高考数学 高频考点归类分析 逻辑推理(真题为例)
典型例题：
例1. （2012年全国大纲卷理5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边
BC 上， 3
7
AE BF ==
，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为【 】
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10 【答案】A 。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E ,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，
为便是于计算，将正方形ABCD 的边长扩大7倍，这样边长为7，3AE BF ==，4BE CF ==。
∴这些三角形相似的两边长之比
4
3
BE BF =。 ∴431616574333CF GC DG GC GC ==?=?=-=；
35
5443
DH DH DH DG ==?=； 5
313131477
74222
CI CI DH
CI BI -
-==?=?=-=； 1
32219274333
BI BJ AJ BJ BJ ==?=?=-=； 31919971944443
AK AK AK DK AJ ==?=?=-=；
9
3434DK
DL DL DL ==?=。 ∴经过7次碰撞，到达与点E 成轴对称的点L 处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E ，共14次碰撞。故选A 。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边
BC 上，
1
3
AE BF
==，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【】
A 8
B 6
C 4
D 3
【答案】B。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞6次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，
为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大3倍，这样边长为7，1
AE BF
==，2
BE CF
==。
∴这些三角形相似的两边长之比
2
1
BE
BF
=。
∴
32331
31
1222
GK
FK DG
FK FK
==?=?=--=；
2
1
11
2
DH DH
DH
DG
==?=；
∴经过3次碰撞，到达与点E成轴对称的点H处，根据正方形的对称性，再经过3次碰撞，到达点E，共6次碰撞。故选B。
例 3. （2012年江西省理5分）观察下列各式：22
1,3,
a b a b
+=+=334455
4,7,11,
a b a b a b
+=+=+=则1010
a b
+=【】A．28 B．76 C．123 D．199
【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故10
10
123a b +=。故选C 。
例4. （2012年福建省文5分）数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2 012
等于【 】
A ．1006
B ．2012
C ．503
D ．0 【答案】A 。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a 1＝1cos π2＝0，a 2＝2cosπ＝－2，a 3＝3cos 3π
2＝0，a 4＝4cos2π＝4；
a 5＝5cos 5π2＝0，a 6＝6cos3π＝－6，a 7＝7cos 7π2＝0，a 8＝8cos 8π
2
＝8；
······
∴该数列每四项的和()
+1+2+3+++=2=1,59,4+1k k k k a a a a k r r N *??∈，，，。 ∵2012÷4=503，∴S 2 012＝2×503＝1006。故选A 。
例5. （2012年北京市理5分）已知()()x f x m(x 2m)
x m 3,g x 22=-++=-（），若同时满足条件：
()()()()x R f x 0g x 0x (,4),f x g x 0?∈?∈∞? ，＜或＜，--＜①②，
则m 的取值范围是 ▲ 【答案】()4,2-- 。
【考点】简易逻辑，函数的性质。 【解析】由()x g x 220<=-得x 1<。
∵条件()()x R f x 0g x 0?∈，＜或＜①，∴当x 1≥时，()f x 0＜。 当m=0时，()f x =0，不能做到()f x 在x 1≥时，()f x 0＜，所以舍去。
∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴m <0，且此时两个根为
12x =2m x =m 3--，。
为保证条件①成立，必须12m 0
m 0
1x =2m 1
m 4m 02x =m 31m 4
<<<<<<<>?????
??-????
--?-??。 又由条件()()x (,4),f x g x 0?∈∞? --＜②的限制，可分析得出x (,4)∈∞ --时，
()f x 恒负。
∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比12x x ，两根中小的那个大。 由2m=m 3--得m=1-，
∴当()m 1,0∈- 时，m 34<---，解得交集为空集，舍去。 当m=1-时，两根同为－2＞－4，舍去。
当()m 4,1∈-- 时，2m 4m 2<<-?-。 综上所述，()m 4,2∈-- 。
例6. （2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：
（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 ▲ 项； （Ⅱ）12k b - = ▲ 。（用k 表示）
【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()
5512
k k -。 【考点】归纳规律。
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)
2
n n n a +=
，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为
10,15,45,55,105,110。
故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======。 从而由上述规律可猜想：255(51)
2
k k k k b a +==
（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)
22
k k k k k k b a ----+-===
。 故201221006510065030b a a a ??===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项。
例7. （2012年湖南省理5分）设N =2n
（n ∈N *
，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的
数取出，并按原顺序依次放入对应的前
2N 和后2N
个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N -1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2
N
个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n -2
时，将P i 分成2i
段，每段2
i N 个数，并对每段C 变换，得到P i +1，例如，当N =8时，
P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.
