全国名校高考数学经典复习优秀学案汇编(附详解)专题：不等式
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
知 识 梳 理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法???a －b ＞0?a ＞b ，
a －
b ＝0?a ＝b ，a －b ＜0?a ＜b ；
(2)作商法?????a
b ＞1?a ＞b （a ∈R ，b ＞0），
a
b ＝1?a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1?a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.
2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0
n ∈N ，n ≥2)．
3．三个“二次”间的关系
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示
(1)a ＞b ?ac 2＞bc 2.(×)
(2)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?a d ＞b
c .(√)
(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实根数，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .(×)
(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.(×) 2．(优质试题·四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d
解析 ∵c ＜d ＜0，∴0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1
c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a
d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b
c .故选B. 答案 B
3．(优质试题·大纲全国卷)不等式组???x （x ＋2）＞0，
|x |＜1
的解集为( )
A ．{x |－2＜x ＜－1}
B ．{x |－1＜x ＜0}
C ．{x |0＜x ＜1}
D ．{x |x ＞1}
解析 由x (x ＋2)＞0得x ＞0或x ＜－2；由|x |＜1得－1＜x ＜1，所以不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C. 答案 C
4．若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)＜0，则实数k 的取值范围是________．
解析 可判断k ＝0或k ＜0均不符合题意，故k ＞0.
于是原不等式即为k ?
????
x －
k 2
＋4k (x －4)＜0? ?
????
x －k 2
＋4k (x －4)＜0，依题意应有3≤
k 2＋4k ≤5且k ＞0，∴1≤k ≤4. 答案 [1，4]
5．(人教A 必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________． 解析 由题意知：Δ＝(m ＋1)2＋4m ＞0. 即m 2＋6m ＋1＞0，
解得：m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)
考点一 不等式的性质及应用
【例1】 若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b
＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1
a ＞b
－1
b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④
解析 法一 因为1a ＜1
b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；
因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误． 综上所述，可排除A ，B ，D.
法二由1
a＜
1
b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以
1
a＋b
＜0，
1
ab＞0.故有
1
a＋b
＜
1
ab，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞
－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又1
a＜
1
b＜0，则－
1
a＞－
1
b＞0，所以a－
1
a＞b－
1
b，故③正
确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．
答案 C
规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
【训练1】(1)(优质试题·三明模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()
A.
1
a－b
＞
1
b B．a
2＜ab
C.|b|
|a|＜
|b|＋1
|a|＋1
D．a n＞b n
(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①c
a＞c
b；②a c＜b c；③log
b
(a－c)＞
log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()
A．①B．①②C．②③D．①②③
解析(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；
C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1?|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)?|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |?|b |＜|a |，
∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C.
(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞c
b ，①正确；构造函数y ＝x
c ，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，知②正确；
∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，
∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确． 答案 (1)C (2)D
考点二 一元二次不等式的解法
【例2】 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152
解析 法一 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a ＞0，所以不等式的解集为(－2a ，4a )． 又不等式的解集为(x 1，x 2)， 所以x 1＝－2a ，x 2＝4a . 从而x 2－x 1＝6a ＝15， 解得a ＝5
2.
法二 由条件知，x 1和x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，所以(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.又a ＞0，所以a ＝5
2，故选A. 答案 A
(2)解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． 解 ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.
②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2
＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k 2
k
＜x
＜1＋1－k 2k
；
若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0， 即－1＜k ＜0时，
x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k
；
若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为?； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ??????
x |1－1－k 2k ＜x ＜
1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ??????
x |x ＜1＋1－k 2k ，或x ＞
1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .
规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
【训练2】 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.
①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为? ??
??
x －2a (x ＋1)≥0，
解得x ≥2
a 或x ≤－1.
③当a ＜0时，原不等式化为? ??
??
x －2a (x ＋1)≤0.
当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2
a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，解得2
a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；
当a ＞0时，不等式的解集为?
???
??x |x ≥2
a ，或x ≤－1；
当－2＜a ＜0
时，不等式的解集为????
??x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a ＜－2时，不等式的解集为?
???
??
x |－1≤x ≤2a .
考点三 不等式恒成立问题 【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
深度思考 关于不等式恒成立求参数范围可以利用分离参数法，本题第(2)问还可用二次函数在闭区间上的最值来求解．
解 (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0，
则???m ＜0，Δ＝m 2
＋4m ＜0?－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.
(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ? ????x －122＋3
4m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一 因为x 2
－x ＋1＝? ??
??x －122＋3
4＞0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1
.
因为函数y ＝
6x 2
－x ＋1＝6? ??
??x －122＋
3
4在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜
6
7即可． 所以，m
的取值范围是????
??
m |m ＜67. 法二 令g (x )＝m ? ????x －122＋3
4m －6，x ∈[1，3]．
当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)?7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜6
7； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；
当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)?m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，m 的取值范围是{m |m ＜6
7}．
规律方法 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，???a ＞0，
Δ＜0.不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体
实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，???a ＜0，
Δ＜0.
