梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案
梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案
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动量矩定理
12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：
t
b y t
a x ωω2sin cos ==
式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度
t
b t
y v t
a t
x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-==
质点对点O 的动量矩为
t a t b m t b t a m x
mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v
t mab ωω3cos 2=
12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。
轮子角速度 R
v
A =ω
质心C 的速度 )(e R R
v
C B v A C +==ω
轮子的动量 A C mv R e
R mv p +==（方向水平向右）
对B 点动量矩
ω?=B B J L 由于
222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 []
R
v
e R m me J L A A B 22)( ++-=
（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。
e v v v v A CA A C ω+=+=
轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右）
对B 点动量矩
)
( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωω
ωω
12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。
解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有
F mg ma C -=θsin （1） J C α = Fr
（2）
因轮子只滚不滑，所以有 a C =αr （3） 将式（3）代入式（1）、（2）消去F 得到
g mr J mr C 2
sin +==θ
?
α
上式对时间两次积分，并注意到t = 0时0 ,0==?
? ，则 )
(2sin )(2sin )(2sin 22222222r grt mr m mgrt mr J mgrt C +=
+=+=ρθ
ρθθ? 把 r = 0.025 m 及t = 5 s 时，m 3==?r s 代入上式得
mm 90m 09.013
220sin 58.9025.012sin 2sin 222
2==-???=-=-=
s gt r r grt θ?θρ
12-17 图示均质杆AB 长为l ，放在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成0?角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆在任意位置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。
解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系Oxy 如图（a ），杆AB 作平面运动，质心在C 点。 刚体平面运动微分方程为
)
3( sin 2cos 2)2( )1( N N N N ??αl
F l F J mg F y m F x m A B C B C A C ?-?=-==
由于 ??sin 2
,cos 2l
y l x C C ==
将其对间t 求两次导数，且注意到 α?ω?
-=-= ,，得到 )
5( )sin cos (2
)
4( )cos sin (2
22?ω?α?ω?α+-=-=l y l x C C
将式（4）、（5）代入式（1）、（2）中，得
mg
ml F ml F B A ++-=-=)sin cos (2
)
cos sin (2
2N 2N ?ω?α?ω?α
再将F N A ，F N B 的表达式代入式（3）中，得
?
?ω?α???ω?ααsin )cos sin (4
cos 2cos )sin cos (4222
2--++-=ml mgl ml J C
即
?ααcos 242mgl
ml J C +-= 把 122ml J C =代入上式得 ?αcos 23l g =
而 t
d d ω
α=
分离变量并积分得 ????ωωω
d cos 23d 00l g -=??
)sin (sin 30??ω-=
l
g
（2）当杆脱离墙时F N A = 0，设此时1??=
则 0)cos sin (2
121N =-=?ω?αml
F A
将α和ω表达式代入上式解得 01sin 3
2
sin ??=
)sin 3
2
arcsin(01??=
12-19 均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的内力。
解：分别取圆柱A 和薄铁环B 为研究对象，其受力分析如图（a ）、（b ）所示，A 和B 均作平面运动，杆AB 作平动，由题意知
T T ,,F F a a a B A B A '=====ααα。
对圆柱A 有
)
2( )
1( sin A 11T αθJ r F F F mg ma =--=
对薄铁环B 有
)
4( )
3( sin 22αθB J r F F mg T ma =-+'= 联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将
T T 22,,2
F F mr J r m
J B A '===，以及根据只滚不滑条件得到的a = αr 代入，解得
θsin 71T T mg F F ='=（压力）及 θsin 7
4
g a =
12-21 图示均质圆柱体的质量为m ，半径为r ，放在倾角为?60的斜面上。一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A ，此绳与A 相连部分与斜面平行。若圆
柱体与斜面间的摩擦系数为3
1
=f ，试求其中心沿斜面落下的加速度a C 。
习题9－8图
解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（a ）所示，圆柱作平面运动，则其平面运动微分方程为
)
3( 60sin )2( 60cos 0)
1( )(T N T F F mg ma mg F r F F J C --?=?-=-=α
而 F = fF N （4） 圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿AD 绳向下滚动，且只滚不滑，所以有 a C =αr
把上式及3
1
=f 代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得
a C = （方向沿斜面向下）
12-23 均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。
解：（1）分别取轮A 和B 研究，其受力如图（a ）、（b ）所示，轮A 定轴转动，轮B 作平面运动。
对轮A 运用刚体绕定轴转动微分方程 r F J A A T =α （1）
对轮B 运用刚体平面运动微分方程有
B ma F mg ='-T (2) r F J B B T '=α （3）
再以C 为基点分析B 点加速度，有
r r a a a B A BC C B ?+?=+=αα （4） 联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将
T T F F '=及22
r m
J J A B ==代入，解得
g a B 5
4
=
2）若在A 轮上作用一逆时针转矩M ，则轮A 将作逆时针转动，对A 运用刚
体绕定轴转动微分方程有
r F M J A A T -=α （5） 以C 点为基点分析B 点加速度，根据题意，在临界状态有
0t
t =+-=+=r r a a a B A BC C B αα （6）
联立求解式（5）、（6）和（2）、（3）并将T T '=及22
r m
J J A B ==代
入，得
mgr M 2=
故当转矩mgr M 2>时轮B 的质心将上升。
9－8 图示圆柱体A 的质量为m ，在其中部绕以细绳，绳的一端B
C
T
F
(a)
固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h 时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。
解：法1：图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2） r αa A = （3）
22
1mr J A =
解得 mg F 3
1T =（拉）
g a A 3
2=（常量）
（4）
由运动学 gh h a v A A 33
2
2=
=
（↓）
法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C 用动量矩定理：
mgr J C =? （5） 222
3mr mr J J A C =+=
又 r
a A =?
g a A 3
2=（同式（4））
再由 T F mg ma A -= 得 mg F 3
1T =（拉） gh h a v A A 33
22==（↓）
9－10 图示重物A 的质量为m ，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。滑轮B 与滚子C 固结为一体。已知滑轮B 的半径为R ，滚子C 的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。求：重物A 的加速度。
解：法1：对轮： Fr TR J O -=α （1） T F a m O -=' （2
）
对A ： T mg ma A -= （3
）
又：t
H H A a a a ==绳 以O 为基点： t n n t HO HO O H H a a a a a ++=+
ααα)(t
t r R r R a a a O HO H -=-=-=（→） α)(r R a A -=（↓） （4） 由上四式联立，得（注意到2ρm J O '=）
m F
绳
H a H
T O
α
T
(a)
a A
F N ·
E