（1）当N =16时，x 7位于P 2中的第 ▲ 个位置； （2）当N =2n
（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第 ▲ 个位置. 【答案】（1）6；（2）4
32
11n -?+。
【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理。 【解析】（1）当N =16时,
012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,
,16), 113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,
2,4,6,8,
,16), 21591337111526
16P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,
,16), x 7位
于P 2中的第6个位置。
（2）考察C 变换的定义及（1）计算可发现：
第一次C 变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，
且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；
第二次C 变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等
差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项；
依此类推可得出P 4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x 173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N =2n
（n ≥8）故每段的数字有2n -4个，以13为首项的是第四段，故x 173位于第4
32
11n -?+个位置。
例8. （2012年福建省理4分）数列{a n }的通项公式=cos +12
n n a n π
，前n 项和为S n ，则S 2 012＝ ▲ . 【答案】3018。 【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a 1＝1cos π2＋1＝1，a 2＝2cosπ＋1＝－1，a 3＝3cos 3π
2＋1＝1，a 4＝4cos2π
＋1＝5；
a 5＝5cos
5π2＋1＝1，a 6＝6cos3π＋1＝－5，a 7＝7cos 7π
2
＋1＝1，a 8＝8cos 8π
2
＋1＝9；
······
∴该数列每四项的和()
+1+2+3+++=6=1,59,4k k k k a a a a k r r N *??∈，，，。 ∵2012÷4=503，∴S 2 012＝6×503＝3018。
例9. （2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ． 【答案】16。
【考点】最优设计方案。
【解析】根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是A →F →G →D ，E →F →B ，E →G →C ，费用最低的是A →F →G →D 为3＋1＋2＝6；再选择A →F →G →D 线路到点E 的最低费用线路
是：A →E 费用为2；再选择A →F →G →D 到C →B 的最低费用，则选择：G →C →B ，费用最低为3＋5＝8，所以铺设道路的最小费用为：6＋2＋8＝16。 例10. （2012年陕西省理5分） 观察下列不等式
213122+
< 231151233
++<，
222111712344+++<
……
照此规律，第五个．．．不等式为 ▲ . 【答案】222221111111
1234566
+
++++<。 【考点】归纳规律。
【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n +1的平方；右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n +1，分母是不等式的序号n +1，得出第n 个不等式，即可得到通式：()
2
1
21
1
1n
i n <
n n =+++∑
。 令n =5，即可得出第五个不等式
()
5
2
1
116
1i <
n =+∑
，即
2222211111111234566
+
++++<。 例11. （2012年北京市文13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，
a b c d
e
f
满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0。记r i （A ）为A 的第i 行各数之和（i=1,2），c j （A ）为A 的第j 列各数之和（j=1，2，3）；记k （A ）为|r 1(A)|, |r 2(A)|, |c 1(A)|，|c 2(A)|，|c 3(A)|中的最小值。 （1）对如下数表A ，求k （A ）的值
1 1 －0.8 0.1
－0.3
－1
（2）设数表A 形如
其中－1≤d≤0.求k （A ）的最大值；
（3）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值。 【
答
案
】
解
：
（
1
）
由
题
意
可
知
()()()()()12123r A =1.2r A = 1.2c A =1.1c A =0.7c A = 1.8--，，，，，
∴()K A 0.7=。
（
2
）
()()()()()12123r A 12d r A 12d c A c A 1d c A 22d =-=-+==+=-- ，，，
∵－1≤d≤0，
∴()()()123r A =r A 1d 0c A 1d 0≥+≥≥+≥， 。 ∴()()()12k A =c A c A 1d 1==+≤。 ∴当d=0时，k （A ）取得最大值1。 （3）任给满足性质P 的数表A （如下所示）
任意改变A 三维行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所
得数表A*仍满足性质P ，并且k （A ）=k （A*）
因此，不防设r 1（A ）≥0，c 1（A ）≥0，c 2（A ）≥0，
由k （A ）的定义知，k （A ）≤r 1（A ），k （A ）≤c 1（A ），k （A ）≤c 2（A ）， ∴()()()()()()()1123k A r A c A c A a b c a d b e ≤++=++++++
()()a b c d e f a b f a b f 3=+++++++-=+-≤
∴k（A ）≤1
由（2）可知，存在满足性质P 的数表A 使k （A ）=1，故k （A ）的最大值
为1。
【考点】逻辑推理。
【解析】（1）根据r i （A ）为A 的第i 行各数之和（i=1，2），c j （A ）为A 的第j 列各数之和（j=1，2，3）；求出|r 1（A ）|，|r 2（A ）|，|c 1（A ）|，|c 2（A ）|，|c 3（A ）|中的最小值可即为所求。
（2）k （A ）的定义可求出k （A ）=1+d ，然后根据d 的取值范围可求出所求。 （3）任意改变A 三维行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数
表A*仍满足性质P ，并且k （A ）=k （A*）。因此，不防设r 1（A ）≥0，c 1（A ）≥0，c 2（A ）≥0，然后利用不等式的性质可知3k （A ）≤r 1（A ）+c 1（A ）+c 2（A ），从而求出k （A ）的最大值。
例12. （2012年上海市理18分）对于数集12{1,,,
}X ,n x x x =-，
其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集{|(,),Y }X ,X a a s t s t ==∈∈. 若对于任意1Y a ∈，存在2Y a ∈，使得
120a a ?=，则称X 具有性质P. 例如{1,2}X 1,=-具有性质P.
