误差的基本性质与处理

第1章绪论

1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：

研究误差的意义

（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。

（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。

（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：

（1）讨论形成误差的原因；

（2）各类误差的特征及处理方法；

（3）对测量结果进行评定。

1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？

答1：

测量误差的定义：误差＝测得值－真值。

测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗大误差。

各类误差的特点：

（1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；

（2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定大小和符号，或者按一定规律变化；

（3）粗大误差：误差值较大，明显地歪曲测量结果。

答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。

答1：

相同点：都是测量值与真值之差。

不同点：误差的绝对值都是正值，而绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。

例：某长度的绝对误差为－0.05mm，而该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。

答2：

(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。

1-4 什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？ 答：

（1）测量误差：测得值与被测量真值之差。

（2）修正值：为消除固定系统误差用代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。 （3）经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本身也含有误差。 1-5 测得某三角块的三个角度之和为180°00＇02＇＇，试求测量的绝对误差和相对误差。 解：真值为180°

绝对误差：21802000180''=?-'''?

相对误差：%.000310066018021802='

'??'

'=?''

1-6 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm ，已知其最大绝对误差为1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？

解：因为L ＝50mm ，δ＝0.001mm

所以()0010000500..L L ±=±=δmm

1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力的100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差是多少？

解：以100.5Pa 未约定真值，则二等标准活塞压力计测量值的绝对误差和相对误差为

绝对误差：100.2Pa －100.5Pa ＝－0.3Pa 相对误差：

% (305)

1003

0= 1-8 在测量某一长度时，读数为2.31m ，其最大绝对误差为20μm ，试求其最大相对误差。 解：最大相对误差为

%.m

.m

m .m 0008703121020312206=?=-μ

1-9 使用凯特摆时，g 由公式()2212

4T h h g +=π

给定。今测出长度（h 1＋h 2）为（1.04230±0.00005）

m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1＋h 2）测出为（1.04220±0.00005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？

解：设l ＝（h 1＋h 2），则2

24T l

g π=

（1）8104904802042301141593442

222....T l g =??==πm/s 2

（2）根据相对误差的概念：()l f l l +=10，()T f T T +=10 其中：f l 、f T 分别为l 和T 的相对误差，如此有：

()()

()T l T l f f T l f T f l T l g 21411442

00

22200222++≈++==πππ 所以g 的相对误差为：

%.....f f f T l g 05100480

20005

020423010000502=?+=

+=

（3）要求0010.g ≤?m/s 2，且（h 1＋h 2）＝（1.04220±0.00005）m 根据T l g f f f 2+=以及g

g

f g ?=

可得

0000480104220

9001

0...g

g

f g ==

=

?

因此()000026021

.f f f l g T =-=

又T

T

f T ?=，故000050.Tf T T ==?s 。所以，T 的测量必须精确到0.00005s 。

1-10 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？

解：因为最大误差为2V ，故该表的引用误差为

%.%522100

2

<= 所以该电压表示合格的。

1-11 为什么在使用微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的2/3范围内使用？ 答：对于一个确定的电表，其等级是一定的，此时

最大绝对误差：%s x x m m ?±=? 最大相对误差：%s x

x x

x r m

m

x ?±

==

? 由此可见，随着x （测量读数）增大，相对误差减小，超过2/3之后，最大相对误差在可接受范围内。

所以总是希望指针在全量程的2/3范围内使用。

1-12 用两种方法分别测量L 1＝50mm ，L 2＝80mm 。测得值各为50.004mm 、80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。

解：由于使用两种不同的方法，测量的是两个不同的长度，故只能用相对误差进行比较。

L 1：004050004501..=-=δmm ，

51

1

10850

004

0-?==

.L δ L 2：006050006802..=-=δmm ，

52

2

105780

006

0-?==

..L δ 即：

2

2

11L L δδ>，所以对L 2的测量精度较高。 1-13 多级弹道火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km ；在射击场中，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心。试评述哪一个射击精度高？ 解：多级弹道火箭：

%..001010000

1

0=

射手：

%..02050

01

0= 比较结果表明，多级弹道火箭的射击精度较高。

1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度L 1＝110mm ，其测量误差分别为±11μm 和±9μm ；而用第三种测量方法测量另一种零件的长度L 2＝150mm ，其测量误差为±12μm ，是比较三种测量方法精度的高低。

