中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

课题：锐角三角函数的实际应用

【基础知识回顾】

知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切）

技巧点拨：

①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思

余弦——分子是剩下的直角边（即邻边） 余切——分子是剩下的直角边（即邻边）

简记为：正弦——对比斜(或正比斜） 正切——对比邻 余弦——邻比斜

知识点2：常见的锐角三角函数值

三角函数 30°

45°

60°

技巧点拨

sin α

2

1 2

2 2

3 分母都是2，分子分别是

√13 cos α

23 2

2 2

1 分母都是2，分子分别是

3√1

tan α 3

3 1 3

分母都是3，分子分别是

3、1、3

【新课知识讲解】

知识点3：解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c

（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和） （3）边角之间的关系：（锐角三角函数）

b

a

B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========

cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等

例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长(结果保留根号)．

【分析】

第一步：确定相关直角三角形

本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线内错角相等转化已知角） 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步：代入已知条件求值，并简答 【答案】

由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形，

∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m

在Rt ΔAOP 中，tan ∠PAO=PO/AO 在Rt ΔBOP 中，tan ∠PBO=PO/BO 代入数值，计算得 tan ∠PAO=PO/AO=tan ∠α=

3

3

所以AO=3PO tan ∠PBO=PO/BO=tan ∠β=1 所以BO=PO AB=AO-BO=(3-1）PO=450(3-1）m 答：AB 长为450(3-1）m

例2、如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部B 和顶部A ，分别测行俯角0

30,45==βα，求建筑物AB 的高。（计算过程和结果一律不取近似值）

【分析】 P 第一步：确定相关直角三角形Rt ΔADP 、Rt ΔBCP 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角 三角函数值

第三步：代入已知条件求值，并简答 【解答】

由题意得：ΔADP 、ΔBOP 均为直角三角形，

∠PBC=∠α＝45°，∠PAD=∠β＝30°，BC=AD=60m ，AB=CD 在Rt ΔADP 中，tan ∠PAD=PD/AD 在Rt ΔBOP 中，tan ∠PBC=PC/BC 代入数值，计算得 tan ∠PAD=PD/AD=tan ∠β=

33 所以PD=3

3

AD tan ∠PBC=PC/BC=tan ∠α=1 所以PC=BC

AB=CD=PC-PD=(1-

33）BC=(1-3

3）× 60m=（60-203）m

答：AB 长为（60-203）m

【技巧点拨】（1）此类题型解答步骤：

第一步：围绕题目中给出的已知角度、线段长度，构建合适的直角三角形，一 般需要确定两个直角三角形

注意：合适的直角三角形指的是包含已知角和已知线段的直角三角形，或者是先利用平行线性质、角度互余关系将已知角转化为其同位角、内错角或余角，包含这些转化后的角的直角三角形）

第二步：分别在两个直角三角形中利用已知角和已知线段（边）列出已知角的 锐角三角函数

第三步：代入数值计算，注意题目对计算结果的要求，并简要作答。 （2）常见数学模型总结： 模型①

P 已知角∠POA 、∠POB

已知线段AB ，求线段PO 或已知线段PO ，求线段AB ——对应例1

点拨：利用Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP

O B A

模型②

P 已知角 ∠PAC 、线段AB 和BD ， 求线段PC

点拨：利用RtΔACP、RtΔBDP C A

D B

模型③

P 已知∠PAC、∠PBD，线段AB和BD，

求线段PC或PD

——对应例2

C A 点拨：利用RtΔACP、RtΔBDP

D B

模型④

P Q 已知∠APQ和∠BPQ，线段AB，

求线段PO

点拨；利用RtΔAPQ、RtΔBPQ

A

O B

模型⑤

P

已知∠PAO和∠BAO，

已知线段AO，求线段PB

B 或已知线段PB，求线段OA

点拨：利用RtΔAPO、RtΔABO

O

A

【课堂练习】

为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．（提示：参照模型⑤）

【分析】

第一步：确定RtΔABD、RtΔACD

第二步：分别在RtΔABD、RtΔACD中，列出已知角∠ADB、∠ADC的正切值tan∠ADB=AB/AD tan∠ADC=AC/AD

第三步：代入数值计算并作答

【解】由题意得：ΔABD、ΔACD均为直角三角形，且∠ADB=45°，∠ADC=60°AB=3m

在RtΔABD中，tan∠ADB=AB/AD

在RtΔACD中，tan∠ADC=AC/AD

代入数值计算得，AD=AB=3m，AC=3AD=33m

故BC=AC-AB=（33-3）m

【真题演练】

1、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝

A 的仰角为60°，风筝

B 的仰角为45°.

（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？ （2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.

(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,

tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）

2、（9分）（2014?）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°，位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，

1.7）（提示：参照模型④）

A

B

45° 60°

C

E

D

3、(2013年河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹

江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝

土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，

以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示

意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角68

BAE?

∠=，

新坝体的高为DE，背水坡坡角60

∠=?。

DCE

求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin680.93,cos680.37,tan68 2.50,3 1.73

???

≈≈≈≈）（提示：参照模型①）4、(2012年河南省)（9分）某宾馆为庆祝开业，

在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31°，再沿DB 方向前进16米到达E 处，测得点A 的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC=7米，90ABD ∠=?,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据：tan310.6,sin310.52,cos310.86?≈?≈?≈）（提示：参照模型①）

5、(2011年河南省)(9分)如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D 处，测得地面上点B 的俯角α为45°，点D 到AO 的距离DG 为10米；从地面上的点B 沿

BO 方向走50米到达点C 处，测得塔尖A 的仰角β为60°。请你根据以上数据计算塔高AO ，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：

3≈1.732，2≈1.414.结果精确到0.1米)