2021年高三第二次月考数学试题 含答案
2021年高三第二次月考数学试题含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）
A．ρ=2cosθB．
ρ=2sinθC．ρ=﹣2cosθD．ρ=﹣2sinθ
答案：B
2．若集合A{0，m2}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
3．下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）
A．y= B．y= C．y=lg10x D．y=2log2x
答案：C
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）
A．y=﹣x2B．y=x2﹣2 C．y= D．y=log2
答案：B
5．和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）
A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=0
解答：解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，
设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选B．
6．实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）
A．2B．5C．10 D．20
答案：D
7．若函数f（x）=log a x（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）
A．B．C．D．
答案：A
8．已知函数则“﹣2≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解答：解：函数f（x）=x2+ax+1在[1，+∞）上单调递增则a≥﹣2 函数f（x）=ax2+x+1在（﹣∞，1）上单调递增则≤a≤0
而函数在R上单调递增则≤a≤0
≤a≤0?﹣2≤a≤0
∴“﹣2≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的必要而不充分条件
故选：B
9．双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．3
解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0，依题意，直线bx±ay=0与圆x2+（y﹣2）2=1相切，
设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d，
则d===1，
∴双曲线离心率e==2．
故选C．
10．已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．（﹣∞，1）
解答：解：函数的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根
故选：D
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
11．函数的定义域为（，1]．
12．（5分）若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（x）=．13．（5分）已知f（x）=2x3+ax2+b﹣1是奇函数，则a﹣b=﹣1．
解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，得b﹣1=0，解得b=1．
∴f（x）=2x3+ax2．
又∵f（﹣x）+f（x）=0，∴﹣2x3+ax2+2x3+ax2=0，化为ax2=0，对于任意实数R都成立．
∴a=0．
∴a﹣b=﹣1．
故答案为﹣1．
14．已知，如果f（x0）=3，那么x0=．
解答：解：∵f（x）=，
∴若x0＜0，f（x0）==3，
∴x0=﹣；
同理若x0＞0，f（x0）=x0+1=3，∴x0=2．
故答案为：2，﹣．
15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）参数方程（θ为参数）表示的图形上的点到直线y=x 的最短距离为．
16．经过点M（2，1），并且与圆x2+y2﹣6x﹣8y+24=0相切的直线方程是x=2或4x﹣3y ﹣5=0．
解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+24=0化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，圆心（3，4），半径R=1
当斜率不存在时，x=2是圆的切线，满足题意；
斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0
∴由圆心到直线距离d=R，可得=1
∴k=，∴直线方程为4x﹣3y﹣5=0
综上，所求切线方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0
故答案为：x=2或4x﹣3y﹣5=0
17．如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是．
解答：解：设椭圆的右焦点为F′，
由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F′（c，0），∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，
∴∠BAO+∠BF′O=90°，
∴?=0，
∴（a，b）?（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，
解得e=，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
18．（10分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1 （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调区间．（不用证明）
解答：解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，由题意可得f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）﹣1=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣x+1．
再由f（0）=0，可得f（x）=．
（Ⅱ）结合函数f（x）的图象可得函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣）、（，+∞），减区间为（，0）、（0，）．
19．（13分）已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断f（x）在（0，1）内的单调性并证明．
解答：解：（1）由函数的解析式可得，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（2）由于函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=lg（1﹣x）+lg（1+x）=f（x），故函数为偶函数．
（3）由于函数f（x）=lg（1+x）+lg（1﹣x）=lg（1﹣x2），
可得函数f（x）在（0，1）内的单调递减．
证明：当0＜x＜1时，令t=1﹣x2，则t′=﹣2x＜0，故函数t在（0，1）内的单调递减，
再结合复合函数的单调性可得f（x）在（0，1）内的单调递减．
20．（13分）已知f（x）=﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2在区间[0，1]内有最大值﹣5，求a的值及函数表达式f（x）．
解答：解∵f（x）=﹣4﹣4a，此抛物线顶点为．
当≥1，即a≥2时，f（x）取最大值﹣4﹣a2．令﹣4﹣a2=﹣5，得a2=1，a=±1＜2（舍去）．
当0＜＜1，即0＜a＜2时，x=时，f（x）取最大值为﹣4A、令﹣4a=﹣5，得a=∈（0，2）．
当≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]内递减，∴x=0时，f（x）取最大值为﹣4a﹣a2，令﹣4a﹣a2=﹣5，得a2+4a2﹣5=0，解得a=﹣5，或a=1，其中﹣5∈（﹣∞，0]．
综上所述，a=或a=﹣5时，f（x）在[0，1]内有最大值﹣5．
∴f（x）=﹣4x2+5x﹣或f（x）=﹣4x2﹣20x﹣5．
21．（13分）m为何值时，直线2x﹣y+m=0与圆x2+y2=5
（Ⅰ）无公共点；
（Ⅱ）截得的弦长为2；
（Ⅲ）交点处两条半径互相垂直．
解答：解：由圆方程得：圆心（0，0），半径r=，
∴圆心到直线2x﹣y+m=0的距离d=，
（Ⅰ）若直线与圆无公共点，则有d＞r，即＞，
解得：m＞5或m＜﹣5；
（Ⅱ）根据题意得：2=2，即5﹣=1，
解得：m=±2；
（Ⅲ）根据题意得：弦长的平方等于2r2，即（2）2=2r2，∴4（5﹣）=10，
解得：m=±．
22．（13分）已知f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]2+f（x2）的最大值及y取最大值时x的值．
解答：解：∵f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x）2+6log3x+6，令t=log3x
由题意可得即1≤x≤3，则t∈[0，1]
∴y=t2+6t+6=（t+3）2﹣3在[0，1]上单调递增
当t=1即x=3时，函数有最大值，y max=13
23．（13分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解答：解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，
故椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为M（0，1），F（1，0），所以k PQ=1．…（7分）
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2﹣2=0．
由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=﹣，x1x2=．…（9分）
由题意应有，所以x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，
所以2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0．
整理得2×﹣（m﹣1）+m2﹣m=0．
解得m=﹣或m=1．…（12分）
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=﹣时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x﹣．…（13分）
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