解：第一、二种方法测量的是同一个零件的长度，因此，可以直接用其绝对误差进行比较。根据题意，第二种测量方法精度高于第一种。

第三中采用了其它方法，测量的是另一零件的长度，因此，用相对误差进行比较 因为

0000801501200008201109.mm

m

.mm m =>=μμ。

所以，第三种方法的测量精度最高，第二种次之，第一种最低。

1-15 某量值y 由被测量x 表示为x x y 24-=，若x 的相对误差为1%时，求y 的相对误差是多少。 解：设x 的相对误差为f x ，则x ＝x 0（1+f x ）

()()

x x f x f x y +-+=12

1400

()()x x f x f x +-

+=12

140

()x f x x 212400+???? ?

?-=

所以，y 的相对误差为2f x ＝2%。

1-16 如何根据测量误差的特点来减小或消除测量误差？

答：（1）随机误差：由于具有抵偿性，可通过多次测量的算术平均值减小或消除测量误差。

（2）系统误差：A.找出系统误差产生的原因，从根源上消除；B 。找出系统误差的变化规律，在最后结果中加以修正。

（3）粗大误差：直接从测量数据中剔除掉。 1-17 什么是有效数字及数字舍入有哪些规则？

答：（1）有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。 （2）数字舍入规则：

A.若舍去部分的数值大于保留部分的末尾的半个单位，则末尾加1。

B.若舍去部分的数值小于保留部分的末尾的半个单位，则末尾不变。

C.若舍去部分的数值等于保留部分的末尾的半个单位，则末尾凑成偶数，即末尾为偶数时不变，末位为奇数时加1。

1-18 根据数据运算规则，分别计算下是结果： （1）3151.0＋65.8＋7.326＋0.416＋152.28＝？ （2）28.13×0.037×1.473＝？ 解：

（1）以65.8为基准，其余各数多取一位，则有

原式＝3151.0＋65.8＋7.33＋0.42＋152.28＝3376.83≈3376.8 （2）以28.13为基准，其余各数多取一位，则有 原式＝28.13×0.037×1.473＝1.041×1.473=1.5334≈1.53

1-19 在测量实践中有效数字的作用以及它与测量精度的关系如何？试举例说明之。

第2章 误差的基本性质与处理

2.1试述标准差σ、平均误差θ和或然误差ρ的几何意义？

答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数； 从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度；

2.2试述单次测量的标准差σ和算术平均值的标准差x σ,两者的物理意义及实际用途有何不同? 2.3 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在[σσ2,2+-

]中的概率？

2.4 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g ）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】】①选参考值00.2360=x ，计算差值00.2360-=-=?i i i x x x x 、0x ?和残差i v 等列于表中。

43.26343.000.26300=+=?+=x x x

43.08

1

8

10=?=?∑=i i

x

x

或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：)(43.236/1

g n l

x n

i i

==

∑=

②计算标准差：用贝塞尔公式计算:)(0599.01

80251.01

1

2

g n v n

i i ==

∑=

--=σ

2.5 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-4的标准差，并比较之。 【解】（1）用别捷尔斯法计算

)(0687.0253.1253

.17

841.0)

1(1

g n n v n

i i

=?

=∑=?-=σ

（2）用极差法计算

8个测量数据的极差为：17.034.23651.23643min max =-=-=-=x x x x n ω

查教材P20表2-4，n=8时85.2=n d

0596.085

.217

.0==

=n

n d ωσ(g)

（3） 最大误差法计算

8个测量数据的最大残差为：09.04max

==v v i

查教材P20表2-5，n=8时，'

/1n k ＝0.61

0549

.061.009.0'max =?==

n

i

k v σ

2.6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

【解】①选参考值x 0=168.5，计算差值5.168-=?i i x x 、0x ?和残差i v 等列于表中。

或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：488.1685

1

==

∑i

x

x （mA ）

②计算标准差：用贝塞尔公式计算：0823.04

02708.01

5

1

2

==

∑=

-=n v i i σ ( mA)

［若用别捷尔斯法计算：0930.0253.1253

.145332

.0)

1(5

1

==∑=?-=n n v i i

σ］ ［用极差法计算：n=5时dn=2.33，0815.033

.240.16859.168===

-n

n

d ωσ (mA) ］ 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据：