沪教版七年级 整数指数幂及其运算,带答案

整数指数幂及其运算

教学目标

理解整数指数幂的概念，掌握其运算法则.

知识精要

1．零指数 )0(10≠=a a 2．负整数指数 ).,0(1

为正整数p a a

a p p ≠=

- 注意正整数幂的运算性质:

n

n n mn

n

m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(,

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是0或负整数． 3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法:

绝对值大于0而小于1的数可以表示为：10n a -?（其中110,a n ≤<为正整数）

热身练习

1. 当x ________时，2(42)x -+有意义？

2. 将代数式22

2332b a

----化成不含负指数的形式_______.

3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是_______.

4. 计算：

（1）03211

(0.5)()()22

---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷??

（3）2222()()a b a b -----÷+ （4） 3

2

3(

)xy -

（5）02140)2

1

()31()101()21()2(?++------ （6） 52332()()y y y ---÷?

5. 用小数表示下列各数

（1）610- （2）31.20810-? （3）59.0410--?

6. 用科学记数法表示下列各数

（1）34200 （2）0.0000543 （3）－0.000789

7. 计算：22(2)2----=_______.

8.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示此数为_________米.

精解名题

1. 用负整数指数幂表示下列各式

（1）2335x y x y -+ （2）2

54m x y +

（3）51ax by - （4）2

()()

mn

m n m n -+

2. 将下列各式写成只含有正指数幂的形式

（1）2(5)(5)a b a b --+ （2）312)(--+cd ab

（3）321(6)xy x y -+ （4）111()x y ---+

（5）222(2)n n -+- （6）3222011111

()()()()()23323---?-?++-

（7） 2224()()x y x xy y ----++

巩固练习

1.化负整数指数幂为正整数指数幂：

(1)4a -=________. (2)21()n m a b a b --+=________.

(3) 2m n a b c --=________.

2.如果下列各式中不出现分母，那么：

(1)2x y =________. (2)33()

b a a b =-________.

(3)

22()

n

a b

a a

b -+=________.

3.科学记数法：(1)265000000=________. (2)63.50510-?=________.

4. 计算：32m m --?=________.

2005200620072008(1)(1)(1)(1)-+-+-+-=________. 5.下列计算结果中， 正确的是（ ） A ．236a a a --?= B. 0808m m m ÷÷= C. 5315()x x --= D. 091y y ?=

6.下列各数中，是科学记数法的正确表示的是（ ） A. 15910-? B. 561.510-? C. 20.588910-? D. 5600--

7.用科学记数法表示下列各数

（1）20050000000； （2）100700000； （3）－1946000；

（4）0.000001219 （5）0.00000000623 （6）－0.0000000168

8. 写出下列用科学记数法表示的数的原数. （1）96.66610?； （2）69.20110-?

（3）16.43210-? （4）22.78310? 9.计算

（1）06(0.7)(1);-+- （2）333(3)---+-

（3）0221

(4)(2)52

-+-； （4）22[(5)]---

（5）22()a b -+ （6）11()()x y x y --+-

（7）11(3)(4)a b a b --+- （8）2224()()x y x xy y ----++

自我测试

一、选择题:

1．下列式子是分式的是（ ）

A ．x x +2

B ．22+x

C ．ππ+x

D ．2

y

x +

2．下列各式计算正确的是（ ）

A ．11--=b a b a

B ．ab b a b 2=

C ．()0,≠=a ma na m n

D ．a

m a

n m n ++=

3．下列各分式中，最简分式是（ ）

A ．()()y x y x +-73

B ．n m n m 27966+-

C ．2222ab b a b a +-

D ．222

22y

xy x y x +--

4．化简2

293m

m

m --的结果是（ ） A.

3+m m B.3

+-m m

C.3-m m

D.m m -3 5．若把分式xy y x 22

2+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ）

A ．扩大2倍

B ．不变

C ．缩小2倍

D ．缩小4倍

6．若分式方程

x

a x

a x +-=

+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2

7．已知

4

32c b a ==，则c b a +的值是（ ）

A ．54 B. 47 C.1 D.4

5

8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．

x x -=+306030100 B ．30

60

30100-=+x x

C ．

x x +=-306030100 D ．30

60

30100+=

-x x 9．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（ ）

A ．

448020480=--x x B ．204480

480=+-x x C ．420480480=+-x x D ．204804480=--x x

10.计算

()1

22

2122-??

? ??---+-的正确结果是（ ） A.2 B.－2 C.6 D.10 二、填空题

11．计算2323()a b a b --÷=____________.

12．用科学记数法表示－0.000 000 0314=____________.

13．计算

221

42a a a -=--____________. 14．方程34

70x x

=-的解是____________.

15．已知a +b =5， ab =3，则=+b

a 1

1____________.

