动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理
动量定理质心运动定理
质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。用公式
d(mv),Fdt表达为 (17-7)
d(mv),Fdt (17-8)
tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区
tt21间为从到，得
t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)
t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得
dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即
mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量不
dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有
上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得
n
dm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1ii
nn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于
零。上式中是质点
dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)
1
这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于
作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 R
tptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积
分，得
t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)
p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即
这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
由式(17-10)可知，动量定理在直角坐标轴的投影为
ndp,(e)x,F,ix,dti,1,ndp,y(e)F,,,iydti,1,ndp,(e)zF,,iz,dti,1, (17-12) 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒，
n(e)F,0,ixpi,1x但在该轴上的投影守恒。例如外力在x轴的投影为零，即，
则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。
h,1.5m例17-1 如图17-2所示，锤从高度处自由下落到受锻
t,0.02s1压的工件上，工件发生变形，历时，已知锤的质量
m,500kg，试求锤对工件的平均压力。
解将本题分二阶段处理:1.锤头自由下落;2.锤头打击工件
12h,gt2令自由落体时间为t，由运动学知，所以
2h2，1.5t,s,g9.8(1) =0.553s。下落至接触工件前瞬时，
v,gt,2gh,5.42m/s锤头具有向下的速度。
2
mg(2) 锤头打击工件时，锤头受到重力和垂直向上的工件反作用力，因工件反作
tF1用力在极短时间内迅速变化，作为工程近似，本题中用平均反力代替工件反作用力。
mv,mv,I2y1yy,取铅垂轴y向上为正，根据质点动量定理式(17,11)，有
v,,v,,5.42m/sv,0t1y2y1按题意，锤头开始打击工件瞬时，;经过时间后，。在此过
Ft,mgt11程中，重力冲量的投影为，工件平均反作用力的冲量的投影为，mv500，(,5.42)1yF,mg,,500，9.8,N,140kNI,Ft,mgtt0.02y11,1，代入上式得到
锤头对工件的平均压力与是作用与反作用关系，故两者大小相等，即锤头对工件的F
平均压力也是140kN，是它自重的28.7倍。
，，Mr,mr,cii将式(17-3)对时间t求导数，得到
，，rvrcCiM式中为质点系所有质点的质量和，为质点系的质心C速度，记作;为质点i的速
n
mv,Mv,p,iiCi,1度。有
即质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，根据式(17-10)，得()dMv(e)C,FRdt
d(Mv)dvCC,M,MaCaCdtdt当质量m不变时，注意到，为质心加速度，因此得
(e)Ma,FCR (17-13)
上式称质心运动定理，它表明质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上所有外力的矢量和。 n,(e)，，Mx,F, Cix,i,1,n ,(e)，，My,F,,Ciy i,1,n,(e) ，，MzF,,Ciz,i,1,
质点系的运动相当于一个质点的运动，这个质点的质量等于质点系的总质量，并且作用有质点系的所有外力，其加速度等于质心加速度。
如果作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质心运动定理也可投影到直角坐标轴上，
(e)a,0vF,0CCR即，则，=常矢量，这说明质心静止，或作匀速直线运动。如果作用在
3
质点系上的外力不为零，但在某轴上的投影为零，
n(e)F,0ix,i,1例如在x轴上的投影为零，，那么
，，vx,0Ccx，=常量，即质心速度在x轴上的投影保
持不变。以上两种情况都称作质心运动守恒定理。
以上讨论可以看到，内力既不影响质点系的动量，也
不影响质心的运动，质心的运动完全取决于质点系的外
力。例如汽车、火车能够前进，就是依靠主动轮与地面或
铁轨接触点的向前摩擦力(后轮驱动的汽车受力如图17
,3所示)，否则车轮只能在原地空转。雪地、冰冻路面，
