八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版
八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word 版
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在
线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若
60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________.
【答案】78. 【解析】 【分析】
利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1
2
(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=
1
2
∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】
∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=
12∠ABC ，∠ACD=1
2
(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=
1
2
∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?,
∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】
此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=
1
2
∠A=30?是解题的关键.
2．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
【答案】80 【解析】 【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA ，即∠E=2∠F=2×40°=80°. 故答案为80.
3．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠ 3的度数等于______________．
【答案】12°
【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是108°，则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°．
点睛：本题考查的是多边形的内角，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
4．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ． 【答案】135 【解析】
解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．
点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
5．如图，在ABC ?中，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAC ∠，若130∠=，
220∠=，则B ∠=__________．
【答案】50° 【解析】 【分析】
由角平分线的定义和已知可求出∠BAC ，由AD 是BC 边上的高和已知条件可以求出∠C，然后运用三角形内角和定理，即可完成解答. 【详解】
解：∵AE 平分BAC ∠，若130∠= ∴BAC ∠=2160∠=；
又∵AD 是BC 边上的高，220∠= ∴C ∠=90°
-270∠= 又∵BAC ∠+∠B+∠C=180° ∴∠B=180°-60°-70°=50° 故答案为50°. 【点睛】
本题考查了角平分线、高的定义以及三角形内角和的知识，考查知识点较多，灵活运用所学知识是解答本题的关键.
6．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '?∠=，则ACD ∠度数为________.
【答案】20°.
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD，又
∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD的值，又
∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD的度数．
【详解】
解：∵△B′CD时由△BCD翻折得到的，
∴∠BCD=∠B′CD，
又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，
∴∠BCD=70°，
又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝
∠A1+∠A2+…+∠A8=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
【答案】C
【解析】
【分析】
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【详解】
解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．
8．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）
A．1
3
B．
7
10
C．
3
5
D．
13
20
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是
△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=4
3
x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y
的值，从而求解．
【详解】
连接CP，
设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1
∴△ABD的面积是4x+2y
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x=2y+x+y，
解得y=4
3
x．
又∵△ABC的面积为3
∴4x+x=3
2
，
x=
3
10
．
则四边形PDCE的面积为x+y=
7
10
．
故选B．
【点睛】
此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）
①△ABE的面积与△BCE的面积相等；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【解析】
根据三角形中线的性质可得:△ABE的面积和△BCE的面积相等,故①正确,
因为∠BAC＝90°,所以∠AFG+∠ACF=90°,因为AD是高,所以∠DGC+∠DCG=90°,
因为CF是角平分线,所以∠ACF=∠DCG,所以∠AFG=∠DGC,又因为∠DGC=∠AGF,所以
∠AFG＝∠AGF,故②正确,
因为∠FAG+∠ABC=90°,∠ACB+∠ABC=90°,所以∠FAG=∠ACB,又因为CF是角平分线,所以∠ACB＝2∠ACF,所以∠FAG＝2∠ACF,故③正确,
④假设BH＝CH,∠ACB=30°,则∠HBC=∠HCB =15°,∠ABC=60°,
所以∠ABE=60°－15°=45°,因为∠BAC＝90°,所以AB=AE,因为AE=EC,所以AB=1
2
AC,这与在直
角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半相矛盾,所以假设不成立,故④不一定正确,
故选A.
10．若正多边形的内角和是540?，则该正多边形的一个外角为（）
A．45?B．60?C．72?D．90?
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式()2180
n-??求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360?，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】
正多边形的内角和是540?，
∴多边形的边数为54018025
?÷?+＝，
多边形的外角和都是360?，
∴多边形的每个外角360572
÷?
＝＝．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
11．一个多边形的每个内角都等于120°, 则此多边形是( )
A．五边形B．七边形C．六边形D．八边形
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数即可得到边数．
【详解】
∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣
120°=60°，∴边数n=360°÷60°=6．
故选C ． 【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=?∠=?，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A ．40o
B ．50o
C ．60o
D ．70o
【答案】D 【解析】 【分析】
依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数． 【详解】 ∵DF ∥EG ， ∴∠1＝∠DFG ＝40°， 又∵∠A ＝30°，
∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC 为含有45°角的三角板，直线AD 是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D 为另一块三角板DMN 的直角顶点，DM 、DN 分别交AB 、AC 于点E 、F ．则下列四个结论：
①BD ＝AD ＝CD ；②△AED ≌△CFD ；③BE +CF ＝EF ；④S 四边形AEDF ＝14
BC 2
．其中正确结论是_____（填序号）．
【答案】①②
【解析】
分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.
