算法设计总思想

第一章复习要点

1、算法的定义及特点。

答：算法是指解决问题的一种方法或一个过程。

算法是若干指令的有穷序列，满足性质：

(1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。

(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。

(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。

(4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。

第二章复习要点

1、分治策略的基本思想。

答：

(1)将原问题划分为k个子问题。

(2)对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。

(3) 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

2、阶乘函数的递归定义和实现。(p20)

3、Fibonacci数列的递归定义和实现。(p20)

4、排列问题的实现。(p21-22)

5、整数划分问题的递归式定义以和实现。(p22-23)

6、Hanoi问题的实现。(p24)

7、二分搜索算法的实现。(p28)

8、棋盘覆盖问题的实现。(p32-34)

9、合并排序的递归实现、速排序的递归实现。(p34-39)

第三章复习要点

1、动态规划基本思想。

答：

(1)动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题

(2)但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。

(3)如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

2、完全加括号的矩阵连乘积问题动态规划求解。(递推式p64及算法实现p65)

3、备忘录方法。

答：备忘录方法是动态规划算法的变形。与动态规划算法一样，备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递推的。因此备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。

4、完全加括号的矩阵连乘积问题备忘录方法求解。(p70)

5、最长公共子序列动态规划求解。(递推式p73及算法实现lcslength方法p73-74，lcs方法p74)

6、0-1背包问题动态规划求解。(递推式p93及算法实现p93-94)

动态规划总的思想：

动态规划的关键是：在求解最优解的情况下，得到递推式，及在一序列子问题中，从后往前，或者从前往后添加子问题，在子问题中比较得到最优的解：

0, 条件不符合

F(i, x) = f(i-1, x) 条件不符合

Max( f(i-1,x), f(i-1, x+vi) ); 条件符合，看在当前情况下选择与不选择之间哪个后面的结果会比较好

思想实现：（1）递归求解（备忘录方法），在递归过程中，添加两个表，分别记录最优的情况解和最优解从哪个上一步中得到的；

（2）迭代求解：用迭代的方法，从下往上求解最优解，在记录下当前最优解是从哪一步求解答到了

第四章复习要点

1、贪心算法基本思想。

答：顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。

2、活动安排问题的贪心实现。(采用的贪心原则p109第一段和代码实现p108)

3、哈弗曼编码问题。

要求：掌握哈弗曼编码问题的解题思路p117最后一段，哈弗曼树的构建，根据哈弗曼树求出哈弗曼编码。具体的实现代码不考。

4、单源最短路径问题

要求：

(1)掌握问题求解的基本思想，参见教材p121

(2)给定一个带权有向图，能够用表的方式，写出算法的迭代过程。P123表4-2

(3)具体的代码实现不要求掌握。

5、最小生成树问题prim算法

要求：

(1)掌握prim算法的基本思想。P126

(2)给定一个连通带权图，能够用图的方式，表述该算法的处理过程。P127图4-9

(3)具体实现代码不考

6、最小生成树问题kruskal算法

要求：

(1)掌握kruskal算法的基本思想。P128

(2)给定一个连通带权图，能够用图的方式，表述该算法的处理过程。P129图4-10

贪心算法总的思想：只考虑当前情况下最好的情形，最后得到最优的解

第五章复习要点

1、回溯法的基本思想。(参见教材p147第一段)

2、两种解空间树。

要求：

(1)什么是子集树，举例说明(0-1背包问题的解空间树)，参见教材p151

(2)什么是排列树，举例说明(旅行售货员问题的解空间树)，参见教材p151

3、符号三角形问题。

要求：掌握p164的backtrack方法。

4、n后问题。

要求：掌握p166的place和backtrack方法。

5、0-1背包问题

要求：掌握p170的backtrack方法。

6、最大团问题。

要求：掌握p173的backtrack方法。

7、掌握m着色问题。

要求：掌握p176的backtrack方法。

8、旅行售货员问题问题。

要求：掌握p178的backtrack方法。

回溯法总思想：

关键：画出解空间树，实质上回溯法就是遍历解空间树；在遍历解空间树的方法上采用树的深度遍历方法；在遍历到某个节点时，该结点（当前扩展结点）不满足最优解，将当前扩展结点及其所有的子孙剪枝，回溯到上一个结点遍历另外一个孩子结点，依次下去，直到遍历完整个解空间树；

算法模板：

//递归遍历到解空间树第t层

void backTrace(int t)

{

if (t > 树的高度)

遍历完一个分支（叶子），作出响应的处理{计数、打印……}

else

for (int i = 1; i <= numOfQueen; i++)

//遍历孩子的所有孩子结点

{

x[t] = i; //记录访问的孩子

if (ligel(t)) //判断是否可以剪枝，可以剪枝就不遍历下一层，不可以剪枝就遍历下一层

backTrace(t+1); //在不可以剪枝的情况下遍历下一层}

}

Ligel（t）：剪枝函数，在求解到叶子结点的时候，记录最优解，再在空间树遍历的时候，实时与这个最有解相比较，要是没有可能产生更优解的情况下，将所有当前扩展结点及其孩子结点剪枝掉，不进行遍历

第六章复习要点

1、分支限界法的基本思想。

答：

(1)分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。

(2)在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

(3)此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

2、分支限界法和回溯法的区别。

答：

(1)求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。

(2)搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

3、常见的两种分支限界法。

答：

(1)队列式(FIFO)分支限界法

按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。

(2)优先队列式分支限界法

按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。

总的思想：

与回溯法一样，也是遍历解空间树，求解出最优的解（在某种程度上，分支限界效率更高），与回溯法不一样的是，分支限界采用的是广度优先遍历访问解空间树；

优先队列分支限界法：借助于优先队列，将扩展结点中，最优可能产生最优解的结点放到优先队列中，并将优先级设置为最高，让其最先遍历，在遍历到叶子结点时，记录最优解，在后续的遍历结点中，要是没有可能产生最优解的结点剪枝；

分支限界的界：在遍历空间树时，可以用剩余的可能价值与当前价值作比较，要是没有可能产生最优解，同样剪枝掉；

程序实现方法：用一个结构体存储当前结点的价值，遍历过的结点；

算法框架：

void curValue()

{

//将解空间根结点放入到队列中

Status root;

pq.push(root);

while (!pq.empty())

{

Status t = pq.pop();//弹出队列

//判断是否到达叶子结点

if (t.curLe >= treeHigh) //该结点的层次与书高比较

{

//作出相应的处理（记录、打印……）

记录下当前状况下的最优解

}

else

{

//遍历与志结点相连的树结点（孩子）

for (int i = 1; i <= numOfV; i++)

{

if (ligel()) //判断剪枝函数

{

if (bound()) //限界函数

{

//不满足剪枝条件和限界条件

产生新的结点，更新新的结点（在当前结点情况下

添加该结点信息）

将该结点放到优先队列中（将与优先队列成员比较，

将有可能产生最优解的结点放到队列前端）

}

}

}//for

}//else

}

}