2017年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)高清扫描版含答案
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．A
2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B
8．D 9．D 10．A 11．D 12．A
二、填空题
13．23 14．5- 15．23 16．415
三、解答题
17．解：
（1）由题设得 21sin 23sin =a ac B A ，即 1sin 23sin =a c B A .
由正弦定理得 1sin sin sin 23sin =
A C
B A . 故2
sin sin 3B C =.
（2）由题设及（1）得 1
cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.
所以 2π3B C +=，故π3A =.
由题设得21sin 23sin =a bc A A
，即 8bc =. 由余弦定理得 229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得 33b c +=. 故ABC △的周长为333+.
18．解：
（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得⊥AB AP ，CD PD ⊥.
由于//AB CD ，故⊥AB PD ，从而⊥AB 平面PAD .
又?AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .
（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F .
由（1）可知，⊥AB 平面PAD ，故⊥AB PF ，
可得⊥PF 平面ABCD .
以F 为坐标原点，FA u u u r 的方向为x 轴正方向，||AB u u u r 为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系-F xyz .
由（1
）及已知可得A
，P
，B
，(C .
所以(PC =u u u r
，CB =u u u r
，PA =u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r . 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则 0,0,n n ??=???=??u u u r u u u r PC CB 即
0,0.?+-=?=y
可取(0,1,n =--.
设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则
0,0,m m ??=???=??u u u r u u u r PA AB 即
0,220.x z y -=???=?
可取 (1,0,1)=m .
则
cos ,||||?==n m n m n m . 所以二面角--A PB C
的余弦值为.
19．解： （1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故(16,0.0026):X B . 因此
16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈≥.
X 的数学期望为 160.00260.0416=?=EX .
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小. 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ⅱ）由9.97x =，0.212s ≈，
得μ的估计值为?9.97μ=，σ的估计值为?0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在????(3,3)μ
σμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除????(3,3)μ
σμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 1(169.979.22)10.0215
?-=， 因此μ的估计值为10.02.
162221160.212169.971591.134i i x
==?+?≈∑,
剔除????(3,3)μ
σμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815
--?≈， 因此σ
0.09≈.
20．解：
（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由2222
11134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上. 因此 222111314b a
b ?=????+=??，， 解得 2241.a b ?=??=??， 故C 的方程为2214
x y +=.
（2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k . 如果l 与x 轴垂直，设l x t =：，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标
分别为(t
，(,t .
则121k k +=-，得2t =，不符合题设. 从而可设(1)l y kx m m =+≠：. 将y kx m =+代入2214
x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=.
由题设可知2216(41)0k m ?=-+>.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841
km x x k +=-+，21224441m x x k -=+. 而 121212
11y y k k x x --+=+ 1212
11kx m kx m x x +-+-=+ 121212
2(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设知 121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即 222448(21)(1)04141
m km k m k k --+?+-?=++. 解得 12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0?>，于是12m l y x m +=-+：，即 11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点(2,1)-．
21．解：
（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1x x f x a a '=+--(e 1)(2e 1)x x a =-+.
（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.
当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>．所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增．
（2）（ⅰ）若0a ≤,由（1）知，()f x 至多有一个零点. （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a
-=-+. ① 当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；
② 当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a
-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③ 当(0,1)a ∈时，11ln 0a a
-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.
设正整数0n 满足03ln(1)>-n a
，则00000000()e (e 2)e 20=+-->->->n n n n f n a a n n n . 由于3ln(1)ln a a
->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).
22．解： （1）曲线C 的普通方程为2219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=. 由22430,19x y x y +-=???+=?? 解得 3,0x y =??=? 或 21,2524.25x y ?=-????=??
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525
-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为
d =. 当 4a -≥时，d
.
8a =； 当 4a <-时，d
=16a =-. 综上，8a = 或 16a =-.
23．解： （1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于
2|1||1|40x x x x -+++--≤. ①
当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1>x 时，①式化为240x x +-≤，从而1 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =. 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥. 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.