专题分析动态平衡

分析动态平衡问题

共点力平衡的几种解法

1. 力的合成、分解法：

2. 矢量三角形法：

3. 相似三角形法：通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似

4. 正弦定理法：

5. 三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。

6. 正交分解法：

7. 动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。

针对训练一： 【典型例题】

例2.重G 的均匀绳两端悬于水平天花板上的A 、B 两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角.求绳的A 端所受拉力F 1和绳中点C 处的张力F 2.

解：以AC 段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC 所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A 、C 、P 点），但它们必为共点力. 设它们延长线的交点为O ，用平行四边形定则 作图可得：12,2sin 2tan G G

F F αα== 例3.用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F 的推力把一个重量为

G 的木块压在粗糙竖直墙上

保持静止.求墙对木块的正压力大小N 和墙对木块的摩擦力大小f.

解：从分析木块受力知，重力为G ，竖直向下，推力F 与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F 的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦

力，其大小和方向由F 的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当F =时，f=0；

当F >

时，f G =-，方向竖直向下；

当F <

时，f G =，方向竖直向上. 例4.如图所示，将重力为G 的物体A 放在倾角θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，那么对A 施加一个多大的水平力F ，可使物体沿斜

面匀速上滑？

例5.如图所示，在水平面上放有一质量为m 、与地面的动动摩擦因数为μ的物体，现用力

F

F 拉物体，使其沿地面匀速运动，求F 的最小值及方向.

(min 2

1

F μ=

+，与水平方向的夹角为θ=arctan μ)

例6.有一个直角支架AOB ，AO 水平放置,表面粗糙, OB 竖直向下,表面光滑.AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）.现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力F N 和摩擦力f 的变化情况是

不变，f 变大 不变，f 变小 变大，f 变大 变大，f 变小

解：以两环和细绳整体为对象求F N ，可知竖直方向上始终二力平衡，F N =2mg 不变；以Q 环为对象，在重力、细绳拉力F 和OB 压力N 作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P 环向左移的过程中α将减小，N=mgtan α也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB 对Q 的压力N 和OA 对P 环的摩擦力f 作用，因此f=N 也减小.答案选B.

分析方法

1.动态平衡问题：通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，从宏观上看，物体是运动变化的，但从微观上理解是平衡的，即任一时刻物体均处于平衡状态。

2.图解法：对研究对象进行受力分析，再根据三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。

3.图解法分析动态平衡问题，往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，但大小发生变化，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化。

解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键

4.典型例题：

例1：半圆形支架BCD 上悬着两细绳OA 和OB ，结于圆心O ，下悬重为G 的物体，使OA 绳固定不动，将OB 绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，如图所示，分析OA 绳和OB 绳所受力的大小如何变化？

例2：如图所示，把球夹在竖直墙AC 和木板BC 之间，不计摩擦，球对墙的压力为F N １，球对板的压力为F N 2．在将板BC 逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（ ） A ．F N １和F N 2都增大 B ．F N １和F N 2都减小

mg

N

αO

B

P

Q

C ．F N １增大，F N 2减小

D ．F N １减小，F N 2增大

思考：1如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA 使连结点A 向上移动而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时（ ） A ．绳OA 的拉力逐渐增大； B ．绳OA 的拉力逐渐减小； C ．绳OA 的拉力先增大后减小； D ．绳OA 的拉力先减小后增大。

例3：如图所示，一个重为G 的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

思考：2.如图所示，细绳一端与光滑小球连接，另一端系在竖直墙壁上的A 点，当缩短细绳小球缓慢上移的过程中，细绳对小球的拉力、墙壁对小球的弹力如何变化？

思考：3重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？

4.相似三角形法分析动态平衡问题：

（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例4：如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高为 h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化 ？

F 1

F 2

G

5.平衡方程式法：平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有一个恒力，通过它能

够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。

例5：人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）绳的拉力不断增大 （B ）绳的拉力保持不变

（C ）船受到的浮力保持不变 （D ）船受到的浮力不断减小

课后练习

1. 如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换绳OA ，使连接点A

向上移，但保持O 点位置不变，则A 点向上移时，绳OA 的拉力

A ．逐渐增大

B ．逐渐减小

C ．先增大后减小

D ．先减小后增大

2. 如图所示，质量不计的定滑轮用轻绳悬挂在B 点，另一条轻绳一端系重物C ，绕过滑轮后，另一端固定在墙上A 点，若改变B 点位置使滑轮位置发生移动，但使A 段绳子始终保持水平，则可以判断悬点B 所受拉力F T 的大小变化情况是：

