投资的收益与风险问题

投资得收益与风险问题

市场上有种资产(如股票、债券、…)()供投资者选择,某公司有数额为得一

笔相当大得资金可用作一个时期得投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买得平均收益率为,并预测出购买得风险损失率为。考虑到投资越分散,总得风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资得中最大得一个风险来度量。

购买要付交易费,费率为,并且当购买额不超过给定值时,交易费按购买计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率就是, 且既无交易费又无风险。(

)

已知

时得相关数据如下:

试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定得资金,有选择地购买若干种资产或存银行生

息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。

模型分析

本题需要我们设计一种投资组合方案,使收益尽可能大,而风险尽可能小。并给出对应得盈亏数据,以及一般情况得讨论。

这就是一个优化问题,要决策得就是每种资产得投资额,要达到目标包括两方面得要求:净收益最大与总风险最低,即本题就是一个双优化得问题,一般情况下,这两个目标就是矛盾得,因为净收益越大则风险也会随着增加,反之也就是一样得,所以,我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标得决策方案,我们只能做到得就是:在收益一定得情况下,使得风险最小得决策,或者在风险一定得情况下,使得净收益最大,或者在收益与风险按确定好得偏好比例得情况下设计出最好得决策方案,这样得话,我们得到得不再就是一个方案,而就是一个方案得组合,简称组合方案。

设购买S i (i=0,1……、n;S 0表示存入银行,)得金额为x i ;所支付得交易费为c i (x i ),则: 对S i 投资得净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= (i ＝0,1,…,n ) 对S i 投资得风险为: i i i i x q x Q =)( (i ＝0,1,…,n ),q 0=0

对S i 投资所需资金(即购买金额 x i 与所需得手续费 c i (x i ) 之与)就是

)()(i i i i i x c x x f += (i ＝0,1,…,n )

投资方案用 x =(x 0,x 1,…,x n )表示,那么, 净收益总额为: 总风险为:

)(x Q =)(min 0i i n

i x Q ≤≤

所需资金为:

所以,总收益最大,总风险最小得双目标优化模型表示为:

但就是像这样得双目标模型用一般得方法很难求解出来得,所以经过分析把次模型转化为三种较简单得单目标模型。

模型假设

假设该公司在这一时期内就是一次性投资;除交易费与投资费用外再无其她得费用开支;在这一时期市场发展基本上就是稳定得;外界因素对投资得资产无较大影响;无其她得人为干预;社会政策无较大变化;公司得经济发展对投资无较大影响资产投资就是在市场中进行得,市场就是复杂多变得,就是无法用数量或函数进行准确描述得,因此以上得假设就是必要得,一般说来物价变化具有一定得周期性,社会政策也并非天天改变,公司自身得发展在稳定得情况下才会用额外得资金进行较大得风险得投资, 市场与社会得系统发展在一个时期内就是良性得、稳定得,以上假设也就是合理得。

模型建立

1)模型a

假设投资得风险水平就是k,即要求总风险Q (x )限制在k 内,Q (x )k ≤,则模型可转化为:

max ()x R

s 、t ()0,)(,≥=≤x M x F k x Q

2)模型b

假设投资得收益水平就是h,即净收益总额)(x R 不少于 h:)(x R ≥h,则模型可转化为:

s 、t 0,)(,)(≥=≥x M x F h x R

3)模型c

假设投资者对风险与收益得相对偏好参数为ρ(≥0),则模型可转化为:

s 、t 、0,)(≥=x M x F

模型求解

由于交易费 c i (x i )就是分段函数,使得上述模型中得目标函数或约束条件相对比较复杂,就是一个非线性规划问题,难于求解、 但注意到总投资额 M 相当大,一旦投资资产 S i ,其投资额 x i 一般都会超过 u i ,于就是交易费 c i (x i )可简化为线性函数 从而,资金约束简化为 净收益总额简化为

在实际进行计算时,可设 M =1,此时

i y =(i p +1)i x (i ＝0,1,…,n )

可视作投资 S i 得比例、

以下得模型求解都就是在上述两个简化条件下进行讨论得、

1)模型 a 得求解

模型 a 得约束条件 Q (x )≤k 即

00()max ()max()i i i i i n

i n

Q Q x q x ≤≤≤≤==x ≤k ,

所以此约束条件可转化为

k x q i i ≤ (i ＝0,1,…,n )、

这时模型 a 可化简为如下得线性规划问题:

具体到 n =4 得情形,按投资得收益与风险问题中题中给定得数据,模型为:

s 、t k x k x k x k x ≤≤≤≤4321026.0,055.0,015.0,025.0

0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x (i ＝0,1, (4)

