网络资源下载问题数学建模
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他
公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员(打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期： 2015年6 月 1 日
网络资源下载问题
摘要
本文针对目前互联网的文件下载问题，根据下载方式的不同，建立优化模型，使得用户用最少的时间下载到最多的文件。
针对问题1，首先考虑速度波动问题，确定波动范围。为便于分析，用MATLAB 计算下载速度的期望，得到速度期望值分别为72.5kb/s、381.3kb/s。根据方式1文件大小，利用MATLAB对方式1的10个文件进行排序，实现文件组合下载的优化。将下载方式分为三个阶段:第一阶段为方式1方式2同时下载，方式2达到速度期望值，当方式2中的文件全部下载完成后第一阶段结束；第二阶段为六个方式1同时下载，其中方式1有一个文件未达到速度期望值；当第二阶段中任一组合文件下载完成后进入第三阶段，此时剩余的文件1同时以期望速度下载。
利用MTALAB求解，得到三个阶段分别耗时254.8min，149min,74min,故总耗时为485.8min。
针对问题2，考虑积分问题，在问题1的基础上，考虑问题1的方案是否满足积分要求。由附件数据可得，20个文件所需积分为103分。第一次回答无需等待，升级后第一次回答也无需等待，故获得103积分的时间为140min。增加此约束条件后最优解不受影响，故问题1方案可行。
针对问题3，在考虑积分和上机时间有限的前提下，达到下载文件数量最多的目标，根据多线程下载优化模型，建立了多条线路没有下载的方案，通过对大量数据进行假设，分析，得出最优解，即能下载19个文件，剩余file7没有下载。
针对问题4，仍然考虑积分和上机时间，以及需求程度的问题，在这些条件下实现下载文件数量的最多，针对此问题，在问题3已建立的的模型基础上，利用贪心算法，让急需文件优先下载，得出最优下载方案，急需文件全部下载，总文件数为19。
文章最后，对模型的缺点进行分析，提出模型存在的问题，并且提出了改进方案，通过模型的建立，未下载折节省了大量的时间。同时此模型对日程安排，生产流程规划也有很好的推广性。
关键词：排队论数学期望组合优化多目标规划动态规划
一问题重述
现在互联网发展迅速，网络资源丰富。人们在日常生活及学习中，经常需要在网络上下载需要的文件资料。
现有某学生需要在某论坛下载资料，需要下载的文件共有20个，由于下载方式的不同，下载文件具有不同的下载速度。现在的文件共有两种下载方式（每个文件有且仅有一种下载方式），方式1的下载速度最高是80kb/s，方式2的下载速度最高是400kb/s，20个文件的大小、下载方式及需求程度等资料见附件。
另: 由于网络的原因，
1.每种下载方式的下载速度都有在10%范围内的波动；
2.该生所用电脑网络带宽下载速度最高可达430kb/s.
问题：
建立数学模型帮助该生解决如何安排下载计划，使得其可在最短时间内下载完成所需文件（该问题不需要考虑积分）；
该论坛将注册用户分为A级用户（回复问题在0-20次），B级用户（回复问题在20-25次），C级用户（回复问题在25次以上）等等级，下载资料需要积分，提供注册用户回复问题每次可获得积分4分，为避免有人恶意回复，规定每名用户：A级用户每30分钟可回复一次问题，B级用户每20分钟可回复一次问题，C 级用户每10分钟可回复一次问题。该用户现有积分50分，已回复问题在15次，如何安排下载以及获得积分的计划，使得其可在最短时间内下载完成所需文件。
在问题2的条件下，由于时间原因，该用户现在只有7小时的上机时间，那么，如何安排下载计划，使得其可在规定时间内下载得到所需文件数量最多？
在问题2，3的条件下，由于资料的需求程度不一致，要求下载的资料中，急需的文件数量要比一般程度的文件数多，如何安排下载计划，使得其可在规定时间内下载得到所需文件数量最多？
二问题分析
2.1问题一的分析
对于问题一，要求安排下载计划，可以在最短时间内下载完成所需文件。这是一个最优决策问题，无论先前的策略如何，相对于前面的策略所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略，即一个最优策略的子策略也是最优的。
由于下载速度是上下波动的，首先就要确定速度的波动范围，还要考虑用同一种方式下载多个文件时，是否可以对下载速度进行叠加。若下载速度不进行叠加，那么在进行单种方式下载时，会造成带宽的浪费，所以我们假设在带宽足够的情况下，对多个文件的下载速度是可以叠加的，在带宽不够的情况下，就对所下载的文件进行方式的分配。通过这样的分配，可以达到最短的下载时间。
当然在对下载方式进行分配的时候，毕竟速度还是存在波动的，为便于分析，用MATLAB计算下载速度的期望，得到期望速度分别为72.5kb/s、381.3kb/s。
在对方式二进行下载的时候，方式二的下载速度期望为381.3kb/s若只进行一个方式二的下载任务，则会有带宽浪费，且不可能多个文件下载速度都达到速度上限，所以考虑对方式一和方式二的文件进行组合下载，为尽量保持带宽充分利用，方式二中的文件以期望的速度下载，当方式2中的文件全部下载完成后第一阶段结束，此时耗时254.8min。第二阶段为六个方式1时下载，其中有一个方式1文件未达速度期望值。当第二阶段中任一组合文件下载完成后进入第三阶段，此时剩余的文件1同时下载，均达到速度期望值。
