山西省忻州一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题数学【含答案】

山西省忻州一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题

数学

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．

π B ．3

π-

C ．

π D ．23π-

2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．

B ．35

C ．

D ．45

3．cos70sin 50cos 200sin 40????-的值为( )

A ．3

B ．

C ．12

D ．

4．已知平面向量a →，b →

是非零向量，|a →

|=2, a →

⊥(a →+2b →

)，则向量b →

在向量a →

方向上的投影为( ) A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

5．0>ω函数()sin sin 22

f x ωπω+=在[]43

ππ

,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3

?? ??

B ．30,2

?? ??

C ．(]0,2

D ．[)2,+∞

6．已知向量a →

=(1,0)，b →

=(1,3)，则与2a →-b →

共线的单位向量为( )

A ．13,22??- ? ???

B ．13,22?- ??

C ．3,221??- ? ???或3,221??

- ? ???

D ．13,22?- ??或13,22?- ?

? 7．已知()0,απ∈，3sin 35πα?

+= ??

?，则cos 26πα??+= ???

( ) A ．

B ．2425

C ．

725

D ．725

8．已知e 1→，e 2→

分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→

，则平行四

边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50

C ．75

D ．100

9．设

ππ

x ≤≤，则1sin 21sin 2x x ++-=( ) A ．2sin x

B ．2cos x

C ．2sin x -

D ．2cos x -

10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →

=( ) A ．-13AB →+23

AC →

B ．23AB →-13

AC →

C ．13AB →-23

AC →

D ．-23AB →+13

AC →

11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移

个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π??

???对称，在区间0,4π??

???

上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π??

???

对称 C ．图象关于直线6x π

对称，在,123ππ??

????

上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,

4??

????

π有两个根 12．已知函数f(x)=???log 2(1-x)，x ≤0

-x 2+4x ，x>0

，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )

A ．4

B ．7

C ．8

D ．9

二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________．

14．已知向量a →

=(4,2)，b →

=(λ,1)，若a →与b →

的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．

16．对下列命题：

（1）若向量a →与b →同向，且|a →

|>|b →

|，则a →>b →

；

（2）若向量|a →

|=|b →

|，则a →与b →

的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a →

|=|b →

|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →

；（4）由于0→方向不确定，故0→

不与任意向量平行；（5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →

方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________

三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分) 已知，5

cos α=

，()10sin 10

αβ-=，且α、0,2πβ??∈ ???，求：

（1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值.

18．(本小题满分12分)

如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →

(1)用向量a →与b →

表示向量OC →，CD →

；

(2)若OE →=45

OA →

，求证：C ，D ，E 三点共线.

19．(本小题满分12分)

为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方

图，其中a =2b .

（1）求a ，b 的值；

（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[

50，)60的概率．

20．(本小题满分12分)

已知函数()sin 26f x x π??+ ?

=??,()()sin 002g x A x A πω?ω??

?=+>>< ???，，的部分图象如图所示.

(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象; (2)若对于任意的46x ππ??

∈-???

?，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.

21．(本小题满分12分)

已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22

ππ

α??∈ ???

. （1）若|AC →|=|BC →

|，求角α的值；

（2）若AC →?BC →=-1，求22sin sin21tan ααα

++的值.

22．(本小题满分12分)

已知函数24()(0,1)2x x

a a

f x a a a a

-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：

（2）求函数()f x 的值域；

（3）当[]

1,2x ∈时，()220x

mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.

一、选择题

1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．

π B ．3

π-

C ．

π D ．23

π-

【解析】．B

2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．

B ．35

C ．

D ．45

【解析】．C

3．cos70sin 50cos 200sin 40????-的值为( )

A ．3

B ．

C ．12

D ．

【解析】．B

4．已知平面向量a →，b →

是非零向量，|a →|=2, a →

⊥(a →+2b →

)，则向量b →

在向量a →

方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1

C ．2

D ．-2

【解析】．B

5．0>ω函数()sin sin 22

f x ωπω+=在[]43

ππ

,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3

?? ??

B ．30,2

?? ??

C ．(]0,2

D ．[)2,+∞

【解析】．B

6．已知向量a →

=(1,0)，b →

=(1,3)，则与2a →-b →

共线的单位向量为( ) A ．13,2

B ．132?-

C ．321?-????或321??

? ???

D ．13,2? ??或132?-

? 【解析】．D

7．已知()0,απ∈，3sin 35πα?

+= ??

?，则cos 26πα?

?+= ???

( ) A ．

B ．2425

C ．

725

D ．725

【解析】．B

8．已知e 1→，e 2→

分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→

，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50

C ．75

D ．100

【解析】．A 9．设

ππ

x ≤≤1sin 21sin 2x x +-=( ) A ．2sin x B ．2cos x

C ．2sin x -

D ．2cos x -

【解析】．A

10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →

=( ) A ．-13AB →+23AC →

B ．23AB →-13

AC →

C ．13AB →-23AC →

D ．-23AB →+13

AC →

【解析】．A

11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移

个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π??