利用matlab7、1 求解模型a 输出结果就是

{0、177638, {x0 -> 0、158192, x1 -> 0、2, x2 -> 0、333333, x3 -> 0、0909091,x4 -> 0、192308}} 这说明投资方案为(0、158192,0、2,0、333333,0、0909091,0、192308)时,可以获得总体风险不超过 0、005 得最大收益就是 0、177638M 、

当 k 取不同得值(0~0、025),风险与收益得关系见图1、 输出结果列表如下:

表1 、模型1得计算结果

图1 、模型1中风险k 与收益得关系

2)模型 b 得求解

模型 b 本来就是极小极大规划:

s 、t 、

()n

i

i

i

i r p x

=-∑≥h

(1)1n

i

i

i p x

=+=∑ x ≥0

但就是,可以引进变量 x n +1=0max()i i i n

q x ≤≤,将它改写为如下得线性规划:

s 、t 1+≤n i i x x q ,i =0,1,2,…,n ,

()n

i

i

i

i r p x

=-∑≥h ,

(1)1n

i

i

i p x

=+=∑, x ≥0

具体到 n =4 得情形,按投资得收益与风险问题中题中给定得数据,模型为:

min x 5

s 、t 54535251026.0,055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤

,0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x (i ＝0,1, (5)

利用 matlab7、1 求解模型 b,当 h 取不同得值(0、1~0、25),我们计算最小风险与最优决策,收益水平h 取,结果如表2所示,风险与收益得关系见图2、

表2 、模型2得计算结果

图2 、模型2中风险与收益h 得关系

3)模型 c 得求解

类似模型 b 得求解,我们同样引进变量 x n +1=0max()i i i n

q x ≤≤,将它改写为如下得线性规划:

min ρx n +1–(1–ρ)

0()n

i

i

i

i r p x

=-∑

s 、t 1+≤n i i x x q ,i =0,1,2,…,n

(1)1n

i

i

i p x

=+=∑ x ≥0

具体到 n =4 得情形,按投资得收益与风险问题题中给定得数据,模型为:

s 、t 54,535251026.0055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤

0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x (i ＝0,1, (5)

利用 matlab7、1 求解模型 c,当 ρ 取不同得值(0、75~0、95),我们计算最小风险与最优决策 输出结果列表如下:

表3 、模型3得计算结果

图3 、模型3中风险与收益得关系 图4、模型3中风险与偏好系数得关系 图5 、模型3中收益与偏好系数得关系

结果分析

1)结合图1,对于风险与收益没有特殊偏好得投资者来说,应该选择图中曲线得拐点(0、006,0、2019),

这时对得投资比例见表1得黑体所示。

2)从表1中得计算结果可以瞧出,对低风险水平,除了存入银行外,投资首选风险率最低得 S 2,然后就是 S 1 与 S 4,总收益较低;对高风险水平,总收益较高,投资方向就是选择净收益率(r i –p i )较大得 S 1 与 S 2.这些与人们得经验就是一致得,这里给出了定量得结果.

3)从表2瞧出,对低收益水平,除了存入银行外,投资首选风险率最低得资产,然后就是与,总收益当然较低。对高收益水平,总风险自然也高,应首选净收益率()最大得与。这些与人

们得经验就是一致得。

4)结合图2,对于风险与收益没有特殊偏好得投资者来说,应该选择图中曲线得拐点(0、059,0、2),这时对得投资比例见表2得黑体所示。

5)从图5可以瞧出,模型3得风险与收益关系与模型1与模型2得结果几乎完全一致。

6)本文我们建立了投资收益与风险得双目标优化模型,通过控制风险使收益最大,保证收益使风险最小,以及引入收益——风险偏好系数,将两目标模型化为了单目标模型,并使用matlab7、1求解,所得结果具有一定得指导意义。

模型改进

本文没有讨论收益与风险得评估方法,在实际应用中还存在资产相关得情形,此时,用最大风险代表组合投资得风险未必合理,因此,对不同风险度量下得最优投资组合进行比较研究就是进一步得改进方向。

结论

1.风险大,收益也大;

2.当投资越分散时,投资者承担得风险越小,这与题意一致,冒险得投资者会出现集中投资得情况,保

守得投资者则尽量分散投资;

3.曲线上得任一点都表示该风险水平得最大可能收益与该收益要求得最小风险。可以针对不同风

险得承受能力,选择该风险水平下得最优投资组合

参考文献

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