高中数学必修1-对数及对数函数-知识点+习题

对数与对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x

=?=log ；

○

3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；

○

2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化

幂值 真数

指数 对数 （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

利用换底公式推导下面的结论 （1）b m

n

b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2

一.选择题

1．若3a

=2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）

（A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a

2

2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则N

M

的值为（ ） （A ）

4

1

（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2

+y 2

=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga

y

a n x

log ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）2

1

(m-n)

4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7

（B ）lg35

（C ）35 （D ）

35

1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2

1

-等于（ ）

（A ）

31

（B ）321 （C ）2

21 （D ）331 6．函数y=lg （

112

-+x

）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log (2x-1)23-x 的定义域是（ ）

（A ）（

32，1）?（1，+∞） （B ）（21

，1）?（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2

1

，+∞）

8．函数y=log 2

1(x 2

-6x+17)的值域是（ ）

（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 2

1(2x 2

-3x+1)的递减区间为（ ）

（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2

1

］ 10．函数y=(

2

1)2x +1

+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log )

2(2

1

>--x x （B ）)2(1log )

2(2

1

>--x x

（C ）y=-)252(1log )

2(2

1

<<--x x （D ）y=-)252(1log )

2(2

1<<--x x

11.若log m 9

（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0

12.log a

13

2

<，则a 的取值围是（ ） （A ）（0，32）?（1，+∞） （B ）（32

，+∞）

（C ）（1,32） （D ）（0，32）?（3

2

，+∞）

13．若1

b x,c=log a x,则a,b,

c 的关系是（ ）

（A ）a

1(x+1)（B ）y=log 212-x （C ）y=log 2

x 1（D ）y=log 2

1(x 2

-4x+5) 15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）

（A ）y=2x x e e -+（B ）y=lg x

x +-11（C ）y=-x 3

（D ）y=x

16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值围是（ ）

（A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞) 17．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a 1

+x 是（ ）

（A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数 （C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数

18．若01,则M=a b ，N=log b a,p=b a

的大小是（ ）

（A ）M

19．“等式log 3x 2

=2成立”是“等式log 3x=1成立”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 20．已知函数f(x)=x lg ,0f(b)，则（ ） （A ）ab>1 （B ）ab<1 （C ）ab=1 （D ）(a-1)(b-1)>0 二、填空题

1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n

= 。

2．函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是 。

3．lg25+lg2lg50+(lg2)2

= 。

4.函数f(x)=lg(x x -+12)是 （奇、偶）函数。

5．已知函数f(x)=log 0.5 (-x 2

+4x+5),则f(3)与f （4）的大小关系为 。 6．函数y=log 2

1(x 2

-5x+17)的值域为 。

7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。 8.若函数y=lg[x 2

+(k+2)x+

4

5

]的定义域为R ，则k 的取值围是 。 9．函数f(x)=x

x

10110+的反函数是 。

10．已知函数f(x)=(2

1)x ,又定义在（-1，1）上的奇函数g(x)，当x>0时有g(x)=f -1

（x ）,则当x<0时，g(x)= 。

三、解答题

1． 若f(x)=1+log x 3,g(x)=2log 2x ，试比较f(x)与g(x)的大小。

2． 已知函数f(x)=x

x x

x --+-10101010。

（1）判断f(x)的单调性；

（2）求f -1

(x)。

3． 已知x 满足不等式2(log 2x ）2

-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 24

log 22x

x ?的最大值和最小值。

4． 已知函数f(x 2

-3)=lg 6

22

-x x ,

(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；

(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。

5． 设00且a ≠1，比较)1(log x a -与)1(log x a +的大小。

6． 已知函数f(x)=log 31

82

2+++x n

x mx 的定义域为R ，值域为[0，2]，求m,n 的值。

7． 已知x>0,y ≥0,且x+2y=21,求g=log 2

1(8xy+4y 2

+1)的最小值。

8．求函数)x |x lg(|x 4y 2

+-=

的定义域．

9．已知函数)ax 2(log y a -=在[0，1]上是减函数，数a 的取值围．

10．已知)a 1x (log )x (f a -+=，求使f(x)>1的x 的值的集合．

对数与对数函数

二、填空题

1．12 2.{x 31<

?

