小题之王——构造函数解决抽象函数问题汇总(一题多解)(第二部分).docx
构造函数解抽象函数汇总版(第二部分)2。唤3】
其次，我们先从第二种思路：构造特殊函数来解答这12个例题:
[例1]. (2007陕西卷理科第11题)已知函数/(x)是定义在(0,+oo) ±的非负可导函数，且满足寸(x) + /(x)W(),
对任意正数心b,若a
A. cij\b) < bf(a)B"/⑷ < af(b) C. af(a) < D. bf\b) < f(a) 解法二：(构造具体函数法)
构造函数/(x)=-,此函数满足题意，因为0 X 由不等式的性质同向同正可乘性得af(b) < bf(a)选A [例3]. (2015新课标II卷理科第12题)设函数f(x)是奇惭数f(gwR)的导函数，/(—1) = 0,当兀>0时, xf \x) -/(x) < 0，则使得/(%) > 0成立的X的取值范围是 A.(—00,—l)u(0,1) B. (—1,0)u(l,+00) C?(-oo-l)u(-l,0) D. (0,l)u(l,+oo) 解法二：(构造具体函数法) 构造函数f(x) = x-x3，此函数满足题目的所有条件，/'(兀)=1-3〒, 由/(朗〉0可得兀一卡>0,解得(-oo-l)u(O,!) 选A [例5] ?已知函数/(劝的导函数为广⑴，且3/(兀)+xf\x)> 0 ,贝怀等式(兀一201 b于(兀一201 $ + 8/(-2) > 0 解法二：(构造具体函数法) 构造函数/(x) = 1,此函数满足3/(x) + V'U)>0, 已知(x—20103/(x—2010 + 8/(—2)>0,即为(x—2018’+8>0, 可得兀—2018 >-2,解得兀>2016 故不等式(x-201 /(x—2018 + 8/(-2) > 0 的解集是｛彳兀 > 201 g。 [例6].已知函数夬兀)是定义在R上的偶函数，设函数几Y)的导函数为f\x),若对任意兀〉0都有 2f(x)-xf\x)> 0 成立,则 B. 9/(-2) >4/(3) c. 2/(3) > 3/(-2) D. 3/(-3) < 2/(-2) A. 4/(-2) >9/(3) 解法二：(构造具体函数法) 构造函数/(x) = 1,此函数满足2/(x)-V*U)>0,满足题意。根据选项选氏 [例7]?已知函数/(兀)是定义在R上的增函数，/(x) + 2>/(x), /(0) = 1,则不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x的 解集为 A. (-oo,0) B. (0,+oo) C. (-00,1) D. (1,+co) 解法三：(取特殊函数法) 构造函数/(x) = ,此函数是定义在R上的增函数，且满足7(x)4-2 >/(x), /(0) = 1, 不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x 即为ln[e x+2]-ln3>x 变形得In [e x +2]>ln + In 3 = ln(3e x) 即e v + 2>3e x从而得e x <\解得x<0 选A 解法四：(取特殊函数法) 构造函数f(x) = 1此函数是定义在R上的增函数，且满足/(x) + 2>f(x),于(0) = 1, 不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x 即为ln[e x+2]-ln3>x 变形得\n[e x + 2]> \ne x +ln3 = ln(3『) 即/ + 2>3夕从而得e v < 1 解得xvO 选A [例8]. /(x)是定义在R上的函数,其导函数为/(%),若广(x)>/(x)-l, /(1) = 201§则不等式 /(劝>201於"+1的解集是 解法三：(构造具体函数法) 构造函数/(兀) = 201&i 此函数满足f(x)> f(x) -1,,兀1) = 2018, 不等式/(%) > 201计+1即为201 > 201计+1 变形得广】〉1 即&日>1二/ 从而得x-\>0 解得x>] 答案(1,4-0) [例9]?已知函数.心)是定义在R 上的可导函数，且满足对任意xwR 恒成立，e 为自然对数的底数, 则() 解法二：(构造具体函数法) 构造函数/(%) = -!,此函数题意，经过检验 选A [例10].已知函数/(尢)在R 上可导，其导函数为f\x),且满足/V) + r (x)<0,若a>0,贝9 A.眄f(a) > /(0) B. f(a) > ￡丁(0) C. /(°) < eV(0) D. e a f{o) < /(0) 解法二：(常规构造抽象函数法) 构造函数/(x) = 1，此函数题意，经过检验 选D 7T [例11].