地面光滑摩擦力小，常在汽车轮子上绕防滑链，或在火车的铁轨上喷沙，这些都是为了增大主动轮与地面或铁轨的摩擦力。车辆刹车时，制动闸与轮子间的摩擦力是内力，它不直接改变车辆质心的运动状态，但能够阻止车轮相对于车身的转动，如果没有车轮与地面的向后的摩擦力，即使闸块使车轮停止转动，车辆仍要向前滑行，不能减速。又如土建、水利工程中的定向爆破施工方法，使爆破出来的土石块堆积到指定的地方(图17-4)。我们知道，爆炸飞出的土石块的运动各不相同，情况十分复杂。但是就飞出的土石块这个质点系整体而言，不计空气阻力时，土石块在运动过程中仅受到重力作用，其质心的运动可以利用质心运动定理，事先计算抛射部分的质心运动。
例17-2 在光滑轨道上有一小车，车上站立一人，如图17-5所示，开始时小车和人均处于静止。已知小车的质量为600kg，人的质量为75kg，如
果人在小车上走过的距离a=3m，求小车后退的距离b。
解考虑到人与小车组成的系统，在水平方向所受
的外力为零，初始时系统处于静止。所以当人走动时，
必然引起小车后退，以保持系统质心不变。由质心运动
定理有
m,x，m,x,01122
,x,x12上式中、均为相对地面固定坐标系的坐标变化。由于小车在后退，所以人相对地面
,x,xa,b,ba,b12移动了，即=、=，代入上式得到
m(,b)，m(a,b),012
解得
ma75，32b,,m,33cmm，m600，7512
4
例17-3 如图17,6所示物体A放置在物体B的斜面
上，物体B放置在光滑的地面上，不计摩擦，A、B物体的
mmAB质量分别为、，初始静止，在重力作用下，物体A
将沿斜面向下滑，试求当物体A相对斜面滑过距离l时物体
B向左滑动的距离s。
解考虑A、B两物体构成的系统，受到的外力有物体A、B的重力，地面对物体B的约束力N，所有外力都沿y轴方向，所受外力在x轴上投影为零，根据动量定理，系统在x
p,0p,00xx轴方向上动量守恒。初始时物体静止，动量，所以任一时刻。设物体A相
vvrB对斜面的速度为，物体B向左运动的速度为，则物体A的绝对速度为v,v，vABr
v,vcos,,vAxrB在x轴上的投影
K,mv,mv,m(vcos,,v),mvxAAxBBArBBB系统的动量在x轴上的投影
K,0m(vcos,,v),mv,0xArBBB根据上述讨论，，所以
mAv,cos,,vBrm，mAB即
tt11设物体A相对斜面滑动距离l所需时间为，将上式从时刻0到时刻对时间积分，可得
ttm11mAAvdt,cos,vdts,cos,,lBr,,00，m，mmmABAB即
例17-4 如图17-7所示，电动机的定子质
m,24kgm,6kg12量，转子质量，转子的轴
线通过定子的质心，转子有一偏心距
n,1450r/minr,1mm，转速为。现将电动
机用螺栓固定在底座上，试求螺钉受到的合
力。
5
解取电动机定子、转子为研究的质点系，受到外力mg、mg，底座及螺栓的反力为12N、N，不考虑螺栓的预紧力。 xy
取固连于基础的固定坐标系Oxy，其原点与定子质心重合，所以定子质心坐标为1
2n,,,x,0,y,0x,rcos,ty,rsin,t112260;转子质心O的坐标为:，，= 2
2，3.14，1450rad/s,152rad/s60。由式(17-4)得到系统质心C的坐标为
mx，6.00.001,,422,,,，xcos152t2.010cos152tc,，，,mm24.06.012,my，6.00.001,422,,,,，ysin152t2.010sin152tc,，，mm24.06.0,12 (1) 应用质心运动定理即式(17-13)得到
，，(m，m)x,N12cx
，，(m，m)y,N,mg,mg12cy12 (2) 结合(1)式，解(2)式得到
2,,，，N,mx,,mrcost,,139cos152tx222
2，，N,mg，mg，my,(m，m)g,mr,sin,t,294,139sin152ty122c122
如果N>0，则螺栓不受力，只有底座受压力。如果N<0，则螺栓受拉力。所以在设计yy
时要考虑螺栓工作中受到变化的作用力。
6
质心运动定理
质心运动定理 选择题： 题号：00511001 分值：3分 难度系数等级： 一长度为L的翘翘板的两端分别做了一个小孩和一个大人，大人的质量是小孩的2倍，忽略跷跷板的质量，则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。 (A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人2L/3处 (C) 在距离大人L/2处(D) 由于不知道小孩的质量，无法判断 [ ] 答案：（A） 题号：00512002 分值：3分 难度系数等级： 质心运动定律描述的是： (A) 质点系的质心所遵循的定律(B) 质点系中所有质点所遵循的规律 (C) 质心和所有质点遵循的规律(D) 是关于质心的动量守恒定理 [ ] 答案：（A） 题号：00512003 分值：3分 难度系数等级： 一长度为L、质量为m，且质量沿长度方向均匀分布的翘翘板，两端分别坐了一个小孩和一个大人，大人的质量为2m，小孩质量为m。则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。 (A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人3L/8处 (C) 在距离大人L/2处(D) 在距离大人2L/3处 [ ] 答案：（B） 题号：00513004 分值：3分 难度系数等级： 如图，质量分别为m A=10.0kg和m B=6.0kg的两小球A和Array B，用质量可略去的刚性细杆连接，则系统质心的位置： (A) 在（0，0）处 (B) 在AB的中部处 (C) 在（1.5m，1.9m）处 (D) 在三角形ABO的内心处 [ ] 答案：（C） 题号：00514005 分值：3分
