、如下左图，AM:MB=AN:NC=1:3,则MN:BC=________

N

M

C

B

A

O

D

C

B

A

2、如上右图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若AO DO

=CO BO

,AO=8,CO=12,BC=15,则AD=______________。

3、 如图，四边形DECF 为菱形，AC=15,BC=10，则菱形的周长为___________

F E D

C

B

A

F

E

D C

B A

4、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，AF ＝3，FD ＝2，求AB 的长。

5、如图平行四边形ABCD ，AD=12，P 、Q 是对角线BD 上的三等分点，延长CQ 交AD 于点S ，延长SP 交BC 于点R ，求BR 的值？ A S D

Q P

B R C

重心问题 一、知识要点

1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。 数学表达：

如图，已知：AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的中线，AD 、BE 、CF 交于点G,则

2

1

AG BG CG GD GE GF === G

F

E

D

C B

A

牛刀小试：

1、如图，已知：△ABC 的中线AD 、CE 相交于点G ，AD=6cm ，EG=3cm ，则AG=_____,EC=_______.

G

E

D

C

B

A

G

E

D

C

B

A

2、如图，已知：G 是△ABC 的重心，GE ∥AC ，则DE ：BD=__________

3、如图，已知：△ABC 中，AB=AC,A D ⊥BC.BE 是AC 上的中线，BE=15cm ，AG=12cm ，则ABC S ?=————————。

G

E D

C

B

A D

C

B

A

4、如图△ABC 中，D 为重心，且△ABC 的面积为60。则ABD S ?=__________

二、典型例题

例1、如图△ABC中，G为重心GD∥AB，GE∥AC，求证：BD=DE=EC。

A

G

B D E C

第 3 次课后作业

学生姓名：

一、

填空题

1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,下列各式中错误的是（ ）

A 、

AD AB =AE AC B 、BD EC

=AD AE C 、AD DE =DB BC D 、AE DE

=AC BC

2、如图，DE ∥BC,BD 和CE 相交于点O ，EO 1

=OC 3

，AE=3,则EB 为（ ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、15

3、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC,EF ∥CD,那么下列线段的比中与AE

AC

相等的有（ ）个。 ①

AF AD ;②AF AB ;③FD FB

;④AD

AB A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

第1题

E D C

B

A

第2题

O

E

D

C

B

A

第3题

F E

D

C

B A

二、填空题

1、 如图，已知AB ∥DE ，AC ＝4，BC ＝3，CD ＝5，那么CE:CD ＝_______

E

D

C B

A

2、 在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，DE ∥BC ，若AD:AB ＝3:4，EC ＝14厘

米，则AE:EC ＝______，AC ＝______，AE ＝______。

3、如图，已知△ABC中D为BC的中点，过D的一条直线，交AC于点F，交BA的延长线于点E，AGBC，交EF于点G，那么线段EG、ED、GF、FD之间有什么关系？

E

A G

F

B D C

思维拓展：

1、如图，△ABC中，四边形DECF是正方形，AC=5，BC=3，求AE：DF

A

E D

C F B

2、如图△ABC中，∠B的平分线BD交AC于D，过D作DE∥AB，交BC于E，AB=5，BE=3，求EC的值。

A

D

B E C

3、在△ABC中，AD是中线，G是AD上一点，GE∥AB，GF∥AC，E、F都在边BC上（1）求证:BE=CF

EF

（2）如果G是△ABC的重心，求

BC

A

G

B E D F C

4、如图AD∥BC，DB与AC交于O，过O作OM∥AD，交AB于M点，AD=2，BC=5，求OM的值。 C

D

O

A M B

问题AB的长度发生改此题中OM的长度是否发生改变？