详解：∵∠B=45°，AB=AC
∴点D为BC的中点，
∴AD=CD=BD
故①正确；
由AD⊥BC，∠BAD=45°
可得∠EAD=∠C
∵∠MDN是直角
∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）
故②正确；
∴DE=DF，AE=CF，
∴AF=BE
∴BE+AE=AF+AE
∴AE+AF＞EF
故③不正确；
由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE
∴S四边形AEDF=S△ACD=1
2×AD×CD=
1
2
×
1
2
BC×
1
2
BC=
1
8
BC2，
故④不正确.
故答案为①②.
点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.
14．如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C 的度数是______度．
【答案】24 【解析】 【分析】
在DC 上取DE=DB ．连接AE ，在Rt △ABD 和Rt △AED 中，BD=ED ，AD=AD ．证明△ABD ≌△AED 即可求解． 【详解】
如图，在DC 上取DE=DB ，连接
AE ．
在Rt △ABD 和Rt △AED 中，
BD ED ADB ADE AD AD =??
∠=∠??=?
∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴AB=AE ，∠B=∠AED ． 又∵CD=AB+BD ，CD=DE+EC ∴EC=AB ∴EC=AE ， ∴∠C=∠CAE ∴∠B=∠AED=2∠C 又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72° ∴∠C=24°， 故答案为：24． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．
15．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含
α的式子表示）
【答案】120
6
α
?-
【解析】
【分析】
在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，
设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.
【详解】
解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，
点I是△ABC的角平分线的交点
所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
在△ABI和△ADI中，
AB=AD
BAI=DAI
AI=AI
?
?
∠∠
?
?
?
∴△ABI≌△ADI（SAS）
∴DI=BI
又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC
∴DI=DC
∴∠DCI=∠DIC
设∠DCI=∠DIC=β
则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β
在△ABC中，
∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180
ββ?
++=
a，
∴
180
=30
66
β
?
?
=
-
-
a a
在△ABI中，180?
∠=-∠-∠
AIB BAI ABI
1
2
180
2
αβ
?
=--
1
=23
1
6
00
2
8
α
α
??
??
---
?
??
=120
6
α
?-
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.
16．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7
【解析】
【分析】
连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.
【详解】
如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
BD CD
BDE CDA
DE DA
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=CA=4
在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE
∵AB=10,AC=4,
∴6＜AE＜14
∴3＜AD＜7
故答案为3＜AD＜7
本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
17．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】
做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设
∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.
【详解】
如图，
过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABD
∴EH=EF
∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°
∴∠FAE=∠CAD=50°
∴EF=EG
∴EG=EH
∴ED平分∠CDG
∴∠HED=∠DEG
设∠DEG=y，∠GEB=x，
∵∠EFA=∠EGA=90°
∴∠GEA=∠FEA=40°
∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF
∴∠FEB=∠HEB
∴2y+x=80-x,
y+x=40
即∠DEB＝40°.
故答案为：40°.
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.
18．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE 上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=22，则DF=________.
【答案】3.
【解析】
【分析】
由题意可证的△ABF≌△ACE,可得△AEF为等腰直角三角形，取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四边形AGCE为平行四边形，可得FD的长.
【详解】
解：如图
Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE为∠BAC与EAF的公共角
∴∠BAF=∠CAE,
∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE
∴∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，
∴∠ABF=∠ACE
，
在△ABF与△ACE中，有
AB AC
BAF CAE
ABF ACE
=
?
?
∠=∠
?
?∠=∠
?
，∴△ABF≌△ACE，
∴AE=AF, △AEF为等腰直角三角形, 取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG,
C是线段AF的垂直平分线上的点，易得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，2∴AG=GE=CE=FG=2,
又AG ⊥BE,CE ⊥BE,可得AG ∥CE,
∴四边形AGCE 为平行四边形，
∴GD=DE=1,
∴DF=FG+GD=2+1=3.
【点睛】
本题主要考查三角形全等及性质，综合性强，需综合运用所学知识求解.