难度系数等级： 已知地球的质量约为月亮质量的81倍，地月距离是地球半径的60倍。忽略月亮的半径，则地月系统质心的位置： (A) 在地球和月亮的中心处 (B) 在地月连线上距离地球E 6082 R 处 (C) 在地球半径以外 (D) 在地球的中心 [ ] 答案：（B ） 判断题： 题号：00521001 分值：2分 难度系数等级： 刚体的一般运动可以看作由质心的平动和绕质心的转动组成。 答案：正确 题号：00521002 分值：2分 难度系数等级： 由若干个质点组成的质点系的质心一定是质点系的几何中心。 答案：错误（和质量分布有关） 题号：00522003 分值：2分 难度系数等级： 两人在光滑的冰面上，初始时刻两人静止，突然其中一人推动另一人，后两人向相反的方向做匀速直线运动运动。假设人作为质点，则在运动过程中，由两人组成的质点系的质心的位置将不断变化。 答案：错误（合外力为0，质心位置不变） 题号：00523004 分值：2分 难度系数等级： 质点系的一对内力不能改变质心的运动状态。 答案：正确（质心运动定律） 题号：00524005 分值：2分 难度系数等级： 如果质点系的质心加速度不等于零，则不能用质心运动定律描述质心的运动。 答案：错误（质心运动定律）
第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A )(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24 m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos ) (3 21321+++=
动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理 动量定理质心运动定理 质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。用公式 d(mv),Fdt表达为 (17-7) d(mv),Fdt (17-8) tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区 tt21间为从到，得 t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9) t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。 (e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得 dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即 mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量不 dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有 上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得 n dm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1ii
nn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于 零。上式中是质点 dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10) 1 这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于 作用在质点系上外力的矢量和。 (e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 R tptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积 分，得 t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11) p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即 这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。 由式(17-10)可知，动量定理在直角坐标轴的投影为 ndp,(e)x,F,ix,dti,1,ndp,y(e)F,,,iydti,1,ndp,(e)zF,,iz,dti,1, (17-12) 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒， n(e)F,0,ixpi,1x但在该轴上的投影守恒。例如外力在x轴的投影为零，即， 则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。 h,1.5m例17-1 如图17-2所示，锤从高度处自由下落到受锻
第三讲 质心运动定理与刚体转动定律(教师版)
第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 2018.10.16 多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。 一、质心运动定理 设系统由n 个质点组成，各质点的质量分别为n m m m ???21、，位矢分别是n r r r ???21、，则此质点系质心的位置矢量C r 为 n n n C m m m r m r m r m r +???+++???++=212211 因此，质心的加速度 n n n C m m m a m a m a m a +???+++???++=212211 设第i 个质点所受的外力为i F ，第j 个质点对第i 个质点所受的作用力为)(i j f ji ≠，则对每个质点应用牛顿第二定律有 11131211a m f f f F n =+???+++ 22232122a m f f f F n =+???+++ ?????? 将n 个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有ij ji f f -=，得 n n n a m a m a m F F F +???++=+???++221121 令F 21=+???