A ．若

B 向左移，F T 将增大 B ．若B 向右移，F T 将增大

C ．无论B 向左、向右移，F T 都保持不变

D ．无论B 向左、向右移，F T 都减小 3.轻绳一端系在质量为m 的物体A 上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN 的圆环上。现用水平力F 拉住绳子上一点O ，使物体A 从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力F 1和环对杆的压力F 2的变化情况是

A ．F 1保持不变，F 2逐渐增大

B ．F 1逐渐增大，F 2保持不变

C ．F 1逐渐减小，F 2保持不变

D ．F 1保持不变，F 2逐渐减小

、B 为带有等量同种电荷的金属小球，现用等长的绝缘细线把二球悬吊于绝缘墙面上的O 点，稳定后B 球摆起，A 球压紧墙面，如图所示。现把二球的带电量加倍，则下列关于OB 绳中拉力及二绳间夹角的变化的说法中正确的是： A.二绳间的夹角增大，OB 绳中拉力增大

B.二绳间的夹角增大，OB 绳中拉力减小

B

O A

B O

C.二绳间的夹角增大，OB 绳中拉力不变

D.二绳间的夹角不变，OB 绳中拉力不变

5.如图所示，绳子的两端分别固定在天花板上的A 、B 两点，开始在绳的中点O 挂一重物G ，绳子OA 、OB 的拉力分别为F 1、F 2。若把重物右移到O '点悬挂（B O A O '<'），绳A O '和B O '中的拉力分别为'

1F 和'2F ，则力的大小关系正确的是：

A.'>11F F ，'>22F F

B. '<11F F ,'

<22F F

C. '>11F F ，'<22F F

D. '<11F F ，'

>22F F 6.如图所示，将一根不可伸长的柔软轻绳的两端系在两根立于水平地面上的竖直杆M 、N 等高的两点a 、b 上，用一个动滑轮悬挂一个重物G 后挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子的拉力为T 1，现将绳子b 端慢慢向下移动一段距离，待系统再次达到平衡时，两绳子的拉力为T 2，则 ＞T 1 ＝1 C ＜T 1

D.由于b 点下降高度未知，T 1和T 2的关系不能确定

7. 如图所示，硬杆BC 一端固定在墙上的B 点，另一端装有滑轮C ，重物D 用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A 点。若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A 点稍向下移，则在移动过程中 （A ）绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大 （B ）绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大 （C ）绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大 （D ）绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变

8.重力为G 的重物D 处于静止状态。如图所示，AC 和BC 两段绳子与竖直方向的夹角分别为α和β。α＋β＜90°。现保持α角不变，改变β角，使β角缓慢增大到90°，在β角增大过程中，AC 的张力T 1，BC 的张力T 2的变化情况为 ： A ．T 1逐渐增大，T 2也逐渐增大 B ．T 1逐渐增大，T 2逐渐减小 C ．T 1逐渐增大，T 2先增大后减小 D ．T 1逐渐增大，T 2先减小后增大

9.如图所示，均匀小球放在光滑竖直墙和光滑斜木板之间，木板上端用水平细绳固定，下端可以绕O 点转动，在放长细绳使板转至水平的过程中(包括水平)： A ．小球对板的压力逐渐增大且恒小于球的重力 B ．小球对板的压力逐渐减小且恒大于球的重力 C ．小球对墙的压力逐渐增大 D ．小球对墙的压力逐渐减小 10．（全国）有一个直角支架AOB ，AO 是水平放置，表面

A B

O O '

A C B

粗糙．OB 竖直向下，表面光滑．OA 上套有小环P ，OB 套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可以忽略．不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO 杆对P 的支持力F N 和细绳上的拉力F 的变化情况是：