（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）
（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）
（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，2x q =（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取1(,2)a x =，则Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -。 ∴=2x b ，从而x =4。
（2）证明：取111Y (,)a x x =∈，设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=。 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，∴s 、t 异号。
∵－1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为－1，另一为1。
故1∈X 。
假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101。
选取11Y (,)n a x x =∈，并设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=，即
01=+n tx sx 。
则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为－1。 若s =－1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾；
若t =－1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾. ∴1x =1。
（3）猜测1
-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
记2{1,1,,}A ,k k x x =-，k =2, 3, …, n 。
先证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P 。
任取1(,)a s t =，s 、t ∈A k .当s 、t 中出现－1时，
显然有2a 满足120a a ?=。 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1。
∵1A k +具有性质P ，∴有211(,)a s t =，1s 、1t ∈1A k +，使得120a a ?=。
从而1s 和1t 中有一个是－1，不妨设1s =－1， 假设1t ∈1A k +且1t ?A k ，则11+=k x t 。
由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈A k 矛盾。 ∴1t ∈A k ，从而A k 也具有性质P 。
现用数学归纳法证明：1
-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
当n =2时，结论显然成立。
假设n k =时，2{1,1,,
}A ,k k x x =-有性质P ，则1
-=i i q x ，i=1, 2, …,
k ；
则当+1n k =时，若121{1,1,,
,,}A k k k x x x ++=-有性质P ，则
2{1,1,,}A ,k k x x =-
也有性质P ，所以111{1,1,,
,,}A k k k q q x -++=-。
取11(,)k a x q +=，并设2(,)a s t =满足120a a ?=，即01=++qt s x k 。
由此可得s 与t 中有且只有一个为－1。
若1-=t ，则1≥s ，所以1k q
x q s
+=
≤，这不可能； ∴1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k
k q x =+1。
综上所述，1-=i i q x 1
-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。 【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P ，再用
数学归纳法证明猜测1
-=i i q x ，i =1, 2, …, n 。
例13. （2012年北京市理13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合。 对于A∈S(m，n)，记R i (A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n）；
记K (A)为∣R 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣R m (A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣C n (A)∣中的最小值。
（1）对如下数表A ，求()K A 的值；
1 1 －0.8 0.1
－0.3
－1
（2）设数表A∈S（2,3）形如
1 1 c a
b
－1
求()K A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的A∈S（2，2t+1），求()K A 的最大值。 【答案】
解：（1）由题意可知()()()()()12123r A =1.2r A = 1.2c A =1.1c A =0.7c A = 1.8--，，，，， ∴()K A 0.7=。
（2）先用反证法证明()K A 1≤：
若()K A 1>，则()1C A =a 11>+，
∴a 1
1a 11a 1a 11a 11a 11<<<<<><>?--???????++-+????