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，AOB ?的外角,CAB DBA ∠∠的平分线,AP BP 相交于点P ，PE OC ⊥于E ，
PF OD ⊥于F ，下列结论：（1）PE PF =；（2）点P 在COD ∠的平分线上；（3）90APB O ∠=?-∠，其中正确的有 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C 【解析】 【分析】
过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正
确；由12APB EPF ∠=
∠，180EPF O ∠+∠=?，得到1
902
APB O ∠=?-∠，可判断（3）错误；即可得到答案． 【详解】
解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：
∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ， ∴PE PG PF ==；故（1）正确； ∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确； ∵1
2
APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=∠， 又180EPF O ∠+∠=?，
∴11
(180)9022
APB O O ∠=
??-∠=?-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
20．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ?∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =
13
或14
3
其中正确的结论个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A 【解析】 【分析】
连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④． 【详解】
连接CF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB ； ∵AD=CE ，
∴△ADF ≌△CEF(SAS)； ∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ； ∵∠AFD+∠CFD=90°， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF 是等腰直角三角形(故(1)正确).
当D. E 分别为AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形(故(2)错误). 由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小； 即当DF ⊥AC 时,DE 最小,此时1
42
DF BC == . ∴242DE DF == (故(3)错误). ∵△ADF ≌△CEF ， ∴S △CEF =S △ADF ∴S 四边形CDFE =S △AFC ,
∵CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分 ∴S △CEF ：S △CDF =1:2 或S △CEF ：S △CDF =2:1 即S △ADF ：S △CDF =1:2 或S △ADF ：S △CDF =2:1 当S △ADF ：S △CDF =1:2时，S △ADF=13S △ACF =111684323
???= 又∵S △ADF =1
422
AD AD ??= ∴2AD=
163
∴AD=83
(故(4)错误). 故选：A. 【点睛】
本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.
21．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】
①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知
AH DF =，即可作出判断. 【详解】
①正确：∵ABC △是等边三角形， ∴60BAC ?∠=，∴CA AB =．
∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．
又∵90BAD ?∠=，∴150CAD BAD BAC ?∠=∠+∠=， ∴DA CA =，∴()
1
180150152
ADC ACD ???∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30° ∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG ∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75° ∠AFG≠∠AGD ∴AF≠AG
③，④正确，由题意可得45DAF ABH ?∠=∠=，DA AB =， ∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ?∠+∠=． 又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠， 在DAF △和ABH 中
()AFD BHA DAF ABH AAS DA AB ∠=∠??
∠=∠??=?
∴DAF △≌ABH ．∴DF
AH =．
⑤正确：∵150CAD ?∠=，AH CD ⊥，
∴75DAH ?∠=，又∵45DAF ?∠=，∴754530EAH ???∠=-= 又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH = 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.
22．如图，四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的角平分线恰相交于一点P ，记△APD 、△APB 、△BPC 、△DPC 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则有（ ）
A ．1324S S S S +=+
B ．1234S S S S +=+
C ．1423S S S S +=+
D ．13S S = 【答案】A 【解析】 【分析】
作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题. 【详解】
四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p 到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,
如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a 、a 、b 、b 、c 、c 、d 、d, 则S 1=a+d, S 2=a+b, S 3=b+c, S 4=c+d, ∴S 1+S 3=a+b+c+d= S 2+S 4 故选A
【点睛】
本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.
23．如图，将一个等腰Rt △ABC 对折，使∠A 与∠B 重合，展开后得折痕CD ，再将∠A 折叠，使C 落在AB 上的点F 处，展开后，折痕AE 交CD 于点P ，连接PF 、EF ，下列结论：①tan ∠CAE=2﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上；④PC=EC ；⑤S 四边形DFEP =S △APF ．正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【详解】
①正确．作EM ∥AB 交AC 于M ． ∵CA=CB ，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE=
1
2
∠CAB=22.5°， ∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM ，设CM=CE=a ，则ME=AM=2a ，
∴tan ∠CAE=
212CE AC a a
==-+，故①正确， ②正确．△CDA ≌△CDB ，△AEC ≌△AEF ，△APC ≌△APF ，△PEC ≌△PEF ，故②正确， ③正确．∵△PEC ≌△PEF ， ∴∠PCE=∠PFE=45°， ∵∠EFA=∠ACE=90°， ∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上，故③正确． ④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°， ∴∠CPE=∠CEP ， ∴CP=CE ，故④正确， ⑤错误．∵△APC ≌△APF ， ∴S △APC =S △APF ，
假设S △APF =S 四边形DFPE ，则S △APC =S 四边形DFPE ， ∴S △ACD =S △AEF ， ∵S △ACD =
12S △ABC ，S △AEF =S △AEC ≠1
2
S △ABC ， ∴矛盾，假设不成立． 故⑤错误．
.
故选D.
24．如右图，在△ABC 中，点Q ，P 分别是边AC ，BC 上的点，AQ=PQ ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，且PR=PS ，下面四个结论：①AP 平分∠BAC ；②AS=AR ；③BP=QP ；④QP ∥AB ．其中一定正确的是( )