高二数学期中考试试题

2017 —— 2018学年度第二学期期中考试

高 二 数学试题（理科）

命题人： 审题人： 考试时间120分钟 分值150分

注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共70分）

一、选择题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,

)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3

k k Z π

π+∈ 2．从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3

种走法，则从甲地到丙地共有（ ）种不同的走法。 A. 9种 B.10种 C. 11种 D.24种

3. 若,)1(5

5443322105x a x a x a x a x a a x +++++=-

则a 0－a 1+a 2－a 3+a 4－a 5=（ ） A. 64 B. 32 C. 1 D. 0

4. 在某次大合唱中，要求6名演唱者站一排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法有多少种（ ）

A. 368种

B. 488种

C. 486种

D.504种 5.在极坐标系中，圆cos 3πρθ??

=+

??

?

的圆心的极坐标为（ ） A. 1,23π??-

??? B. 1,23π?? ??? C. 1,3π??- ??? D. 1,3π??

???

6. 从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则

不同的选派方法共有（ ）

A. 60种

B. 48种

C. 30种

D. 10种

7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

由上表求得回归方程9.49.1y x ∧

=+，当广告费用为3万元时销售额为（ ） A ．39万元 B ．38万元 C ．38.5万元 D ．37.3万元 8. 已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于 A.

14

B.

15

C.

16

D.

17

9. 学校将6名新毕业实习教师分派到高一3个班进行实习，每名实习教师只进入一个班级实习，每班至少1名，则不同的分派方案有（ ）种。 A. 630 B. 540 C. 450 D. 360

10.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：

根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）

A ．样本中的男生数量多于女生数量

B ．样本中多数男生喜欢手机支付 C. 样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 D ．样本中多数女生喜欢现金支付 11. 将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 560

12. 随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据

的茎叶图如图 ，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是 （ ）

A ． 甲班同学身高的方差较大

B ． 甲班同学身高的平均值较大

C ． 甲班同学身高的中位数较大

D ． 甲班同学身高在175以上的人数较多 13. 从3,2,1,0这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ） A ．

92 B ．31 C. 125 D ．9

5 14. 甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（ ） A. 36种 B. 18种 C. 24种 D.16种

第Ⅱ卷（非选择题，共80分）

二、填空题(本大题包括6小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在答题卡中相应的横线上) 15. 5

(2)x x -

的展开式中，72

x 的系数是 .

16. 随机变量ξ服从正态分布),50(2

σN ，若3.0)40(=<ξP ，则

=<<)6040(ξP .

17. 将序号为1， 2， 3， 4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张．要求分给同一人两张电影票连号，那么不同的分法种数为____ ____．（用数字作答）

18．在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1:(0)C θααπ=≤<，曲线

23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==若1C 与 2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ,求

AB 最大值.为

19. 5

(15)x y --的展开式中不含x 的项的系数和为 （结果化成最简形式） 20. 现有语文书一二三册，数学书一二三册，共计6本排成一排。其中要求语文第一册

不在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案有种。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题满分12分）

某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[)

10,20，[)

20,30，…，[]

50,60，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；

（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．

22.（本小题满分12分）

某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：

物理及格物理不及格合计

数学及格27 9 36

数学不及格12 24 36

合计39 33 72

（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；

（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．

附：x2= ．

P（X2≥k）0.150 0.100 0.050 0.010

k 2.072 2.706 3.841 6.635

23.（本小题满分14分）

天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.

（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率；

（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：

降雨量（毫

米） 1

2

3

4

5

快餐数（份）

5

试建立y 关于x 的回归方程（

和保留一位小数），为尽量满足顾客要求又不造成过

多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数（快餐份数四舍五入保留整数）． 附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=

-∑∑，a y bx =-

24.（本小题满分12分）

点P 是曲线()2

21:24C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90?得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C .

（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；

（2）射线()03

πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，定点()2,0M ，求MAB

△的面积.

2017 —— 2018学年度第二学期期中考试 高 二 数学试题（理科）参考答案

1-5 CCBDA 6-10 CADBD 11-14 CADC

15. —40 16. 0.4 17. 18

18．4 19. 1024- 20.288 21题答案：（本小题满分12分）

22题答案：（本小题满分12分）

【答案】（1）解：根据题意，得： = ≈12.587，

∵12.587＞6.635，∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”

（2）解：从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为 = ，

从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为= ，

X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，

ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（X=0）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=2）

= ? + + = ，

P（ξ=1）=P（X=0）P（Y=1）+P（X=1）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=2）+P（X=2）P

（Y=1）+P（X=3）P（Y=2）= + +

? + + = ，

P（ξ=2）=P（X=0）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=0）+P（X=3）P（Y=1）

= + + = ，

P（ξ=3）=P（X=3）P（Y=0）= = ，

∴ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3

P

Eξ= +3×=

【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列

【解析】【分析】（1）根据题意，求出X2= ≈12.587＞6.635，从而有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及

格的学生的频率为= ，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为= ，X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值

为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 23题答案：（本小题满分14分）

答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）3x = 110y = 27.5a b == 193份

解析：（Ⅰ）四天均不降雨的概率4

13

81()5

625

P ==

， 四天中恰有一天降雨的概率1

3

2432216()55625

P C =??

=， 所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625

P P P =--=-

-=. （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++=

=，5085115140160

1105

y ++++==，

5

1

5

2

1

()()

275

=

=27.510

()

i

i

i i

i x x y y b x x ==--=

-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：?27.527.5y

x =+． 将降雨量6x =代入回归方程得：?27.5627.5192.5193y

=?+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份． 24题答案：（本小题满分12分） 答案：（Ⅰ）4cos ρθ=（Ⅱ）33S =- 解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．

设(),Q ρθ，则,2P πρθ??- ???，则有4cos 4sin 2πρθθ?

?=-= ??

?．

所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅱ）M 到射线3

πθ=

的距离为2sin

33

d π==，

(

)

4sin cos 2

3133B A AB π

πρρ??=-=-=- ??

?，

则1

332

S AB d =?=-．