或（无解）0a 1<<。
同理可知0b 1<<。 ∴0a b 2<<+。
由题设所有数和为0，即a b+c 1=0a b=1c ++?+--， ∴01c 2<<--，解得3c 1<<-，与题设c 1≤矛盾。 ∴()K A 1≤。
易知当a=b=0时，()K A =1存在。 ∴()K A 的最大值为1。 （3）()K A 的最大值为
2t 1
t+2+。 首先构造满足()2t 1
K A =t+2
+的{}
{}i j A=a i=1,2j= t ??? ，；1，2，，2+1：
1,11,21t 1t+11t+21t+1t 1
a =a ==a =1a =a ==a =t+2
-??????，，，，2，， ()
22,12,2t t+1t+2t+1t t 1
a =a ==a =a =a ==a =1t t 2++??????-+2，2，2，2，2，。
经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
()()122t+1r A =r A =
t+1
，
()()()()212t t t 1t+12t+1
c A =c A ==c A =11t t 2t+2t+2
>>++???+++，
()()()t 1t 22t+1t 12t+1
c A =c A ==c A =1+
=
t+2t+2
++-???。 下面证明
2t+1
t+2
是最大值。 若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得()2t+1
K A =x t+2
>
。 由()K A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝
对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间
[]x 2 ，
中. 由于x 1>，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x 1-。
设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，
则g t h t+1≤≥，。另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负。
考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于
t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x 1-（即每个负数均不超过1x -）。
因
此
()()()()()()11r A =r A t 1t 11x =2t 1t 1x=x 2t 1t+2x x <≤?++-+-++?+-???，故A 的第一行
行和的绝对值小于x ，与假设矛盾。
因此()K A 的最大值为
2t+1
t+2
。 【考点】逻辑推理，反证法的应用。
【解析】（1）根据r i （A ）为A 的第i 行各数之和（i=1，2），c j （A ）为A 的第j 列各数之和（j=1，2，3）；求出|r 1（A ）|，|r 2（A ）|，|c 1（A ）|，|c 2（A ）|，|c 3（A ）|中的最小值可即为所求。
（2）用反证法证明。 （3）先构造满足()2t 1
K A =t+2
+的{}
{}i j A=a i=1,2j= t ??? ，；1，2，，2+1，用反证法证明
2t+1
t+2
是最大值。 例14. （2012年湖北省理14分）（Ⅰ）已知函数()()()=-+1->0r
f x rx x r x ，其中r 为有理数，且0<<1r .求()f x 的最小值；
（II ）试用（1）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若12+=1b b ，则
12121122+b b a a a b a b ≤；
（III ）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当
α为正有理数时，有求导公式()-1'=x x ααα
【答案】解：（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =。
当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数。
∴函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①。
若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立；
若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-。 于是在①中令12a x a =
，1r b =，可得1111122
()(1)b a a
b b a a ≤?+-， 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+。
综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有
12121122b b a a a b a b ≤+ ②。
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设12,,,n a a a 为非负实数，12,,
,n b b b 为正有理数.
若
121
n b b b ++
+=，则
12
121122n
b b b n n n
a a a a
b a b a b ≤++
+.
③
用数学归纳法证明如下：
（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立。 （2）假设当n k =时，③成立，即若12,,
,k a a a 为非负实数，12,,,k
b b b 为正有理数， 且121k b b b ++
+=，则12
12
1122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤++
+。
当1n k =+时，已知121,,
,,k k a a a a +为非负实数，121,,
,,k k b b b b +为
正有理数， 且1211k k b b b b +++
++=，此时101k b +<<，即110k b +->。
∴11121212
1
12
1
()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a
a a
a a
++++==121111111111
2
1()
k
k k k k k b b b b b b b b k
k a
a
a
a +++++----+。
∵
12
11
1
1111k
k k k b b b b b b +++++
+
=---，由归纳假设可得
1
21111111
2
k k k k b b b b b b k
a a
a
+++---≤
12
1211
1
111k
k k k k b b b a a a b b b +++?
+?+
+?
---11221
1k k
k a b a b a b b ++++=
-，
∴11212
1
k k b b b b k k a a
a a
++≤1
1
11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++??+++ ?
-??
。
又∵11(1)1k k b b ++-+=，由②得
1
1111221
11k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++??
+++ ?
-??
11221111
(1)1k k
k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤
?-+-
112211k k k k a b a b a b a b ++=++
++，
∴112
121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++.
