五年级奥数：数列的分组(B)(含答案)

五年级奥数：数列的分组(B)（含答案）

一、填空题

1。 有一列由三个数组成的数组,它们依次是

(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);……第99个数组内三个数的和是______。

2。 有数组:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,第100组的三个数之和是___。

3。 有数组{1,2,3,4},{2,4,6,8},{3,6,9,12},……,那么第100个数组的四个数的和是______。

4。 将自然数按下面的规律分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20),……,第1991组的第一个数和最后一个数各是______。

5。 将奇数按下列方式分组: (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),……。

(1) 第15组中第一个数是______;

(2) 第15组中所有数的和是______;

(3) 999位于第____组第____号。

6。 自然数列1,2,3,…,n ,…,它的第n 组含有2n -1个数,第10组中各数的和是______。

7。 给定以下数列: 11,21,22,31,32,33,41,42,43,4

4,…, (1)29

23是第____项; (2)第244项是____;

(3)前30项之和是____。

8。 在以下数列: 11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,2

4,…中,197居于第___项。

9。设自然数按下图的格式排列:

1 2 5 10 17 …

4 3 6 11 18 …

9 8 7 12 19 …

16 15 14 13 20 …

25 24 23 22 21 …

………………

(1) 200所在的位置是第____行,第____列;

(2) 第10行第10个数是______。

10。紧接着1989后面写一串数字,写下的数字都是它们前面两个数字之积的个位数,例如8×9=72,在9后面写2,2×9=18,在2后面写8,…,这样得到一串数字,从1开始,第1989个数字是______。

二、解答题

11。将1到1989的自然数从头开始,依次第四个数一组,第一组各数间添上“+”号,第二组各数间添上“一”号,以后各组以“+”,“一”号相间隔,列成一个算式: 1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-…。问:

(1) 1989前添什么号?

(2) 求这个算式的结果。

12。把由1开始的自然数依次写下来:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…。

重新分组,按三个数字为一组:

123,456,789,101,112,131,…,

问第10个数是几?

13。根据下图回答:

(1) 第一行的第8个数是几?

(2) 第五行第六列上的数是几?

(3) 200的位置在哪一格(说出所在行和列的序号)?

14。已知自然数组成的数列A:

1,2,3,…,9,10,11,12,…,

把这个数列的10和大于10的数,全部用逗号隔成一位数,做成一个新的数列B:

1,2,3,…,9,1,0,1,1,1,2,…。

问:

(1) A中100这个数的个位上的“0”在B中是第几个数?

(2) B中第100个数是几?这个数在A中的哪个数内?是它的哪一位数?

(3) 到B的第100个数为止,“3”这个数字出现了几次?

(4) B中前100个数的和是多少?

———————————————答案——————————————————————

答案:

1。解法一这串数组,各组数的和是16,32,48,…。各组数的和分别是按16的1倍,2倍,3倍,……的规律递增。因此,第99个数组的和是16×99=16×(100-1)=1600-16=1584。

解法二通过观察可以发现,每一组括号中的三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的5倍,第三个数是第一个数的10倍。因此,第99组内三个数应为:(99,99×5,99×10)。所以,第99个数组的和是:

99+99×5+99×10=99×(1+5+10)

=99×16

=1584

2。 解法一 通过观察可以发现,每一组括号中三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数自乘的积,第三个数是第一、二两数的乘积,因此,第100组中的三个数应分别是:

第一个数是100;

第二个数是100×100=10000;

第三个数是100×10000=1000000,

所以,第100组的三个数的和为:

100+10000+1000000=1010100。

解法二 通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式

32n n n a n ++=表示,n =1,2,3,…。因此,第100组的三个数之和是:

101010010010010032100=++=a 。

3。 解法一 这串数组,各组数的和是10,20,30,40,…。因此,第100个数中的四个数的和是100×10=1000。

解法二 通过观察可以发现,每一组数括号中四个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的2倍,第三个数是第一个的3倍,第四个数是第一个数的4倍。因此,第100个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400)。

所以,第100个数组的四个数的和是:100+200+300+400=1000。

4。 仔细观察找出这些自然数分组的规律,再找出每一组的第一个数与该组的序数之间的关系。

第1组的第1个数是:1=(1-1)×1+1;