A ．F N 不变，F 变大

B ．F N 不变，F 变小

C ．F N 变大，F 变大

D ．F N 变大，F 变小

11．如图所示，小船用绳牵引．设水平阻力不变，在小船匀速靠岸的过程中

A 、绳子的拉力不断增大

B 、绳子的拉力保持不变

C 、船受的浮力减小

D 、船受的浮力不变

12. 一根水平粗糙的直横杆上，套有两个质量均为m 的小铁环，两铁环上系着两条等长的细线，共同栓住一个质量为M 的球，两铁环和球均处于静止状态，如图，现使两铁环间距稍许增大后系统仍处于静止状态，则水平横杆对铁环的支持力N 和摩擦力f 的变化是

（A ）N 不变，f 不变 （B ）N 不变，f 变大

（C ）N 变大，f 变大 （D ）N 变大，f 不变

13. 如图所示，OA 为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在

天花板上的O 点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A 相连．当绳处于竖直位置时，滑块A 与地面有压力作用。B 为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO 等于弹性绳的自然长度。现用水平力F 作用于A ，使之向右作直线运动，在运动过程中，作用A 的摩擦力：

A ．逐渐增大

B ．逐渐减小

C ．保持不变

D ．条件不足，无法判断 14.如图所示，当人向左跨了一步后人与物体保持静止，跨后与垮前相比较，下列说法错误的是:

A ．地面对人的摩擦力减小

B ．地面对人的摩擦力增加

C ．人对地面压力增大

D ．绳对人的拉力变小 15.如图所示，两个质量都是m 的小球A 、B 用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态。已知竖直墙面光滑，水平地面粗糙，现将A 向上移动一小段距离，两球再次平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B 球的支持力N 和轻杆上的压力F 的变化

情况是：

不变，F 变大 不变，F 变小 变大，F 变大 变大，F 变小

16．一个质量为m=2.0kg 的物体，放在倾角为θ=300的斜面上静止不动。若用竖直向上的力F=提物体，物体仍静止（g=10m/s 2）,则下述结论正确的是 A ．物体受到的合外力减少 B.物体受到的摩擦力减少 C ．斜面受到的压力减少 D.物体对斜面的作用力减少

F A B

17．如图所示，两个物体A、B的质量均为1kg，各接触面间的动摩擦因数为，同时有F=1N的两个水平力分别作用于物体A和物体B上，则地面对物体B、物体B对物体A的摩擦力分别为A．6N，3N ，1N ，1N D 0，2N

18．如图，轻杆A端用光滑水平铰链装在竖直墙面上，B

端用水平绳结在墙C处并吊一重物P，在水平向右力F缓

缓拉起重物P有过程中，杆AB所受压力（）

A．变大 B.变小 C.先变小再变大 D.不变

警示易错试题

警示1：:注意“死节”和“活节”问题。

1、如图33所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在

地面上相距为4m的两杆的顶端A、B ，绳上挂一个光

滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，

问：

①绳中的张力T为多少?

②A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹

角，绳中张力如何变化?

2、如图34所示，AO、BO和CO三根绳子能承受的最

大拉力相等，O为结点，OB与竖直方向夹角为θ，

悬挂物质量为m。

求○1OA、OB、OC三根绳子拉力的大小。

②A点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变

化？

警示2：注意“死杆”和“活杆”问题。

3、如图37所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂

在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，求细绳OA

中张力T大小和轻杆OB受力N大小。

30o A B

C

m

图38

4、如图38所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另

A

B

F

C B

F

P

A

O

B

A

C

图34

图37

A

θ

B

O

C

mg

A

图33

B

α

α

一端装有小滑轮B ，一轻绳一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg 的重物，

∠=?CBA 30，则滑轮受到绳子作用力为： A. 50N B. 503N C. 100N D. 1003N

警示3：含弹簧平衡类

5．一半径为R 的光滑圆环固定在竖直平面内,环上套两个中央有孔的小球A 和B,A ．B 间由质量不计的原长为R 的细弹簧连接着,它们处于如图中的位置时恰好都能保持静止状态,此时B 球与环中心O 处于同一水平面上,AB 与水平线成30°夹角.已知B 球的质量为m,求A 球的质量和弹簧的劲度系数.