++n F F F ，称为质点系所受到的合外力，m m m m n =+???++21，称为质点系的总质量，则 C ma =F 这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。 二、质心运动守恒定理 如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。 三、刚体的转动定律 刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。图为一绕固定轴转动的刚体，P 为刚体上某一质点，其质量为i m ，到转轴的距离为i r ，受到刚体外的外力为i F ，内力为i f ，则对P 点有 i i i i a m f F =+ i a 为质点P 运动的加速度，由于质点P 绕固定轴做圆周运动，其切线加速度it a 满足 βθ? i i it i i i i i r m a m f F ==+sin sin β为刚体转动的角加速度，上式每一项都乘以i r 得 βθ?2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+ i i i r F ?sin 是外力i F 对转轴的力矩，i i i r f θsin 是内力i f 对转轴的力矩。 对组成刚体的每个质点都可以写出以上形式的方程，将这些方程累加可得 βθ?∑∑∑=+2 sin sin i i i i i i i i r m r f r F 由于内力是成对出现的，且每对内力都是等值、反向、共线的，故有 0sin =∑i i i r f θ 而∑i i i r F ?sin 是刚体所受各外力对转轴的力矩的矢量和，即合外力矩， 用M 表示，2 i i r m ∑是由刚体本身的质量分布情况所决定，称为刚体对此转轴的转动惯量，用I 表示，则上式可简写为 βI M =
大学物理3.4质心 质心运动定理
第 2 章质点和质点系动力学 2.1 牛顿运动定律惯性系质心运动定理21牛顿运动定律 2.2动量定理动量守恒定律 22 2.3角动量定理角动量守恒定律 2.4功能原理和机械能守恒定律 1
i i r m r ∑ = i c m ∑m m r r c ?= d k z j y c c +m x ?d 2 2 2m x m ++m x c = () c x x m -=22杠杆原理
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm 古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！”阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理他把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”逻辑论证杠杆原理： （1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量距端下倾（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾（4）一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变（5）相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：“二重物平衡时它们离支点的距离与重量成反比“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水 利用杠杆原理制造远近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城3 利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久
F a m c =c a m F =外
巧用质心和质心系求解竞赛题
A 巧用质心和质心系求解竞赛题 湖南省浏阳市第一中学（410300）张学明 应用质心和质心系解答竞赛题是一中重要的解题方法。特别是系统所受外力为零时，质心做匀速直线运动，抓住这个特点来求解有关力学问题往往能化难为易，化繁为简。下面举例说明。 例1、如图，一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上。槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为1m 、2m 、3m ，其中1322m m m ==接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中I 、II 、III 的位置，彼此之间距离相等，2m 、3m 静止。1m 以初速度2 0R v π= 沿槽 运动，R 为圆环的内半径和小球半径之和。设各球间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T 。 分析与解答： 此题的常规解法是逐一应用动量守恒，找出系统的运动规律。从而求出周期。该方法比较麻烦。如果注意到三个小球在运动过程中在圆的切线方向不受力。故可以认为系统的质心 作匀速圆周运动。系统运动一个周期，即质心运动一个圆周。设质心的速率为c v 105032101R v m m m v m v c π==++= ，所以周期s v R T c 202== π 例2、在光滑水平面上有两个质量均为m 的物体A 和B ，B 上有一劲度系为k 的轻弹簧。物A 以速度0v 向静止的物体B 运动，并开始压缩弹簧，求：从开始压缩弹 簧到最大压缩量过程中物体B 的位移。 分析与解答： 先求出弹簧的最大压缩量。当两物体速度相等时，弹簧压缩量最大。此时两物体速度为v 设最大压缩量为m x 。由动量守恒和能量守恒得： mv mv 20= （1） 22202 122121m kx mv mv += （2） 由（1）（2）得：k m v x m 20 = 在运动过程中相对于地面来说。A 、B 两物体都做复杂的变加速运动。现在以质心为参考系来研究A 、B 两物体的运动规律。注意到系统不受外力，质心做匀速直线运动。其中质心位于AB 两物体的中点处，