一元二次函数总结(1)
一元二次函数的图象
一、 定义：
一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)
1.当a ＞0时
函数图象开口向上；
对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ；
当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；
2.当a ＜0时
函数图象开口向下；
对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；
2.△＝b 2－4ac
当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。 (如下图所示)
三、抛物线
c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
例1：画出21
2
y x =- 2y x =- 22y x =-的图象
21
2
y x =- 22y x =- 2y x =-
归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物
线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a
共同决定抛物线对称轴的位置
例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，21
1)2
y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、
对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 21
1)2
y x =--（
可以看出，抛物线21
(1)2
y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴
垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线21
1)2y x =--（的开口向下，对
称轴是x=1，顶点是（1,0）。
例3：画出函数21
(1)12
y x =-+-的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。
抛物线212y x =-经过怎样的变换可以得到抛物线21
(1)12
y x =-+-？
抛物线21
(1)12y x =-+-的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
把抛物线21
2
y x =-向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线
21
(1)12
y x =-+-。
归纳：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =形状相同，位置不同。把抛物
线2y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2()y a x h k =-+。平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。
抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：
（1）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下； （2）对称轴是直线x=h ；
（3）顶点坐标是（h ，k ） 例4：画出2
16212
y x x =
-+的图象
归纳：一般地，可以用配方法求抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的顶点与对称轴
2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++
因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b
x a
=-
，顶点坐标是2
4(,)24b ac b a a
--. (2) c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：
① 0=c ，抛物线经过原点; ② 0>c ,与y 轴交于正半轴； ③ 0 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0 b . （2）a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧 |x 1-x 2 |= a ac b4 2 , 与y轴交点为(0,c) b2-4ac>0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根 b2-4ac<0，ax2+bx+c=0无实根 b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根 二．四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件 1.若x＜y＜m﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣﹣2a／b＜m ┗f(m)＞0 2.若m＜x＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣﹣2a／b＞m ┗f(m)＞0 3.若x＜m＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足： 4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣m＜﹣2a／b＜n ┗f(m)＞0,f(n)＞0 5.若m＜x＜n＜y＜p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚，则需满足： ┏f(m)＞0 ┣f(n)＜0 ┗f(p)＞0 6.若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为x轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＝0 ┗m＜﹣2a／b＜n 或f(m)·f(n﹚＜0 ┏f(m)＝0 或 ┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2 ┏f(n)＝0 或 ┗﹙n ＋m ﹚／2＜﹣2a ／b ＜n 五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤ c bx ax y ++=2. 图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0 0=x (y 轴) (0,0) k ax y +=2 0=x (y 轴) (0, k ) ()2 h x a y -= h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2 h x = (h ,k ) c bx ax y ++=2 a b x 2-= (a b a c a b 4422--，) 六、二次函数图像的变换规律： 抛物线y=a(x-h)2+k 的图像，可以由y=ax 2得图像移动而得到。 y=ax 2（a ＞0）的图像 ?????→?轴翻折 沿x . y=-ax 2（a ＞0）的图像 ↓ 当h ＜0时，向左平移个单位长度， 当h ＞0时，向右平移 个单位长度 y=a （x-h ）2的图像 ↓ 当k ＞0时，向上平移个单位长度 当k ＜0时，向下平移 个单位长度 ↓ 写成一般形式 规律：在原有函数基础上“h 值正右移，负左移，k 值正上移，负下移” 七、直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1) y 轴与抛物线 c bx ax y ++=2 得交点为(c ,0) (2) 与y 轴平行的直线h x =与抛物线 c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3) 抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次 方程的根的判别式判定： ① 有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ② 有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点?0 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。 (5) 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数 ()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 ???++=+=c bx ax y n kx y 2 的解的数目来确定： ① 程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ② 程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点； ③ ③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6) 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点 为()()0021，，， x B x A 由于1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：a c x x a b x x =?-=+2121, () () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=-+= -= -=44422 212 212 2121 八、二次函数与一元二次方程的关系： (1) 一元二次方程c bx ax ++=2 0就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值 为0时的情况． (2) 二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、 有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程 02=++c bx ax 的根． (3) 当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实 数根；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根。 例5：观察函数2222,69,1y x x y x x y x x =+-=-+=-+的图象与x 轴的交点，得出一元二次方程的根。 可以看出： （1）抛物线22y x x =+-与x 轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当x 去公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程220x x +-=的根是-2,1. （2）抛物线269y x x =-+与x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，函数值是0.由此得出方程2690x x -+=有两个相等的实数根3。 （3）抛物线21y x x =-+与x 轴没有公共点，可知，方程210x x -+=没有实根。 归纳：一般地，从二次函数2y ax bx c =++的图象可知， （1）如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点，公共点的横坐标时0x ，那么当 0x x =及时方程20ax bx c ++=的一个根。 （2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点（240b ac ?=-<），有一个公共点(240b ac ?=-=)，有两个公共点(240b ac ->)。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根(2b x a =- )，有两个不相等的实数根(221244b b ac b b ac x x ----+-==。 九、二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 一元二次函数的图象 一、 定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二、一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数) 1.当a ＞0时 函数图象开口向上； 对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增； 2.当a ＜0时 函数图象开口向下； 对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减； 2.