定义在(0,牙)上的函数f(x)JXx)是它的导函数，且恒有/(x) A. V3/(-) > 72/(-) B./0) < 2/(^) sin 1 4 3 6 解法二：(构造特殊函数法) /(x) = -1,此函数题意，经过检验 TT [例12].定义在(0,二)上的函数是它的导函数，且有广(x)cosx + /(x)sinx<0, /(O) = 0,则 B. 吟<&怕 C./(ln2)>0 D. /(^) < V2/(^) 6 3 4 J 6 4 A. /(2) > e 2 /(0),/(2017) < 严/(0) C. /(2) > 幺2/(0),/(2017) > 严7/(o ) B. /(2) < e 2 /(0)J(2017) > 严 7/(o ) D. /(2) < 占(0) J(2017)< 严丁 (0) 解法二：(常规构造抽象函数法) /(x) = -兀,此函数题意，经过检验 选A 【总结6】:构造特殊函数，主要是我们常见的函数: 第一类常函数： (1) y = x 3 (2) y = -x 3 (3) y = x(x 2 +1) (5) y = -x(x 2 +1) (6) y — —x(x~ — 1) ...... 第五类反比例函数： (1) y =— (2) y =—— ... X 第六类指数型函数： (1) y=e x (2) y = (3) y = k^e x ⑷丿一 J 第七类对数型函数: 再次，我们从规律性秒杀的思路，用规律来秒杀这12个例题： [例1]?(2007陕西卷理科第11题)已知函数/(尢)是定义在(0,+oo)上的非负可导函数，且满足#'(兀)+ /(力50, 对任意正数a 、b,若ci B. af(b) < bf(a) B. bf(a) < af(b) C. af{a) < f(b) D. bf(b) < f(a) 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“寸(x) + /(x)SO”此题题眼是，即“异号”，得Ov f(h) < f(a),排除B 与C, 因为0 选A [例3]. (2015新课标II 卷理科第12题)设函数f(x)是奇函数/(x)(x G R)的导函数，/(-1) = 0,当兀>0时， xf '(x) - /(%) < 0，贝9使得/(x) > 0成立的x 的取值范围是 B. (—00,—1)2(0,1) B ?(一1,0)u(l,+8) C. (-oo-l)u(-l,0) D. (O,l)u(l,+oo) (1) y = \ (2) 歹= -1 (3) y = 2 (5) y = 3 (6) ：-3 第二类一次函数： (1)尸兀 (2) -X (3) y = x+1 (5) y = -x + l (6) :-x-l 第三类二次函数： (1) y = x 2 (2) ■■-X 2 (3) y = x 2 +1 (5) y = -x 2 4-1 (6) y = -x 2 -\ 第四类三次函数： (4) y=-2 (4) y = x-\ (4) y = x 2 -l (4) = x(x 2 -1) (1) y = \nx (2) y = lgx 解法三：(规律性秒杀方法) 因为/(%)是奇函数，所以/(I) = -/(-I) = 0 , 当兀〉0吋，V(x)-/(x)<0,此题题眼是“f(x)v”，即“异号”，由f(x) > 0可得x /(%)<0,此题题眼是“,即“异号”，由/(兀)〉0可得xv—1, 综上所述，/(%)> 0的取值范围是(―oo,—l)u(0,1),答案选A [例4]?己知函数/(无)的定义域为R上可导函数，f(x)是其导函数，且满足/U) + V*U)>0,则不等式/(Tx + f) > (VTd)/(7x2-l)的解集为 解法二：(规律性秒杀方法) 此题条件是“/(兀)+灯7兀)>0”，此题题眼是“/&)>”，即“同号”， ?x/x + 1 > Vx2 -1 rtl /(Vx+1) > (Vx7!)/^2-!)得Jx + l>0 ,解得15xv2, x2-l>0 故不等式> (V^4)/(Vx2-l)的解集为{^1 [例5].己知函数/(兀)的导函数为广(兀)，且3于(兀)+对?)> 0,则不等式(兀—2()1夕/(兀―2010 + 8/(—2) >() 的解集是。 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“3于(兀)+对\劝>0” ,此题题眼是“/&)>” ,即“同号”， 由(兀一201b/(兀―201 ?