故当1n k =+时，③成立。
由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立，
【考点】利用导数求函数的最值，数学归纳法的应用。 【解析】（Ⅰ）应用导数求函数的最值。
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分1a ，2a 中有一个为0和1a ，2a 均不为0讨论即可。 （Ⅲ）应用数学归纳法证明。
最新高考-2018届高考数学逻辑推理与证明 精品
《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座 —逻辑、推理与证明、复数、框图 一．课标要求： 1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系； （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 （3）全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2．推理与证明 （1）合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用； ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理； ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点； ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点； （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； （4）数学文化 ①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想； ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用； 3．数系的扩充与复数的引入 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系； （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； （3）了解复数的代数表示法及其几何意义； （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4．框图 （1）流程图 ①通过具体实例，进一步认识程序框图； ②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）； ③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用； （2）结构图 ①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息； ②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。 二．命题走向 常用逻辑用语 本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。 预测18年高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
最新江苏省高考数学试卷及解析
2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是． 5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=． 6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是． 7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是． 9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是． 11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是． 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=， 其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是． 二.解答题 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
数学的语法规则——逻辑推理
数学的语法规则——逻辑推理
主题1 数学的语法规则——逻辑推理同学们，我们知道语文和外语都有自己的语法规则，数学作为一门描述大自然和经济生活的语言，当然也有自己的语法规则，这就是逻辑推理.法国著名的哲学家、数学家和物理学家笛卡尔曾经讲过：“几何学家惯于在极其困难的证明中运用简单而又容易的推理长链达至结论.这使我设想，凡是人能认识的事物全都以此方式相互联系，没有什么由于遥远而我们达不到的，或者由于隐蔽而发现不了的，只要我们力戒以假作真，始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必需的秩序.”这段话深刻地说明逻辑推理对于数学和生活中的重要作用.正因如此，宝爸宝妈们已经从娃娃开始培养孩子的逻辑推理能力. 【数学史话】逻辑学的历史和现状 大约在公元前6世纪左右，古代中国、古代印度和古希腊的学者，就各自独立地建立了自己的逻辑学说.他们分别是“名辨之学”、因明和古希腊的逻辑学.其中，古希腊的逻辑学最为系统，因而在世界逻辑学发展史上影响也最大、最深. 古希腊学者亚里士多德被认为是古希腊逻辑学的创始人，他在其由后人整理并取名为《工具论》的著作中，第一次全面、系统地论述了传统形式逻辑，提出了有关范畴、命题、三段证明和谬误等一系列重要论述和思想.他所创立的逻辑学，逻辑史上称之为古典的或传统的形式逻辑（“形式逻辑”这一称呼是17世纪康德提出的）或古典的演绎逻辑.这一逻辑的主要特点在于：它是建立的对范畴的研究基础之上，即它主要涉及范畴、又范畴组成的命题、由命题组成的三段论和论证等.这是古代逻辑中较为完整地建立起来的一个三段论系统，它构成了逻辑的一个初等的、但是重要的部分. 亚里士多德以后，麦加拉-斯多葛学派研究了亚里士多德逻辑中欠缺的有关
高考数学考点分析与2013届高三复习建议
2012年安徽省高考数学试卷分析与2013届高三复习建议一．近四年安徽高考考点分布（理科）
二．2012年安徽高考数学试卷分析 2012年高考安徽数学卷给人的第一感觉是“不难”、“常规”、“平稳”。应该说，今年的安徽卷是在前三年新课标自主命题基础上进一步深化课标理念，体现人文关怀的一套试题，让不同层次的考生在高考中一样能获得比较满意的分数，这样的成就感无疑成就他们心头的希望之火。我认为今年的这种命题理念是安徽高考命题发展的必然，也是在新一轮命题周期中的良好开端，进而坚持改革，坚持安徽特色，坚持深化素质教育。 课标高考安徽卷坚持的命题指导思想就是“稳定中逐步创新，不断深化新课标理念”，命题时强调依据新课标和考试说明，对于主干知识重点考查，不刻意追求覆盖，这些无疑是很好的。因为这实现了命题者、考生、教师在同一个平台上对话，容易实现双向沟通，也是稳定得以实现的前提。我们看到2012年的安徽卷很好地体现了这一指导思想，从题目上看，没有在客观题部分设置难度很大的试题，让考生以较平稳的心态进入到主观题的答题中去，同时在主观题部分，基本都是低起点，宽入口，设置多问，阶梯递进，让不同层次的学生都能在解答题中获得相应的分数，变一到两题把关为多题多问把关，即使最后一题的第一问多数学生还是可以拿下的。试卷整体难度比去年降低不少。 下面就今年年安徽高考数学主干知识考查题型略加分析： 1、三角函数：文理都设置了一大一小两题，重点考察三角函数的恒等变形、图像性质、解三角形等常规问题，理科第15题为多选题，结合余弦定理、均值不等式等知识点，难度很大。这已经是安徽省小题把关、小题创新的一大特色，正方体、四面体、概率、直线方程、函数、数列都可以入题，考查知识点全面、辩证思维、抽象思维能力要求都很高，稍有不慎就会整题丢分，这一直是学生一大薄弱环节。 15（理）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____ ①若2 ab c >；则3 C π < ②若2a b c +>；则3 C π < ③若3 33a b c +=；则2 C π < ④若()2a b c ab +<；则2 C π > ⑤若2 2222()2a b c a b +<；则3 C π > 【解析】正确的是①②③ ①2222 21cos 2223 a b c ab ab ab c C C ab ab π +-->?= >=?<
2018江苏高考数学试卷与解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，
cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；
高考数学 简易逻辑与推理
高考数学简易逻辑与推理1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为() A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 D[该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，故选项D正确．为真命题，故选D.] 2．(2019·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 A[由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．] 3．已知命题p：?x0∈R，tan x0＝1，命题q：?x∈R，x2＞0，下面结论正确的是() A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧(q)”是假命题 C．命题“(p)∨q”是真命题 D．命题“(p)∧(q)”是假命题 D[取x0＝π 4，有tan π 4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x 2＝0，故命 题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．] 4．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥1 B．a>1 C．a≥4 D．a>4 D[命题可化为x∈[1,2)，a≥x2恒成立． ∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a≥4，∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.]