16．如果b

a

=2，则2

222b a b ab a ++-=____________. 17．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据

9162536

,,,,5122132

中得到巴尔末

公式，从而打开了光谱奥秘的大门.请你尝试用含你n 的式子表示巴尔末公式______________________. 三、解答题 18．计算：

（1）)2(216322b a a bc a b -?÷ ； （2）93234962

2

2-?+-÷-+-a a b a b

a a ．

19．解方程求x ： （1）0)1(213=-+--x x x x （2）131

32=-+--x

x x （3）2163524245--+=--x x x x （4）()

22

1046

11x x x x -=--

20．有一道题： “先化简，再求值：22241

(

)244

x x x x x -+÷+-- 其中，x =－3”． 小玲做题时把“x =－3”错抄成了“x =3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

21．甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发出乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地.已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.求步行速度和骑自行车的速度.

22.甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的

速度是骑自行车的速度的3

1

，求步行和骑自行车的速度各是多少？

23.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项 工程.如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超 过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施 工，则刚好如期完成.问原来规定修好这条公路需多长时间？

24.甲、乙两班学生植树，原计划6天完成任务，他们共同劳动了4天后，乙班另有任务调走，甲班又用6天才种完，求若甲、乙两班单独完成任务后各需多少天？

整数指数幂及其运算

教学目标

理解整数指数幂的概念，掌握其运算法则.

知识精要

1．零指数 )0(10≠=a a 2．负整数指数 ).,0(1

为正整数p a a

a p p ≠=

- 注意正整数幂的运算性质:

n

n n mn

n

m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(,

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是0或负整数． 3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法:

绝对值大于0而小于1的数可以表示为：10n a -?（其中110,a n ≤<为正整数）

热身练习

1. 当x 2≠时，2(42)x -+有意义？

2. 将代数式222332b a ----化成不含负指数的形式3249a b

3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是23

11()(

)5x y

+ 4. 计算：

（1）03211

(0.5)()()22

---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷??

解：原式=－4 解：原式=51

x

（3）2222()()a b a b -----÷+ （4） 3

2

3(

)xy -

解：原式=2222b a b a -+ 解：原式=

36

127

x y

（5）0

2140)2

1

()31()101()21()2(?++------ （6）

52332

()()y y y ---÷?

解：原式=910161++- 解：原式17y = =4

5. 用小数表示下列各数

（1）610- （2）31.20810-? （3）59.0410--? 解：（1）610-=0.000001

（2）31.20810-?=0.001208 （3）59.0410--?=－0.0000904

6. 用科学记数法表示下列各数

（1）34200 （2）0.0000543 （3）－0.000789 解：（1）34200=43.4210?

（2）0.0000543=55.4310-? （3）－0.00078=47.8910--?

7. 计算：22(2)2----= 0

8.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示此数为85.210-?米.

精解名题

1. 用负整数指数幂表示下列各式

11

891

94274

=-??++=-

（1）2335x y x y -+ （2）2

54m x y

+

解：原式231(3)(5)x y x y -=-+ 解：原式251(4)m x y -=+ （3）

51ax by - （4）2

()()

mn

m n m n -+ 解：原式51()ax by -=- 解：原式12()()mn m n m n --=-+

2. 将下列各式写成只含有正指数幂的形式

（1）2(5)(5)a b a b --+ （2）312)(--+cd ab 解：原式25(5)a b a b +=- 解：原式

32()a e b d

=+

（3）321(6)xy x y -+ （4）111()x y ---+ 解：原式26xy x y

=

+ 解：原式xy

x y =+

（5）222(2)n n -+- （6）3222011111

()()()()()23323---?-?++-

解：原式0= 解：原式

（7） 2224()()x y x xy y ----++ 解：原式

巩固练习

2.化负整数指数幂为正整数指数幂： 2

224

3

6

11()()1x x x y y y x y =-

++=-

(2)4

a

-=41a ． (2)21

()n m a b a b --+=2()

m n b a a b + ． (4) 2

m n a b c --=2n

m b a c

．

3.如果下列各式中不出现分母，那么：

(1)2x y =2

xy -． (2)33()

b a a b =-313()a a b b ---．

(3)

22()

n

a b

a a

b -+=2()(2)n a a b a b --+-． 3.科学记数法：(1)265000000=82.6510?． (2)63.50510-?=0.000003505． 4. 计算：32m m --?=5m -．

2005200620072008(1)(1)(1)(1)-+-+-+-=0． 5.下列计算结果中， 正确的是（ C ） A ．236a a a --?= B. 0808m m m ÷÷= C. 5315()x x --= D. 091y y ?=

6.下列各数中，是科学记数法的正确表示的是（ A ） A. 15910-? B. 561.510-? C. 20.588910-? D. 5600--

7.用科学记数法表示下列各数

（1）20050000000 （2）100700000 解：原式=102.00510? 解：原式=81.00710?

（3）－1946000 （4）0.000001219 解：原式=61.94610-? 解：原式= 61.21910-? （5）0.00000000623 （6）－0.0000000168 解：原式=86.2310-? 解：原式=81.6810--? 8. 写出下列用科学记数法表示的数的原数.