△＝b 2－4ac 当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。 (如下图所示) 三、抛物线 c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. 例1：画出21 2 y x =- 2y x =- 22y x =-的图象 21 2 y x =- 22y x =- 2y x =- 归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物 线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。 (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，21 1)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、 对称轴和顶点。 一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 一元二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系： ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a 时)]，坐标为(h ,k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律： 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． （2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． （2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上． 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 二次函数 一、课标解读 二、知识清单 知识点1：二次函数定义 1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。 2、二次函数的三种形式 一般式： 顶点式： 交点式： 知识点2：二次函数的图象与性质 1、二次函数的图象是一条 。 2、二次函数的性质 （1）a >0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最小值 。 （2）a <0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最大值 。 （3）a 的符号与开口方向； b 和a 的符号与对称轴：b=0，对称轴是 ；b 和a 同号，对称轴在y 轴 侧；b 和a 异号，对称轴在y 轴 侧； c 与y 轴交点：c=0，交点是 ；c>0，交点在y 轴的 半轴上；c<0，交点在y 轴 的 半轴上； ac b 42 -与x 轴交点个数：042 >-ac b ，与x 轴有 个交点；042 =-ac b ， 与x 轴有 个交点；042 <-ac b 与x 轴 交点。 （4）抛物线的平移：抛物线k h x a y +-=2 )(可以由2 ax y =经过平移得到，把抛物线 2ax y =向右或者向左平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=，规律是 ；把抛 物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线k ax y +=2 ，规律是 ；把抛 物线 2ax y =先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得到 k h x a y +-=2)(。 知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式 已知三点坐标，选用 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 ；已知与x 轴的交点，选用 。 知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系 （1） 抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程0 2 =++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴有一个交点，则一元二次方程 02=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则 一元二次方程02 =++c bx ax 实数根； （2）、)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 的解。 知识点5：实际问题与二次函数 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出解析式，然后利用函数解析式去解决问题 三、典型例题 知识点1：二次函数定义 例1（2014安徽安庆）下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A 、)0(≠+=k b kx y B 、242 ++=x ax y C 、2 21x y = D 、2 21x y -= 知识点2：二次函数的图象与性质 例2、已知二次函数c ax y +=2 ，当x 分别取)(212,1x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取 2,1x x +时，函数值为 （ ） A 、c a + B 、c a - C 、c D 、c - 点拨：抛物线是轴对称图形，纵坐标相同的两点，横坐标互为相反数。 例3、（2014?莱芜）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b ＜0；③4a﹣2b+c ＜0；④（a+c ）2＜b 2 其中正确的个数有（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 点拨：二次函数的图象与系数的关系 知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式 新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质讲义新人教A版必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 知识点一实数大小比较 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a 状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ?a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ?a ＋c>b ＋c. (2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． (3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势． [教材解难] 教材P 40思考 等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c . [基础自测] 1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( ) A ．T <40 B ．T >40 C ．T ≤40 D．T ≥40 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C 2．设M ＝x 2 ，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0. 初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0； （6）两根异号 ? a c ＜0 ? a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? a c ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值? a c ＜0且a b -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号； 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1． 当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 例2． 当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3． 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 例4． 当1t x t ≤≤+时，求函数215 22 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值． 例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去. （1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 精品文档 一元二次函数知识点汇总 2xcb,?c(a,y?ax?bxy)0a?. 叫做，那么是常数，1.定义：一般地，如果的一元二次函数2axy?的性质2.二次函数2ax?y）0（a?y. 的顶点是原点，对称轴是(1)抛物线轴2aax?y (2)函数的符号关系：的图像与????0a?顶点为其最高点时抛物线开口向下抛物线开口向上时顶点为其最低点；②当①当0?a2c??bxy?axy. )轴的抛物线的图像是对称轴平行于(3.二次函数包括重合2??bb4ac?22c??bxy?axkh?y?ax?. 的形式，其中二次函数用配方法可化成：4.?h?，k?2a4a2cbx?y?ax?. 的三要素：开口方向、对称轴、顶点5.抛物线a决定抛物线的开口方向：①aa0a?0a?时，当越大，抛物线的开口越大，开口向下；时，开口向上；当抛物线的开口越小。越小，0x?x?hyy. 轴记作直线)的直线，记作.②对称轴为平行于特别地，轴(或重合0a?a?0kh),。时③定点是抛物线的最值点[最大值()]，坐标为(时)或最小值( 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 222b4ac?b b?b4acb??2），（????ax?ax?bx?cy?x?. ，∴顶点是(1)公式法：，对称轴是直线?? a42a a2a42a????2h?xkh k?hy?a?x. ,(，对称轴是)的形式，得到顶点为(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点(3). 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★2cbx?y?ax?cb,a, 7.抛物线中，的作用 2aaaxy?. 中的(1)完全一样决定开口方向及开口大小，这与b2ac??bxy?axb??x,(2)的对称轴是直线和故：共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线2a bb0?byyy轴右侧对称轴在轴左侧；③时，对称轴为. 轴；②时时①,对称轴在,0??0aa2ccbx??ax?yy. (3)的大小决定抛物线轴交点的位置与2cc?bx?y?ax0?xy?cy )，∴抛物线当：与时，，轴有且只有一个交点(000c?c?0c?yy. 与，抛物线经过原点; ②轴交于正半轴；③轴交于负半轴,与,①b y. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则0?a 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：????22222cy?ax?bx?yy?ax?ax?k kyx?h?aay??x?h. ； ④①；⑤；③；②图像特征如下： 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 高考数学二轮复习一元二次函数性质及其综合考查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，1 2 〕成立，则a的取值范围是（） A．0 B. –2 C.-5 2 D.-3 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠， 而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+ y ax c 的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =- 的性质：左加右减。 一元二次方程知识点一、知识清单梳理 二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
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