5．若命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围 是( ) A ．[－1,3] B ．(－1,3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D [因为命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.] 6．已知命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β； 命题q ：若a ∥α， a ∥β， α∩β＝b, 则a ∥b, 下列是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(q ) C ．p ∧(q ) D ．(p )∧q D [若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ?β，故p 假，p 真；若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b ，正确， 故q 为真，q 为假，∴(p )∧q 为真，故选D.] 7．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：?x ∈? ?? ??0，π2， f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题， p ：?x ∈? ????0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，p ：?x ∈? ?? ??0，π2，f (x )>0 C [因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈? ?? ??0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对?x ∈? ?? ??0，π2，f (x ) 绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12 ,,,n x x x L 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若复数 12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积 =g a b ★ . 【答案】3 【解析】232=?=g a b 。 3.函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)- 【解析】 2 ()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。 4.函数 sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如 图所示，则ω= ★ . 【答案】3 【解析】3 2T π =， 23T π =，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s = ★ . 【答案】2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ . 【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线 3 :103C y x x =-+上， 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】 (2,15)- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 10.已知 51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大 小关系为 ★ . 【答案】m n < 0S ← 结束 普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座41—逻辑、推理与证明、复数、 框图） 一．课标要求： 1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系； （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 （3）全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2．推理与证明 （1）合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用； ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理； ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点； ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点； （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； （4）数学文化 ①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想； ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用； 3．数系的扩充与复数的引入 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系； （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； （3）了解复数的代数表示法及其几何意义； （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4．框图 （1）流程图 ①通过具体实例，进一步认识程序框图； ②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）； 2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为． 2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示： 不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众4010 女性青年观众4060 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为． 5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为． 6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为． 7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x） 的最大值为． 8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为． 9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为． 10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）． ①若α∥β，m?α，则m∥β； ②若m∥α，n?α，则m∥n； ③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为． 12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则?的最小值为． 14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 高考数学考点解析及分值分布 1．集合与简易逻辑。分值在5～10分左右（一道或两道选择题），考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2．函数与导数，函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。 