??≠->->-110103x x x 解得1

4．奇

)(),()1lg(11lg

)1lg()(222x f x f x x x

x x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且Θ为奇函数。

5．f(3)

设y=log 0.5u,u=-x 2+4x+5,由-x 2+4x+5>0解得-1

+9,∴ 当x ∈(-1,2)时，

y=log 0.5(-x 2+4x+5)单调递减；当x ∈[2,5]时，y=log 0.5(-x 2

+4x+5)单调递减，∴f(3)

-6x+17=(x-3)2

+88≥,又y=log u 2

1单调递减，∴ y 3-≤

7.-1

8.-2525-<

<-k

Θ y=lg[x 2+(k+2)x+

45]的定义域为R ，∴ x 2+(k+2)x+4

5>0恒成立，则?（k+2）2-5<0,即k 2

+4k-1<0,由此解得-5-2

)10(1<<-x x

x

y=x

x 10

110+,则10x

=∴-=<<∴>-,1lg ,10,01y y x y y y 又反函数为y=lg )10(1<<-x x x 10.-log 2

1

(-x) 已知f(x)=(21)x ,则f -1

(x)=log 21x,∴当x>0时，g(x)=log 21x,当x<0时，-x>0, ∴g(-x)

=log 21(-x),又∵g(x)是奇函数，∴ g(x)=-log 2

1

(-x)(x<0)

三、解答题

1． f(x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x

4

3x

.当0g(x);当x=34时，f(x)=g(x);当1

f(x)

3

4

时，f(x)>g(x)。

2． （1）f(x)=),(,.,1

101

102122+∞-∞∈∈+-x x R x x

x 设， ,且x 1

110)(110()1010(21101101101102121221

122222222++-=+--+-x x x x x x x x <0,(∵102x1<102x

2)∴f(x)为增函数。 （2）由y=1

1011022+-x x 得102x =

.11y y -+ ∵102x

>0, ∴-1

)1,1((11lg 21)(.11lg 211-∈-+=∴-+-x x

x x f y y )。 3． 由2（log 2x ）

2

-7log 2x+3

≤

0解得

2

1

≤

log 2x

≤

3。∵

f(x)=log 2

)1(log 4log 222-=?x x x (log 2x-2)=(log 2x-23)2-41,∴当log 2x=23时，

f(x)取得最小值-4

1

；当log 2x=3时，f(x)取得最大值2。

4．（1）∵f(x 2

-3)=lg 3

)3(3

)3(22--+-x x ,∴f(x)=lg 33-+x x ,又由062

2>-x x 得x 2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。

（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。

（3）由y=lg ,33-+x x 得x=

110)110(3-+y y ,Θx>3,解得y>0, ∴f -1

(x)=)0(1

10)110(3>-+x x x (4) ∵f[)3(φ]=lg

3lg 3)3(3)3(=-+φφ,∴33

)3(3)3(=-+φφ，解得φ(3)=6。

5．∵a

x x x a a lg )1lg()1(log )1(log -=

+---

)

1(log )1(log ,0)1(log )1(log ),1lg(,10)1lg(lg 1

lg )1lg(22x x a x x x x x a

a

x a a a +>->+--∴-<<--

=+即则Θ。

6．由

y=log 3

1

82

2

+++x n

x mx ，得3y =1

822+-+x n x mx ，即（3y -m ）x 2-8x+3y -n=0. ∵x 64,=?∴∈R -4(3y

-m)(3y

-n)≥0，即32y

-(m+n)·3y

+mn-160≤。由02≤≤y ，得931≤≤y

，由根与系数的关系得?

???=-+=+91169

1mn n m ，解得m=n=5。

7．由已知x=

21-2y>0,4

1

0<≤∴y ,由g=log

21(8xy+4y 2+1)=log 21(-12y 2

+4y+1)=log 21[-12(y-61)2+34],∴当y=61,g 的最小值为log 2

134 8．解：???????

≠>≤≤-????

??≠+>+≥-21x 0x 2

x 21x |x |0x |x |0x 42

∴2x 2121x 0≤<<<或∴函数的定义域是]

221()210(，，Y ． 9．解：∵a 是对数的底数 ∴a>0且a≠1 ∴函数u ＝2－ax 是减函数 ∵函数)ax 2(log y a -=是减函数 ∴a>1(u log a 是增函数)

∵函数的定义域是

a 2x 0ax 2<

?>- ∴定义域是)

a 2

(，-∞

∵函数在区间[0，1]上有意义是减函数 ∴)a 2

(]10[，，-∞≠?

∴2a 1a 2

∴1

10．解：f(x)>1即 1)a 1x (log a >-+ 当a>1时 ???->->??

?

?>-+>-+1a 2x 1

a x a a 1x 0a 1x ∴解为x>2a －1

当0??

?

?<-+>-+1a 2x 1

a x a a 1x 0a 1x ∵a－1<2a －1 ∴解为a －11时，{x|x>2a －1} 当01成立．