>(—2尸x/(—2),可得可得兀_20]8>_2,解得%>2016 故不等式(x—201M /(x—2010 + 8/(-2) > 0 的解集是环 > 201 。 [例6].已知函数夬兀)是定义在R上的偶函数，设函数几丫)的导函数为f\x),若对任意兀>0都有2f(x)-xf(x)> 0 成立，则A. 4/(-2) > 9/⑶ B. 9/(-2) > 4几3) C. 2兀3) > 3/(-2) D. 3/(-3) < 2/(-2) 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“2/(兀)一对?)>0”，此题题眼是任)<”，即“异号”， 看到(x) + /(x)”，即“同序”；看到“ f,即“错序” 此题条件是“,错序，根据选项选B。 [例7]?已知函数/(兀)是定义在R上的增函数，/(x) + 2>f(jc), /(0) = 1,则不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x的解集为 A. (-oo,0) B. (0,4-oo) C. (-oo,l) D. (1,+co) 解法四：(规律性秒杀方法)此题条件是“ f'(x) - /(%) —2 V 0 ”，此题题眼是“ f (兀) < ”，即“异号”，且/(0) = 1, ln[/(x) + 2]-ln3 > %, 从而得到x v 0 [例8]. /(兀)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若广(x)>/(x)-l, /(1) = 201§则不等式/(x)>201^v-1+l 的解集是 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“ f\x) > f{x)一1, ”，此题题眼是“ /'(兀) > ”，即“同号”，且/(I) = 2018，/(x) > 201甘' +1, 从而得到x>\答案(l,+oo) [例9]?已知函数./U)是定义在R上的可导函数，且满足对任意xeR恒成立，e为自然对数的底数, 则() A. /(2) > e2/(0)J(2017) < 严7/(0) B./(2) < e2/(0)J(2017) >严/(0) C./(2) > //(()),/(2() 17)>戶7/(()) D. /(2) < 孑/(()),/(2() 17) < 严丁(0) 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是a,此题题眼是"/(%)>",即“同号”, 看到“f (兀) + /(%)”，即“同序”；看到“/'(兀)—/(兀)”，即“错序” [例10].已知函数/?(%)在R 上可导，其导函数为f\x),且满足/(x )4-/r (x)<0,若a>0,则 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“/(尢)+ f (兀)<0,” ,此题题眼是“ f(x)<” ,即“异号”， 此题条件是“ /(x) + /,(x)<0,",同序，根据选项选D 7T [例11].定义在(0,-)±的函数是它的导函数，且恒有f(x) 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“.f(x)v/'(x)tanx”，此题题眼是“f (x)>”，即“同号”， 此题条件是“ f(x)< /*(x)tanx w ,此题题眼是“广(兀)tanx —ZX 兀)”,错序，根据选项选D TT [例12]?定义在(0,—)上的函数f(x)JXx)是它的导函数，且有r (x)cosx+/(x)sinx<0, /(0) = 0,则 A. /(￡) > 2/(吕) B.用)< &疋) C. /(In 2)>0 D. /(f) < 血/(手) 6 3 4 3 6 4 解法三：(规律性秒杀方法) 此题条件是“f(x)cosx + /(x)sinx<0”，此题题眼是(兀)<”,即“异号”， 此题条件是“ /, (x)cosx+/(x)sinx w ,此题题眼是“ /, (x)cosx+/(x)sinx",错序，根据选项选A. 总结7：规律性秒杀方法： 看到“ /6)>”，即“同号”； 看到“ /(%)<,> ,即“异号" 看到 “f (x) + /(x)”，即“同序”； 看到“ f ,即“错序” A. e a f(a) > /(0) c. f(a) < H/(0) D. e a f(a) < /(0) A.V3/(^)>72/(y) 71 B J(l)<2/(-)sinl 小题之王 构造函数解决抽象函数问题 一题多解