（1）96.66610? （2）69.20110-? 解：原式=6666000000 解：原式=0.000009201

（3）16.43210-? （4）22.78310? 解：原式=0.6432 解：原式=278.3 9.计算

（1） 60)1()7.0(-+- （2）333(3)---+- 解：原式=1+1 解：原式

=2

（3）0221(4)(2)52-+- （4）22[(5)]--- 解：原式 解：原式

（5）22()a b -+ （6）11

()()x y x y --+- 解：原式=4222

--++b ab a 解：原式22x y -=-

（7）11(3)(4)a b a b --+- （8）2224()()x y x xy y ----++

解：原式 解：原式36x y -=-

112727

227

=-

-=-

2514294=+

=21()

25625-==4

1312

4

311

ab ab ab ab =-+-=-+-

自我测试

一、选择题:

1．下列式子是分式的是（ B ）

A ．x x +2

B ．22+x

C ．ππ+x

D ．2

y

x +

2．下列各式计算正确的是（ C ）

A ．11--=b a b a

B ．ab b a b 2=

C ．()0,≠=a ma na m n

D ．a

m a

n m n ++=

3．下列各分式中，最简分式是（ A ）

A ．()()y x y x +-73

B ．n m n m 27966+-

C ．2222ab b a b a +-

D ．222

22y

xy x y x +--

4．化简2

293m

m

m --的结果是（ B ） A.

3+m m B.3

+-m m

C.3-m m

D.m m -3 5．若把分式xy y x 22

2+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ B ）

A ．扩大2倍

B ．不变

C ．缩小2倍

D ．缩小4倍

6．若分式方程

x

a x

a x +-=

+-321有增根，则a 的值是（ D ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2

7．已知

4

32c b a ==，则c b a +的值是（ D ）

A ．54 B. 47 C.1 D.4

5

8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ A ） A ．

x x -=+306030100 B ．30

60

30100-=+x x

C ．

x x +=-306030100 D ．30

60

30100+=

-x x 9．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（ C ）

A ．

448020480=--x x B ．204480

480=+-x x C ．420480480=+-x x D ．204804480=--x x

10.计算

()1

22

2122-??? ??---+-的正确结果是（ A ） A.2 B.－2 C.6 D.10 二、填空题

11．计算2323()a b a b --÷=46a b ．

12．用科学记数法表示－0.000 000 0314=83.1410--?． 13．计算2

21

42a a a -=--12a +． 14．方程

34

70x x

=

-的解是 30 ． 15．已知a +b =5， ab =3，则

=+b a 113

5. 16．如果b a

=2，则2

222b a b ab a ++-=5

3. 17．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据

9162536

,,,,5122132

中得到巴尔末

公式，从而打开了光谱奥秘的大门.请你尝试用含你n 的式子表示巴尔末公式

2

2

(2)(2)4n n ++-． 四、解答题 18．计算：

（1）)2(216322b a a bc a b -?÷ （2）93234962

2

2-?+-÷-+-a a b a b a a

解：原式=234a c - 解：原式=2

3(2)

a b --

19．解方程求x ： （1）

0)1(213=-+--x x x x （2）13132=-+--x

x x 解：1x = 解：2=x

经检验1x =为增根， 经检验2=x 为原方程的解. 所以原分式方程无解； （3）

2163524245--+=--x x x x （4）()22

1046

1

1x x x x -=-- 解： 2=x 解：1x =

经检验2=x 为增根， 经检验1x =为增根， 所以原分式方程无解； 所以原分式方程无解；

20．有一道题： “先化简，再求值：22241

(

)244

x x x x x -+÷+-- 其中，x =－3”． 小玲做题时把“x =－3”错抄成了“x =3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

解：原式=

)4(4

4)4(22222-?-+-?+-x x x

x x x =24x +，

所以不论x 的值是 +3还是－3结果都为13 .

21．甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发出乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地.已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.求步行速度和骑自行车的速度.

解：设步行的速度是xkm /h ,骑自行车的速度是4xkm /h .

247197=-+x

x 解得 x =5

经检验5=x 为原方程的解. 4×5=20km /h

答：步行的速度是5km /h ,骑自行车的速度是20km /h .

22.甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的

速度是骑自行车的速度的3

1

，求步行和骑自行车的速度各是多少？

解：设步行的速度是xkm /h ,骑自行车的速度是3xkm /h .

2

135.45.4=-x x 解得 x =6

经检验6=x 为原方程的解. 3×6=18km /h

答：步行的速度是6km /h ,骑自行车的速度是18km /h . 23.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项 工程.如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超 过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施 工，则刚好如期完成.问原来规定修好这条公路需多长时间？

解：设原来规定修好这条公路需x 天,则甲需要x 天，乙需要（x +6）天.

16

4

)611(4=+-+++x x x x

解得 x =12

经检验12=x 为原方程的解.

答：原来规定修好这条公路需12天.

24.甲、乙两班学生植树，原计划6天完成任务，他们共同劳动了4天后，乙班 另有任务调走，甲班又用6天才种完，求若甲、乙两班单独完成任务后各需多 少天？

解：甲单独完成任务后需x 天，乙单独完成任务后需y 天.

????

??

?=++=+16)11(46111y y

x y x 解得：???==189y x

经检验?

??==189

y x 为原方程的解.

答：甲单独完成任务后需9天，乙单独完成任务后需18天.