导数的概念与函数的求导法则

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版

2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转 化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是，求时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，并称A 为在处的导数，记作或， 上述两个问题中：（1），（2） 三、几何意义：我们上述过程可以看出 在处的导数就是在处的切线斜率。 四、例题选讲 例1、求下列函数在相应位置的导数 （1）， （2）， （3）， 例2、函数满足，则当x 无限趋近于0时， （1） （2）

变式:设f(x)在x=x0处可导， 1.无限趋近于1，则=___________ （4）无限趋近于1，则=________________ （5）当△x无限趋近于0， x x x f x x f ? ?- - ? +) 2 ( ) 2 ( 0所对应的常数与的关系。 总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例3、若，求和 注意分析两者之间的区别。 例4：已知函数，求在处的切线。 导函数的概念涉及：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。 五、小结与作业

导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所

以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0

(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

复合函数求导法则及其应用

习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。 （8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

高中数学导数概念的引入

一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题

求导法则及求导公式

§2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？

01导数与导函数的概念

导数与导函数的概念 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义， 培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时， t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义： 我们上述过程可以看出

导数的基本概念

导数的运算及几何意义 【知识回顾】 1.导数概念 ①函数在点处的导数 ： (x o )==深刻 理解“函数在一点处导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系。 函数y=f （x ）在点x 0处的导数（）就是导函数（）在点x= x 0处的函数值，即（）=（）|x=x0. ②导函数：导函数也简称导数。 ③导数的几何意义：函数f （x ）在区间处的几何意义，就是曲线y=f （x ）在 点p （，f （））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点P （，f （））处切线的斜率是（）。相应地，切线方程为y-y 0=（）（x-x 0）。 2.常用的导数公式 ①C x f =)(（C 为常数），则_________；②n x x f =)(，则_____________ ③x x f sin )(=，则_______________； ④x x f cos )(=，则___________ ⑤x a x f =)(，则_______________； ⑥x e x f =)(，则___________ ⑦x x f a log )(=，则_____________； ⑧x x f ln )(=，则___________ 3.导数的基本运算法则 法则1：_________________])()([='±x g x f ；法则2：_________________])()([='?x g x f 法则3：_________________]) ()([='x g x f

4.复合函数求导：___________________________ 【经典例题】 例题1.已知函数x e x x f 223)(2-=，则=?-?→?x f x f x )0(2)(2lim 0（ ） 4.A 2.B 2.-C 4.-D 变式练习：已知函数x x x f 23)(3-=，则=?-?→?x f x f x )0(2)(2lim 0（ ） A.4 B.2 2.-C D.4- 例题2.求下列函数的导数 ①65324+--=x x x y ②x x y sin = ③1 1+-=x x y ④)3 2sin(π+=x y ⑤)3(log 2x y = 变式练习：以下运算正确的个数（ ） ①21)1(x x =' ②();sin cos x x -=' ③() ；2ln 22x x ='④()10 ln 1lg x x -=' 1.A B.2 C.3 D.4 例题 3.已知函数)(x f y =在R 上可导，若函数)4()4()(22x f x f x F -+-=，则 _____)2(='F 变式练习：已知函数()()()()x e f x x f x f x f ln 2,+'='且满足的导函数为（其中e 为自 然对数的底数），则()='e f （ ） A.1 B.-1 C.-e D.1--e 例题 4.等比数列{}n a 中，4,281==a a ，函数)())(()(821a x a x a x x x f ---=Λ，则 ______)0(='f A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 变式练习：设函数()()()()=='-++=k f k x k x k x x x f 则且,6)0(,32（ ） A.0 B.-1 C.3 D.-6 例题5.过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________ 变式练习：曲线1 2-=x x y 在点)1,1(处的切线方程为____________________ A. 02=--y x B. 02=-+y x B. 054=-+y x D. 054=--y x 例题6.设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线062=--y x 平行，则a 的值为____

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且

导数的概念(教案)

课 题 导数的概念 课 型 新授 时 间 09/ 9 / 课程标准 1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义； 2、先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 一、自主学习 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。（即导数的几何意义） 4.自学检测： （1）见课本（文P66，理P14）练习 第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。 （2）见课本（文P67，理P16）习题 第2题：=)5(f ；=)5(' f ； 第4题：斜率为 ；切线方程为 。 二次备课：

导数的概念

第二章导数与微分 本章教学目标与要求 理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 本章教学重点与难点 1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导； 4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算 §2.1 导数的概念 教学目的与要求 1.理解函数导数的概念及其几何意义. 2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线. 3.了解导数与导函数的区别和联系. 4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点 1.函数导数的概念、基本初等函数的导数 2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数 一、引例 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的． 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度 思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度 t s ??，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运 动的路程是时间的函数 )(t s ，则质点在 0t 到 t t ?+0 这段时间内的平均速度为 t t s t t s v ?-?+= ) ()(00 可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ?越小，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→?t 时，平均速度v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为 t t s t t s v v t t ?-?+==→?→?) ()(lim lim 000_ （1） 思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为： 2 2 1gt s = ， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为 00020 2000000)2 1(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =?+=?-?+=?-?+=→?→?→?。 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式. 2．切线的斜率 思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？ 引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义. （1）切线的概念

导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时） 【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背 景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确 一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。 【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】： 一） 导数的思想的历史回顾 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。 二）两个来自物理学与几何学的问题的解决 问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2 s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。 问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为 00 ()()s t s t v t t -= - 若0t t →时平均速度的极限存在，则极限 000 ()()lim t t s t s t v t t →-=- 为质点在时刻0t 的瞬时速度。 问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极

复合函数求导公式,复合函数综合应用

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！ 导数的运算法则及基本公式应用 一、常用的求导公式 二、复合函数的导数 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2 ,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则

导数的概念(教学设计)

导数的概念 樊加虎 导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正. 一、教材分析 1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表： 表1. 知识主体结构比较 表2. 知识迁移类比（导数像速度）

通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法. 1.4 重、难点剖析 重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解. 为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x 0可导→f(x)在开区间（a ，b ）内可导→f(x)在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率 x y ??的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）

导数的概念及性质

姓名学生姓名填写时间2016-1-7 学科数学年级高二教材版本人教版 阶段第（2 ）周观察期□：维护期□本人课时统计 第（）课时 共（）课时课题 名称导数的概念及其极值问题课时计划 第（）课时 共（）课时 上课时间2016-1-9 教学目标1、掌握导数的相关概念问题 2、掌握导数的运算法则 3、掌握极值问题在函数图象中的具体运用问题 教学重点1、导数的概念的理解及其运算问题 2、极值在函数图象中的反映 教学 难点 数形结合思想加以分析导数问题的过程以及函数与导函数问题的相互关系 教学过程 教师活动 一、导数的概念及其运算问题 1、函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．相应的, y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为： 例1.设函数1 ) (2- =x x f，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率（） A．2.1 B．1.1 C．2 D．0

例2.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 x f x f x ) 1()1(lim -+→= ( ) A ．2 B ．1 C ． 21 D ．4 1 例3、求曲线122 -=x y 的斜率等于4的切线方程． 例4、抛物线1)(2 +=x x f 在哪一点处的切线平行于直线54-=x y .

例5、求过曲线x y cos =上点?? ? ??21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 练习1： 1.函数)1()1(2 -+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 3．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -3 4．设()f x 在0x x =处可导，且000(3)() lim x f x x f x x ?→+?-?＝1,则0()f x '＝( ) A.1 B.0 C.3 D.1 3 二、导数的运算 = -=-)(',2)1(2x f x x x f 则