3．不等式;一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4．数列：数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，有时还有一个与其它知识的综合题。分值在20分左右，文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的工具，三者综合的求解题与求证题是对 福利：本教程由捡漏优惠券（https://www.360docs.net/doc/6010062941.html, ）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把选择余额宝就行呢 每天都可以领取早餐钱哟！ 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 圆柱的侧面积公式：cl S= 圆柱侧 ，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V= 圆柱 , 其中S是圆柱的底面积,h为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上 ．．．．．．．．． 1. 已知集合A={4,3,1 ,2- -}，}3,2,1 {- = B，则= B A ▲. 2. 已知复数2)i2 5(+ = z(i为虚数单位),则z的实部为▲. 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲. （第3题） 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分 布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 【考点】频率分布直方图． 100 80 90 110 120 底部周长/cm （第6题） 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且 4 9 21=S S ，则2 1 V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)( 高考数学考点解析及分值 分布 Prepared on 22 November 2020 高考数学考点解析1．集合与简易逻辑： 10-18分 主要章节：必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》 选修1-1（文）2-1（理）《常用逻辑用语》 考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2．函数与导数： 30分+ 主要章节：必修1第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》 必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》 选修1-1（文）2-1（理）《圆锥曲线与方程》、《导数》 选修4-4《极坐标方程》《参数方程》 函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。以指数函数、对数函数、复合函数为载体，结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数生成考题，作为选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合的解答题，以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，结合不等式、数列综合成题，也是解答题拉分关键。 3．不等式：5-12分 主要章节：必修5第三章《不等式》 选修4-5全书 一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4．数列：20-28分 主要章节：必修5第二章《数列》 数列是高中数学的重要内容，是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，另外一个与其它知识的综合题。文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。证明题以考“错位相减法”比较多。 5．三角函数： 18-25分 主要章节：必修4第一章《三角函数》、第三章《三角恒等变换》必修5第一章《解三角形》 2020年高考第二轮专题复习（教学案）：逻辑与推理 考纲指要： 掌握常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式，合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容。 考点扫描： 1．常用逻辑用语：（1）命题及其关系；（2）简单的逻辑联结词；（3）全称量词与存在量词 2．推理与证明：（1）合情推理与演绎推理；（2）直接证明与间接证明。 考题先知： 例1。已知p |1－ 3 1-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2 ≤0(m >0),若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围 分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决 解由题意知 命题若?p 是?q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 是q 的充分不必要条件 p :|1－ 31-x |≤2?－2≤31-x －1≤2?－1≤31 -x ≤3?－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2 ≤0?［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴不等式|1－3 1-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2 ≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0 ∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴? ??≥≥????≥+-≤-91 10121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞) 点评：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难 例2．已知函数()(),02 32 32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围； （II ）当2 1 ≥a 时， 逻辑推理 一、情境导入（5分钟） 1、师：鸡兔同笼，头5个，鸡兔各有多少只？ 生：鸡如果是1只，兔就是4只。 生：鸡如果是2只，兔就是3只。 生：鸡如果是3只，兔就是2只。 生：鸡如果是4只，兔就是1只。 师：同学们说的很好，我们只知道他们的总头数是5，还没有办法确定鸡兔各有多少只。 师：现在加上一个条件：鸡兔同笼，头5个，腿鸡兔各有多少只？请同学们列表计 生：汇报。 教师用课件逐步展示出表格里的 数据。 师：经过列表，你们发现哪种情况 符合题目要求呢？ 生：鸡3只，兔2只，3×2+2×4=14（条）腿。 师：刚才我们经过大胆的尝试与猜测，把鸡兔的只数进行逐一列表，找出了符合题目的答案。实际这个题目，我们还可以有更加简洁的列表方法。 如，我们可以大胆的猜测鸡的只数为2只，兔就是3只，腿的总数为2×2+3×4=16 与题目中的腿总数多2条，就要减少1只兔，增加1只鸡。这样就符合题目要求了。 2、师继续点拨：在总头数不变的情况下，腿的总数减少6条，应该怎么办？ 生：增加3只鸡，减少3只兔。 师继续点拨：在总头数不变的情况下，腿的总数增加2条，应该怎么办？ 生：增加1只兔，减少1只鸡。 师继续点拨：在总头数不变的情况下，腿的总数增加4条，应该怎么办？ 生：增加2只兔，减少2只鸡。 二、新授（15分钟） 1、学习【知识要点】 师：1.