必修5解三角形知识点和练习试题[含答案]

高二数学期末复习专题——解三角形

复习要点

1．正弦定理:2sin sin sin a

b c

R A

B C

=

==或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=

??

?+-=

??

. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：

1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：

1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。

5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===.

一．正、余弦定理的直接应用：

1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°或150°

D ．120°

2、在ΔABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1

sin ,2

A =

3sin 2B =，求::a b c

3、在ΔABC 中，若S ΔABC =

4

1

(a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 4．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

5．在△ABC 中，C －A ＝

π2，sin B ＝1

3

. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．

6．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 33A C +=+，AB 边上的高为43，求角,,A B C 的大小与边,,a b c 的长

二．判断三角形的形状

7、在锐角三角形ABC 中，有

（ ）

A ．cosA>sin

B 且cosB>sinA B ．cosA

C ．cosA>sinB 且cosB

D ．cosAsinA

8、若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形

9、钝角ΔABC 的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x 的取值范围是：

10.已知a 、b 、c 分别是ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边 （1）若ABC ?面积,60,2,2

3

?===

?A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ?的形状．

三．测量问题

11．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.

4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003

m 12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、B 两点，从A 、B 两

点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且AB=60米，则树的高度为多少米？ 13.如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )

A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 3 14.一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 mile 的海面上有

一走私船正以10 mile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14

mile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向

去追,求追及所需的时间和α角的正弦值.

15.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会又开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km. (1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C 和景点D 之间的距离．

A

B

C

北

东

四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用

16、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么三边a,b,c 的关系是

17．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 18．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+==则

z y x ,,的大小关系是___________________________。

19.△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，

4

3

cos =

B ． （Ⅰ）求C

A tan 1

tan 1+

的值；（Ⅱ）设c a BC BA +=?求,23的值。

20（2010浙江文数）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2

223()4

S a b c =

+-。 （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。

21、（2010安徽理数）设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ

=+-+。(Ⅰ)求角A 的值；

(Ⅱ)若12,27AB AC a ?==，求,b c （其中b c <）。

22．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝(cos2B,2cos 2B

2－1)，且向量m 、n 共线．

(1)求角B 的大小；

(2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．

高二数学解三角形复习专题答案

1．B 2。 1:3:12:3:1或 3。 45° 4。C 5解：(1)由C －A ＝

π2

和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝

π2

－B,0

π4

.

故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2

A ＝13，sin A ＝3

3

.

(2)由(1)得cos A ＝

63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin A

sin B

·AC ＝3 2. ∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ，sin C ＝sin(π

2

＋A )＝cos A ，

∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝12×6×32×6

3

＝3 2.

6解：22201

()()3,,cos ,602

a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-===

tan tan 33

tan(),3,1tan tan 1tan tan A C A C A C A C

+++=

-=--所以有tan tan 23A C =+，联立

tan tan 33

A C +=+得，

tan 1

tan 23tan 1tan 23

A A C C =??=+???

?==+????或，即

00

00

7545

4575A A C C ??==????==????

或 当0075,45A C ==时，43

4(326),8(31),8sin b c a A

=

=-=-= 当0045,75A C ==时，43

46,4(31),8sin b c a A

=

==+= ∴当00075,60,45A B C ===时，8,4(326),8(31),a b c ==-=-

当00045,60,75A B C ===时，8,46,4(31)a b c ===+。 7．B 8。 D 9。3

2

≤a <3.

10解：（1）2

3sin 2

1==?A bc S ABC ，2

360sin 22

1=??∴b ，得1=b

由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=????-+=-+=A bc c b a ，所以3=a

（2）由余弦定理得：2222

222c b a ac

b c a c a =+?-+?

=，所以?=∠90C 。 在ABC Rt ?中，c a A =

sin ，所以a c

a

c b =?=。所以ABC ?是等腰直角三角形； 11．A 12。m )31(30+ 13。 B

14. 解: 设A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在B 处追上, 则有

120

cos 240)10(12)14(.120,10,14222x x x ACB x BC x AB -+=∴=∠==, .14

3

528120sin 20sin ,20,28,2=====∴

α

BC AB x

所以所需时间2小时, .14

35sin =

α 15．解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝30°，AD ＝8 km ，AB ＝5 km ，设DB ＝x km ， 则由余弦定理得52＝82＋x 2－2×8×x ·cos30°，即x 2－83x ＋39＝0， 解得x ＝43±3.∵43＋3>8，舍去，∴x ＝43－3，∴这条公路长为(43－3)km.

(2)在△ADB 中，

AB sin ∠ADB

＝

DB sin ∠DAB

，∴sin ∠DAB ＝

DB ·sin∠ADB AB ＝43－3

10

，

∴cos ∠DAB ＝

33＋4

10

.在△ACD 中，∠ADC ＝30°＋75°＝105°， ∴sin ∠ACD ＝sin[180°－(∠DAC ＋105°)]＝sin(∠DAC ＋105°) ＝sin ∠DAC cos105°＋cos ∠DAC sin105°＝43－3

10

·2－6

4

＋33＋410·6＋24＝76－2

20. ∴在△ACD 中，

AD sin ∠ACD

＝

CD sin ∠DAC

，∴

876－220＝CD

43－3

10

，∴CD ＝

3242－686

73 km.

16．a+c=2b 17。

1

2

18．z y x << 19．解：（Ⅰ）由,4

7)4

3(1sin ,4

3cos 2=-==B B 得 由b 2=a c 及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B =

于是B

C A C

A A C A C C

C A

A C

A

2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+=+.77

4sin 1sin sin 2===B B B

（Ⅱ）由.2,2,4

3cos ,23cos 232====?=?b ca B B ca BC BA 即可得由得 由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5.

3,

9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a

22．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin(A ＋C )(2cos 2B

2－1)－3cos2B ＝0.

又∵A ＋C ＝π－B ，∴2sin B cos B ＝3cos2B ，即sin2B ＝3cos2B .

∴tan2B＝3，又∵△ABC是锐角三角形，∴0

，

∴0<2B<π，∴2B＝π

3

，故B＝

π

6

.

(2)由(1)知：B＝π

6

，且b＝1，由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－3ac＝1.∴1＋3ac＝a2＋c2≥2ac，

即(2－3)ac≤1，∴ac≤

1

2－3

＝2＋3，当且仅当a＝c＝

6＋2

2

时，等号成

立．20．

21．