四川省2020年上学期宜宾市叙州区第一中学校高三数学理开学考试试题
四川省2020年上学期宜宾市叙州区第一中学校高三数学理开学考试试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合2{|20}M x x x =->，{|3}N x x =>，则集合M 与N 的关系是( ) A ．M N ?=? B ．M N R = C ．M N N ?=
D ．M
N N =
2．已知i 为虚数单位，若复数22i z i ?=-，则z =（ ） A ．1
B ．2
C ．
3 D ．
5 3．如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．18
C ．12
D ．36
4．已知等差数列的前15项和1530S =，则2139a a a ++=（ ） A ．7
B ．15
C ．6
D ．8
5．已知函数()42
x x
a
f x +=是奇函数，则()f a 的值为 （ ） A ．52
-
B ．
52
C ．32
-
D ．
32
6．在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，2DA ED DF -=，则DF =（ ） A ．
1324
AB AD - B ．
12
23
AB AD -
C ．13
34
AB AD -
D ．
132
3
AB AD - 7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丁
D ．戊
8．已知α，β，γ为平面，l 是直线，若α∩β＝l ，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l ⊥γ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．在ABC ?中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．7
5
-
B ．77125
-
C ．
77125
D ．75
10．已知点(,)M x y 是抛物线24y x =最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．若双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y ++=所截得的弦长为3，
则E 的离心率为（ ）
A
B C ．2
D ．
3
12．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()0''g x f x g x f x g x ≠>，，且
()()(0x f x a g x a =>且1)a ≠，
()()
()()
115
112f f g g -+
=
-，对于有穷数列
()()
(1,2,f n n g n = ,10)，任取正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于
15
16
的概率是（ ）
A ．
310
B ．
25
C ．
12
D ．
35
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若二项式（x
）n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为
__．
14．已知函数()3
2153
f x x x ax =-+-在区间[]1,2-上不单调，则实数a 的取值范围为__________．
15．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 16．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b 满足
(2)(2)
()()(),(2)2,(*),(*)2
n n n n n
f f f a b af b bf a f a n N b n N n ?=+==∈=∈， 有以下结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列. 其中正确结论的序号是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）已知等差数列{}n a ，记n S 为其前n 项和（*n N ∈），且33a =-，315S =-. （Ⅰ）求该等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足14b =-，34b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（12分）2019年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部50人，B 镇有基层干部80人，C 镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A ，B ，C 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：[)5,15，[)15,25，[)25,35，
[)35,45，[)45,55，绘制成如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40人中有多少人来自B 镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？
（Ⅱ）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X ，求X 的数学期望．
19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1A C 与1A D 的中点，且1MN =. （Ⅰ）求证：MN ⊥平面11A ADD ；
（Ⅱ）求二面角1A A C D --的平面角的正弦值.
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：26x y =与直线l ：3y kx =+交于M ，N 两点. （Ⅰ）若MON ?的面积为18，求k ；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？若存在，求以线段OP 为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数()ln 21f x a x ax =-+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）对任意的1x ≥，不等式()1
0x f x e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 已知点，
，点Q 在曲线C ：
上．
（Ⅰ）求点
的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求PQ 的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()1 1.f x x m x =++-
（Ⅰ）当2m =时，求不等式()4f x <的解集； （Ⅱ）若0m <时，()2f x m ≥恒成立，求m 的最小值．