第2组的第1个数是:3=(2-1)×2+1;

第3组的第1个数是:7=(3-1)×3+1;

第4组的第1个数是:13=(4-1)×4+1;

……

根据这一规律,可求出第1991组的第1个数是:(1991-1)×1991+1=3962091。

第1992组的第一个数是: (1992-1)×1992+1=3966073。

因此,第1991组的最后一个数是:3966073-1=3966072。

5。 (1)从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14=2

1514?=105(个)。 因此,第15组最初一个数是第106个奇数:2×106-1=211。

(2)在第15组中的数是以211为首项,公差为2,项数等于15的等差数列,其和是15×211+2

1415?×2=3375。 (3)设999位于第n 组,因31×32=992,32×33=1056,所以n =32,第32组最初一个数是:[2×(1+2+…+31)-1]+2=993。

因此,999是第32组的第4号数。

6。 第1组到第9组共有自然数:1+3+5+…+(2×9-1)=2

9)117(?+=18(个)。 因此,第10组第1号数是82,第10组有2×10-1=19个数,所以第10组各数之和为

1729219)10082(=?+。

7。 (1)以分母相同的分数分组,并记分母为n 的分数属于第n 组,从而

2913是第29组的第13号数,第n 组由n 个分数组成,从第1组到第28组有

1+2+3+ (28)

22928?=406 个分数,因此29

13位于第406+13=419项。 (2)因21×20=420,22×21=462,23×22=506,故第244项在第22组,前21组有

22221?=231个分数,从而第244项是居于第22组中的第13号数,是

22

13。 (3)前30项之和为 1+

21(1+2)+31(1+2+3)+…+7

1(1+2+…+7)+81+82 =1+252423+++…+28+83

=2

1(2+3+4+…+8)+83 =2

1×27)82(?++83 =8

143 =178

7。

8。 将分子与分母之和相等者归于同一组: )11(,)21,12(,)31,22,13(,)4

1,32,23,14(,…， 其中19

7在7+19-1=25组,是第19号数。1至24组共有分数 1+2+3+…+24=2

2524?=300(个)。 所以19

7在原数列中是第300+19=319项。

9。 注意到第一列是完全平方数: 1,4,9,16,25,…。

按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…分组,则200在196与225之间,属第15组,倒数第4个数,在第4行、第15列上。

第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91。

10。 写出前面几个数字:

198928688428688428…,

1989后面的六位数字出现循环。

(1989-4)÷6=330…5,

所以第1989位数字是8。

11。 1989÷8=248…5,所以1989前添的是“-”号。观察到,从第3个数起,每8个数之和为0:

3+4-5-6-7-8+9+10=0,

11+12-13-14-15-16+17+18=0,

…………………………

(1989-2)÷8=248…3,

所以,这个算式的结果是:

1+2+1987+1988-1989=1989。

12。 1到9有9个数字,10到19有20个数字,第10个三位数是192。

13。 (1)所有自然数按自右上至左下以斜线分组:

(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…,

第n 组第1号数是第一行的第n 个数。从第1组到第(n -1)组有:

1+2+3+…+(n -1)=

2

)1(n n ?- 个数,从而第n 组第1号数是2)1(n n ?-+1。因此,第1行第8个数是287?+1=29。 (2)一般地,自上至下第m 行,自左至右第n 列上的数在第(m +n -1)组中,第五行第六列上的数在第10组中,第10组第1号数是2

109?+1=46,第10组在第五行的数是46+5-1=50。 (3)19×20=380,20×21=420,故200在第20组中,第20组第一个数是

2

2019?+1=191,因此数200在第10行第11列的位置上。

14。 (1)数100之前有数字9+2×90=189(个),所以数100的个位上的“0”在B 中是第189+3=192个数。

(2)B 中第9+2×40=89个数是A 中数49的“9”:4950515253545556…, B 中第100个数是A

中数55的十位数上的“5”。

(3)到B的第100个数为止,数字“3”一共出现了1+1+1+11+1+1=16(次)。

(4)B中前100个数字之和为

(1+2+…+9)×5+10×(1+2+3+4)+6×5+(0+1+2+3+4)

=225+100+30+10

=365。