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
【训练3】 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，
试求实数a 的取值范围．
解 因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x ＞0恒成立，即x 2
＋2x ＋a ＞0恒成
立．即当x ≥1时，a ＞－(x 2＋2x )恒成立．设g (x )＝－(x 2＋2x )，而g (x )＝－(x 2
＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a ＞－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a ＞－3}． 微型专题 与不等式性质有关的函数值范围问题
给出相关变量满足的若干个不等式条件，再求其他变量式子的取值范围是考查不等式的一个常用题型，常结合线性规划知识考查，难度不大，但是如果在解题过程中对不等式的性质掌握不牢、理解肤浅，就很容易解错．
【例4】 已知实数x ，y 满足条件－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．
点拨 先建立待求整体与已知整体的范围的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．
解析 设z ＝2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )＝(a ＋b )x ＋(a －b )y ， ∴a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得a ＝－12，b ＝52.
由－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3，可得－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜15
2， 3＜－12(x ＋y )＋5
2(x －y )＜8，即2x －3y ∈(3，8)． 或用线性规划方法求解，画出不等式组
?
??－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，在可行域内平移直线z ＝2x －3y ，当直线经过x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点(3，1)时，目标函数有最小值z ＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点(1，－2)时，目标函数有最大值z ＝8. 因为取不到等号，所以有2x －3y ∈(3，8)． 答案 (3，8)
点评 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围，而要采用整体考虑的思想方法．处理与不等式有关的范围问题重点掌握两种求解方法，即本例介绍的待定系数法和线性规划法.
[思想方法]
1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，
特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．
3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形．
4．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解．[易错防范]
1．不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号．
2．在解含有参数的不等式时，分类讨论的划分一定要明确，先进行大的分类，在每大类中再进行小的分类，注意分类要做到不重不漏．
3．当不等式的二次项系数含有参数时，一定不要忽略这个系数可能等于零的情况．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(优质试题·大庆质量检测)若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是 ()
A.
1
a－b
＞
1
a B.
1
a＞
1
b
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
解析取a＝－2，b＝－1，则
1
a－b
＞
1
a不成立，选A.
答案 A
2．(优质试题·天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的 ()
A．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件． 答案 A
3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的取值范围是
( )
A ．{a |0＜a ＜4}
B ．{a |0≤a ＜4}
C ．{a |0＜a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
解析 由题意知a ＝0时，满足条件．
a ≠0时，由???a ＞0，Δ＝a 2
－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D
4．(优质试题·泉州实验中学模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为
( )
解析 由题意知a ＜0，由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，图象开口向下，与x 轴交点为(－1，0)，(2，0)，故选B. 答案 B
5．(优质试题·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则
( )
A ．c ≤3
B ．3＜c ≤6
C ．6＜c ≤9
D ．c ＞9
解析 由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，
由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0 ①，
由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得4a －b －13＝0 ②，由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3，即6＜c ≤9，故选C. 答案 C 二、填空题
6．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是________． 解析 由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0， ∴x ≤－4或x ≥3.
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞) 7．若不等式ax 2
＋bx ＋2＞0的解集为????
??x |－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的
解集是________．
解析 由题意，知－12和1
3是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a ＜0，
所以?????－12＋13＝－b a －12×13＝2a .
解得???a ＝－12，b ＝－2.
则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2－2x －12＜0，其解集为{x |－2＜x ＜3}． 答案 {x |－2＜x ＜3}
8．(优质试题·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．
解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，
则???f （m ）＝m 2＋m 2
－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2
＋m （m ＋1）－1＜0，
答案 ? ????－2
2，0
三、解答题
9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，
即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.
①a ＞0时，－a 4＜a
3，解集为????
??x |x ＜－a 4，或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a
3，
解集为????
??x |x ＜a 3，或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为
?
?????
x |x ＜－a 4，或x ＞a 3；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a ＜0
时，不等式的解集为????
??
x |x ＜a 3，或x ＞－a 4. 10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时， f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ， 解得－3≤a ＜－1；
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，
由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.
综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．
法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或???
Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0.
解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11．(优质试题·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是
( )
A.? ????－∞，－32∪? ????12，＋∞
B.? ??
??－32，12 C.? ????－∞，－12∪? ????
32，＋∞ D.? ??
??－12，32 解析 由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0， 又其解集是(－1，3)，
∴a ＜0，且?????1－ab
a ＝2，－
b a ＝－3，解得a ＝－1或1
3(舍去)，
∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3， 由－4x 2－4x ＋3＜0，
得4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12，或x ＜－3
2，故选A. 答案 A
12．(优质试题·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是
( )
A.?
????
－∞，
1－32
B.??????
1＋32，＋∞
C.? ????－∞，1－32∪??????1＋3
2，＋∞
D.????
??1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]， ∴a 2－a ≥x x 2＋1
＝1
x ＋1x
要使a 2
－a ≥1
x ＋1x 在x ∈(0，2]时恒成立，
则a 2－a ≥? ??
???
1x ＋1x max ， 由基本不等式得x ＋1
x ≥2， 当且仅当x ＝1时，等号成立， 即?????
???
1x ＋1x max ＝1
2， 故a 2－a ≥1
2，
解得a ≤1－32或a ≥1＋3
2. 答案 C
13．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为________．
解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3. 答案 {x |x <1或x >3}
14．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3)．
(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，
因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .
①
由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.
②
因为方程②有两个相等的根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－1
5代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －3
5.
(2)由f (x )＝ax 2
－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ?
????x －1＋2a a 2－a 2
＋4a ＋1
a 及a <0，可得f (x )的
最大值为－a 2＋4a ＋1
a .
由?????－a 2
＋4a ＋1a >0，
a <0，