???对称，在区间0,4π??

???

上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π??

???

对称 C ．图象关于直线6

x π

对称，在,123ππ??

?上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4??

????

π有两个根

【解析】．C

12．已知函数f(x)=???log 2(1-x)，x ≤0

-x 2+4x ，x>0

，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )

A ．4

B ．7

C ．8

D ．9

【解析】．B 二、填空题

【解析】12π﹣9 3

14．已知向量a →

=(4,2)，b →

=(λ,1)，若a →与b →

的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 【解析】()1,22,2??

?+∞ ???

15．若sin2α1-cos2α=1

3，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．

【解析】：2 16．对下列命题：

（1）若向量a →与b →同向，且|a →

|>|b →

|，则a →>b →

；

（2）若向量|a →

|=|b →

|，则a →与b →

的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a →

|=|b →

|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →

；（4）由于0→方向不确定，故0→

不与任意向量平行；（5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →

方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________ 【解析】1个三、解答题

17．已知，5cos α=，()10sin 10

αβ-=，且α、0,2πβ??∈ ???，求：（1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值. 【解析】

（1）因为α，0,

2πβ?

∈ ??

，所以,22ππαβ??

-∈-

?，

又因为()10sin 10αβ-=

，则()310cos 10αβ-=，而25sin 5

α=， ()()()()2

cos 2cos cos cos sin sin 10

αβααβααβααβ??-=+-=---=

??，（2）()()()2

cos cos cos cos sin sin 2

βααβααβααβ??=--=-+-=

??，又

0,2πβ??

∈ ???

，4πβ∴=.

18．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →

(1)用向量a →与b →

表示向量OC →，CD →

；

(2)若OE →=45

OA →

，求证：C ，D ，E 三点共线.

【解析】

解：(1)∵AB a =,AO b =,∴OC OA AC b a =+=--,

11151

()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+.

(2)证明: 4

5OE OA =

()

413

555

CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=,

∴CE 与CD 平行,∵CE 与CD 有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.

19．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b .

（1）求a ，b 的值；

（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[

50，)60的概率．【解析】

解：（1）由频率分布直方图得：(0.010.0350.01)101a b ++++?=， 0.045a b ∴+=，又2a b =，解得0.030a =，0.015b =．

（2）[50，60)，[60，70)两段频率比为0.1:0.152:3=，

∴按照分层抽样的方式从[50，60)，[60，70)中随机抽取5人，

分数在[50，60)中抽取2人，记为1a ，2a ，分数在[60，70)中抽取3人，记为1b ，2b ，3b ，

∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为：

1(a ，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ， 2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)b ，共10个，

其中，至少有1人的分数在[50，60)包含的基本事件有7个，

∴至少有1人的分数在[50，60)的概率7

P =

． 20．已知函数()sin 26f x x π??

+ ?

=??

,()()sin 002g x A x A πω?ω???

=+>>< ??

，，

的部分图象如图所

示.

(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;

(2)若对于任意的46x ππ??

∈-???

?，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】

(1)由图得11

2A ω==，,因为203π??

- ???

，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z π?π-

?+=∈，,即23

k k Z π

?π=+∈，. 因为2

,所以3

,即()1

sin 2

3g x x π??=+

???，

将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3

个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ??

∈-????

，,所以2632x πππ??+∈-????，,

所以当26

x π

时,()f x 取最小值3

,当262

x ππ+=时,()f x 取最大值1, 因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,

所以3212m m

?-+

即312m ?∈- ??，. 21．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα??

∈ ??

. （1）若|AC →|=|BC →

|，求角α的值；

（2）若AC →?BC →=-1，求22sin sin21tan ααα

++的值.

【解析】

（1）∵AC BC =，∴()()()()22

3cos 0sin 0cos 3sin αααα-+--+-

化简得tan 1α=，∵3,22

ππ

α??

∈

???

，∴54πα=．（2）∵ 1AC BC ?=-，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-?-=-，

∴2sin cos 3αα+=

，∴52sin cos 9

αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25

2sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝．

22．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a

-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.

（1）求a 的值：

（2）求函数()f x 的值域；

（3）当[]

1,2x ∈时，()220x

mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.

【解析】

（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-

即：242422x x x x a a a a

a a a a ---+-+=-++.即2(4)2422x x x x a a a a a a a a

+-+?-+-=

+?+ 整理可得2a =.

（2）222212()12222121

x x x x x

f x ?--===-?+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-

<+,2

11121

∴-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220x

mf x +->，可得，()2 2x

mf x >-，21

()2221x x x mf x m -=>-+.

当[]1,2x ∈时，(21)(22)21

x x x

m +->-，令(2113)x

t t -=≤≤），则有(2)(1)2

1t t m t t t +->=-+，函数21y t t

=-+在1≤t ≤3上为增函数，

∴max 210(1)3t t -

+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3

)+∞

山西省忻州一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题 数学【含答案】

山西省忻州一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题数学【含答案】