逻辑推理是运用已知的若干判断去获得一个新判断的思维方法。在推理过程中，常需要否定一些错误的可能性，去获得正确的结论。解决这类问题常用的方法都有哪些？ 生：假设法、画图法、列表法等 师:还有我们以前学习的直接法、排除法等。 师：逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断。这些解决问题的策略需要我们活学活用。下面让我们到实战场上挑战吧。 出示： 【例1】小明把一枚硬币握在手中，请甲、乙、丙三个小朋友猜哪只手里握有硬币. 甲说：“左手没有，右手有”；乙说：“右手没有，左手有”；丙说：“不会两手都没有，我猜左手没有”。 小明说三人中有一人两句话都说错了，一人两句话都猜对了，一人对一句错一句。问小明的哪只手中有硬币？ 师：看到这道题，你想到了哪一种解决问题的策略呢？ 生：假设法 生：列表法 生：排除法 师：同学们想到了这么多的解决问题的策略，下面请同学们利用自己选择的策略解决问题吧。 生汇报： 生：我用的是假设法。假设甲说的全对，则乙说的就会全错；丙说的不会两手都没有（对），我猜左手没有（对），推知乙、丙两人说话的内容不符合条件，所以这种 2014年河南高考数学考点分析 数学高考试题的命制按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。在能力要求上，着重对考生的五种能力（空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力）和两种意识（应用意识，创新意识）进行考查。试题基本保持大稳定小创新。 下面针对近6年课改区试题按模块进行分析： 模块一不等式（不含选考） 2008年 6. 不等式（恒成立） 2009年 6.线性规划（目标函数为线性）; 2010年 8.解不等式 2011年 13.线性规划（线性区域为四边形内部，目标函数为线性） 2012年14.线性规划线性规划（目标函数为线性）; 2013年 1．一元二次不等式解法，11分段函数恒成立求参数范围 该部分很少考查纯粹的题目，一般会和其他知识结合考查。单纯考查一般较简单，主要考查不等式性质、解法等和线性规划,最值。学生易忽视不等式性质，线性规划试题很常规,不易过难训练. 模块二函数与导数 2008年 10.定积分21.导数（切线，对称） 2009年12.由指数函数和两个一次函数构成的最小值函数的最值（作图解决）; 21.导数（涉及指数和积的导数，求单调区间，证明不等式） 2010年 3.一次分式函数的导数；8.函数（偶函数、不等式）；11.分段函数（考查图像）；21.指数函数导数（求单调求单调、参数范围） 2011年 2.函数性质判断（奇偶性、单调性）；9.求积分；12.函数性质的运用（反比例函数与三角函数的交点问题）；21函数解析式为包含对数的分式（根据某点处切线方程求参数，根据不等式求参数） 2012年10.函数图象及性质（涉及对数）；12.函数综合（涉及指数和对数）;21.导数综合（涉求单调求单调及指数） 2013年 16函数求最值，21函数求解析式，恒成立求参数范围 大题一般考查导数有关的综合问题，注意把导数与不等式证明联系起来，导数题目的难度是相当大的，函数类型涉及有对数型、指数型、三次函数、分式函数。三个二次间的关系,分段函数,三角函数型的要引起重视.学生易在起步求导出错.求导与求定积分要分清。 模块三三角函数与平面向量 2008年 1. 三角函数（周期）3. 三角形（余弦定理）7. 三角求值13. 向量（坐标运算） 2009年 9.根据向量关系式判断点在三角形中的位置）; 14. 三角（知图像求表达式）;17.三角（正余弦定理进行实际测量的步骤） 2010年 4.三角函数的实际应用；9.三角（涉及二倍角的化简求值）；16.解三角形(三角形面积，三角变换) 2011年 5.三角化简求值（二倍角、基本关系式）；10.求向量夹角的范围;11.三角函数化简及性质研究；2012年9.三角函数的性质;13.向量运算;17.解三角 2013年 13.向量数量积运算17解三角形 小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查（注意在实 2018年高考数学试卷分析（江苏卷）命题范围： 高中数学必修1、2、3、4、5，选修1-1、1-2或选修2-1、2-2、2-3、选修系列四。文科、艺术总分160分，理科200分，其中选择题70分（14*5），解答题90分（15——17、14分；18——20、16分；）理科部分40分：21、10分（选做2题，分为A、B、C、D）； 22、23均为10分，为必做题。 一、填空题： 第1题：考查的是交集及其运算，考查基础知识，难度较小。 第2题：考查的是复数相关基本概念。 第3题：考查的是平均数公式。 第4题：考查的是伪代码，考查考生的读图能力，难度较小。 第5题：考查的是求解函数的定义域问题。 第6题：考查的是事件、古典概型的概率求解。 第7题：考查的是函数的性质：对称轴、周期、单调性等。 第8题：考查的是双曲线的性质、求解离心率的方法。 第9题：考查的是分段函数的函数值、周期性等。 第10题：考查的是几何体的定义、结构特征、几何模型、割补法求解几何体的体积。 第11题：考查的是函数的零点问题。利用函数的单调性、图像求参数的范围，再分析函数的最值、奇偶性、单调性、周期性、对称性。 第12题：考查的是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等结合的向量坐标运算，最终转化为求解方程、不等式或函数的值域问题。 第13题：考查的解三角形与不等式结合的基本不等式问题。 第14题：考查的是数列、集合、不等式、函数结合的函数最值问题。 三、解答题： 第15题：主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力。 第16题：主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力。 第17题：主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 第18题：主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力。 第19题：主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力。 第20题：主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力。 高中数学演绎推理综合测试题（有答案） 选修2-2 2.1.2 演绎推理 一、选择题 1．“∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B. 2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是() A．大前提错 B．小前提错 C．结论错 D．正确的 [答案] D [解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D. 3．《论语学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则 事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是() A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 [答案] C [解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y＝logax(x0)是增函数(大前提)，而y＝log13x是对数函数(小前提)，所以y＝log13x是增函数(结论)”．上面推理的错误是() A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A [解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a1时，才是增函数，所以大前提是错误的． 5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()江苏高考数学答案及解析
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