在考虑下载方式的速度不同之后，还要考虑到不同质量的资源，下载速度也是不同的，但是题目没有给出资源的质量分析，所以我们做出假设，网络资源没有优劣之分，在资源质量这一条件下，下载速度是相同的。
2.2问题二的分析
针对问题2，考虑积分问题，在问题1的基础上，考虑问题1的方案是否满足积分要求。由附件数据可得，20个文件所需积分为103分。第一次回答无需等待，升级后第一次回答也无需等待，故获得103积分的时间为140min。增加此约束条件后最优解不受影响，故问题1方案可行。
2.3问题三的分析
针对问题三考虑有限的上机时间为7个小时（420min），由问题1可知下载完所有文件的时间为T(min),只需验证在（T-420）时间内未能下载的文件数W，即下载的文件数是20-W。
2.4问题四的分析
要求下载的资料中，急需的文件数量要比一般程度的文件数多，如何安排下载计划，使得其可在规定时间内下载得到所需文件数量最多。问题四在问题三的基础上，添加了文件的重要性这一条件。因此只要尽量多的保证急需文件的下载，就可以达到这一目标。
三模型的基本假设
1、假设文件下载时，文件下载速度可控制。
2、假设在带宽足够的情况下，对多个文件的下载速度是可以叠加的，在带宽不够的情况下，就对所下载的文件进行速度的分配；
3、假设该生进入论坛、点击下载文件的时间为0；
4、假设在论坛刚回答完问题，4积分就可获得，就可以用于下载。
四符号说明
五 模型建立与求解
5.1.1问题1的模型
考虑速度波动，为便于计算，利用MATLAB 算出方式1和方式2速度的期望值，分别为1v 、2v ，程序详见附录1。对表格中的数据进行处理，得到按稳定速度下载所需时间，详见表5.1。
表5.1
对问题1，将下载过程分为三个阶段，根据方式1、方式2的下载的速度和文件大小，由表5.1可知，方式2的下载时间明显少于方式1的下载时间，第一阶段考虑方式1和方式2的文件同时下载，对方式1的文件大小进行排序，选择方式1中一个最大文件（即文件7）先后和方式2一起下载。方式2以期望速度下载，剩余带宽用于方式1下载，并且方式1、2速度和达到宽带最大值，按此期望下载速度，下载至方式2的文件全部下载完成为第一阶段，记第一阶段耗时为1T ：
16
9
i M ∑+20
19
i M ∑= 2V 1T
进入阶段二，此后只有方式1的文件下载，并且同时下载六个文件，但是其中一个文件的速度无法达到72.5kb/s ，即为 430 – 5*72.5=67.5kb/s ，此速度用于下载阶段一尚未完成的文件7，当文件7下载完成后，文件17按此速度继续下载。由第一阶段下载1max M 所剩的文件大小'
1max M ，对现有文件大小排
序，对其中三组文件进行组合下载。
当剩余文件中的最小文件以72.5kb/s 的速度下载完成后， 67.5kb/s 的速度升为72.5kb/s ，继续下载，此时第二个阶段结束，此过程耗时为2T
2T ='
1max M * 1024 / 1V * 60
接下来所剩文件的下载速度全部达到72.5kb/s ，进入下载的第三阶段。将此过程所剩文件再次排序，取最大文件进行计算，即为此阶段所耗时间3T 。
''1max M =1V 3T * 1024 最后得出问题 （1） 的最优时间为： T =1T +2T +3T
最后有三个阶段的划分模型得出了最优下载计划，详见图5.2.
图5.2表示整个过程（即一二三阶段）的下载计划，数字对应下载的文件号
5.1.2问题1的求解
根据问题1模型，下载过程分为三个阶段： 第一阶段时间为1T ,
169
i
M ∑+20
19
i
M
∑= 2V 1T
1T =169
i M ∑+20
19
i M ∑/2v
1T =254.8min
该时间表示方式二的文件全部下载完成所需的时间。 第二阶段时间为2T
2T ='
1max M * 1024 / 1V * 60
求得2T =149min
该时间表示方式1文件组合后，以期望速度下载完所需时间。
第三阶段时间3T
''1max
M
=1V 3T * 1024
3
T =''1max
M /1V *1024
3
T
=74min
故最优时间为T =1T +2T +3T
T
=485.8min
5.2问题2模型的建立
针对问题2，考虑积分问题，在问题1的基础上，考虑问题1的方案是否满足积分要求。由附件数据可得，20个文件所需积分为103分。第一次回答无需等待，升级后第一次回答也无需等待，故获得103积分的时间为140min 。增加此约束条件后最优解不受影响，故问题1方案可行。 5.2.1问题2模型的求解
由于第一次回答问题无需等待，升级后第一次回答问题也无需等待。第一阶段下载完成时间为254.8min ，此过程所获积分为40分,累计积分为30分。第二三阶段下载完成用时231min ，此过程所获积分为92积分，累计积分为56积分。因为累计积分>0,故最优下载计划不受影响。
5.3问题3模型的建立
现将解决问题1,2的模型拿来套用，由图5.2可知，最多只能下载16个文件，有4个文件始终无法下载完成。这时，考虑重建模型，看是否能在7小时内下载更多文件。
因为时间已经限定为7小时，即420分钟，因此，只要在420分钟内下载的文件最多时，就保证了文件下载最多。据此展开讨论：
当按方式一下载的文件都以72.5kb/s 下载时，方式二按357.5kb/s 下载，此时各个文件下载完所需的时间详见表5.3。
表5.3
由表5.3分析，
假设一：
将过程分为两个阶段，第一个阶段分为两个线程，一个线程速度为72.5kb/s，另一个线程为357.5kb/s。以方式二文件完全下载为第一阶段结束标志。此时进入第二阶段，第二阶段为六个方式一文件下载。通过定性分析，最多