《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[1]
《高等数学》试卷（同济六版上）
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
1、若函数x
x x f =)(，则=→)(lim 0
x
f x （ ）.
A 、0
B 、1-
C 、1
D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln
(0)x x
+
→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)
x x → D 、
2
2(2)4
x x x -→-
3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.
A 、极大值点
B 、极小值点
C 、驻点
D 、间断点 4、函数
)
(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.
A 、必要但非充分条件
B 、充分但非必要条件
C 、充分必要条件
D 、既非充分又非必要条件
5、下列无穷积分收敛的是（ ）.
A 、?+∞
0sin xdx B 、dx e x ?+∞-02 C 、dx
x
?
+∞
1 D 、dx
x
?
+∞
1
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
6、当k= 时，
2,
0(),
x e x f x x k x ?≤?=?
+>??在0=x 处连续.
7、设x x y ln +=,则
_______________
dx dy
=.
8、曲线x e y x
-=在点（0，1）处的切线方程是 .
9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =.
10、定积分dx
x x
x ?-+5
5
4
2
31
sin
=____________.
三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、求极限 x
x x 2sin 24lim 0
-+→.
12、求极限 2
cos 1
2
lim
x
t
x e
dt
x
-→?.
13、设)1ln(25x x e y +++=，求d y .
14、设函数)(x f y =由参数方程???=+=t
y t x arctan )1ln(2所确定，求
dy dx 和
2
2
dx
y d .
15、求不定积分21
2sin 3dx x x ??+ ???
?.
16、设
,0
()1
,01x e x f x x x
?
=?≥?
+?，求20
(1)f x dx -?.
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17、证明：dx x x n m )1(1
-?=dx x x m n )1(1
-? (N n m ∈,).
18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时，ln
b a b b a b
a a
--<<.
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）
19、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 各等于多少时，才能使表面积最小？
20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ，求 （1）平面图形A 的面积；
（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.
《高等数学》试卷（同济六版上）答案
一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分）
6、1
7、
1x x
+ 8、1y = 9、2cos 2x 10、0
三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、解：x
x x 2sin 24lim
0-+
→0
lim
x →= 3分
11lim
2
8
x →=
=
6分
12、解：
2
cos 1
2
lim
x
dt e
x
t
x ?-→2
cos 0
sin lim
2x
x xe
x
-→-= 3分
12e
=- 6分
13、解：)
111(112
2
x
x
x y ++++
=' 4分
2
11x
+=
6分
14、解：
t
t
t t dx
dy 211211
2
2
=
++=
3分
2
2
2
23
2
112(
)
241d y t d
dy
dx
t
dt t dt dx
dx
t
t
-+=
=
=-
+ 6分
15、解：2
12122sin(
3)sin(
3)(
3)2
3dx d x x
x
+=-++?
?
3分
12cos(3)2
C
x
=
++ 6分
16、解：?
?
?
?
--+
=
=
-0
1
1
1
1
2
d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 011
d 1x
x e dx x
-=
+
+?
?
3分
1
10|ln(1)x e x -=++
1
1ln 2
e
-=-+ 6分
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：10
1
(1)(1)m
n
m n x x dx t t dt -=--?? 4分
110
(1)(1)m
n
m
n
t t dt x x dx
=
-=
-?
?
8分
18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<
显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有
()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分
由于1()f x x
'=
, 因此上式即为 l n l n b a
b a ξ
--=
.
又由.a b ξ<< b a b a
b a
b a
ξ
--
-∴
<
<
当0a b <<时，
ln
b a b b a b
a
a
--<<
8分
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=
∴表面积222
2
222222V
V S r rh r r r r
r
ππππππ=+=+=+
4分
令2
2'40
V S r r
π=-
=
得
r =
2
h =
答：底半径r =
2h =，才能使表面积最小。 8分
20、解：曲线2
x
y =与2
y
x =的交点为（1，1）， 2分
于是曲线
2
x
y =与2
y
x =所围成图形的面积A 为
3
1]3
13
2[
)(1
021
23
2
=
-
=-=
?x x dx x x A 6分
A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：
()
πππ
10352)(
1
521
4
2=?
?????-=-=?y y dy y y V 10分