警示4：临界问题

6．物体A 质量为m=2kg,用两根轻绳B ．C 连接到竖直墙上,在物体A 上加一恒力F,若图中力F 、轻绳AB 与水平线夹角均为θ=60°,要使两绳都能绷直,求恒力F 的大小.

警示5：三力汇交

7、如图所示，一根重8牛顿的均质直棒AB ，其A 端用悬线悬挂在O 点，现用F = 6

牛顿的水平恒力作用于B 端，当达到静止平衡后，试求：（1）悬绳与竖直方向的夹角α； （2）直棒与水平方向的夹角β。

课后练习

1．如图,质量为M 的楔形物A 静置在水平地面上,其

斜面的倾角为θ.斜面上有一质量为m 的小物块B ,B 与斜面之间存在摩擦.用恒力F 沿斜面向上拉B ,使之匀速上滑.在B 运动的过程中,楔形物块A 始终保持静止.关于相互间作用力哪项是正确的 （ ） A ．B 给A 的作用力大小为F mg -

图1

F

O A B

α

β

B ．B 给A 摩擦力大小为 F

C ．地面受到的摩擦力大小为θcos F

D ．地面受到的压力大小为θθsin cos F mg Mg -+

2．在“验证力的平行四边形法则”实验中,如图所示,用AB 两弹簧秤拉橡皮条结点

O,使其位于E 处,此时(α+ β) = 900

,然后保持A 的读数不变,当α角由图中所示的值逐渐减小时,要使结点仍在E 处,可采取的办法是 （ ） A ．增大B 的读数,减小β角 B ．减小B 的读数,减小β角 C ．减小B 的读数,增大β角 D ．增大B 的读数,增大β角

3．如图所示的装置,用两根细绳拉住一个小球,两细绳间的夹角为θ,细绳AC 呈水平状态.现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动,共转过90°.在转动的过程中,CA 绳中的拉力F 1和CB 绳中的拉力F 2的大小发生变化,即 A ．F 1先变小后变大 B ．F 1先变大后变小 C ．F 2逐渐减小 D ．F 2最后减小到零

4 ．如题14图所示,两个完全相同的光滑球的质量为m ,放在竖直挡板和倾角为α的固定斜面间.若缓慢转动挡板至斜面垂直,则在此过程中 （ ）

A ．A ．

B 两球间的弹力不变 B ．B 球对挡板的压力逐渐增大

C ．B 球对斜面的压力逐渐增大

D ．A 球对斜面的压力逐渐增大

针对训练一：

1.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别细有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m 1

的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=600

.两小球的质量比为（ ）

A.33

B.32

C.23

D.2

2

2.如图所示，人重600N ，木板重400N ，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为，现在

F 第11A B θ

A C

B O m 1

m 2

人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（）

A.人拉绳的力是200N

B.人拉绳的力是100N

C.人的脚给木块摩擦力向右

D.人的脚给木块摩擦力向左

3.如图所示，两个完全相同的小球，重力大小为G，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ，一根轻绳的两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖

直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳的夹角为θ，求当F至少

为多大时，两球将会发生相对滑动？

4.如图所示，两个固定的光滑硬杆OA与OB，夹角为θ，各

套一轻环C、D，且C、D用细绳相连，现在用一水平恒力F沿OB方

向拉环D，当两环平衡时，绳子的拉力是多大?

5.如图所示,均匀杆AB重为G,A端用细绳吊在O点,在B端加一水平力F,使AB静止,此时杆与水平方向夹角为α,细绳与竖直方向成θ角,则（）

A.拉力F一定大于G

B.绳子拉力T一定大于G

杆与水平夹角α必小于θ

足够大时细绳可在水平方向上

6. 现用两根绳子AO和BO悬挂一质量为10N的小球，AO绳的A点固定在竖直放置的圆环的环上，O点为圆环的圆心，AO绳与竖直方向的夹角为?

37（如下左图），BO绳的B点可在环上滑动，已知每根绳子所能承受的最大拉力均为12N，则在B点沿环顺时针缓慢滑到N的过程中（）

A．物体所受合力增大

B．物体所受合力不变

C．物体对斜面的压力增大

D．斜面对物体的摩擦力增大

解析：物体在水平推力作用下静止于斜面上，物体受到合力为零，当增大F时，物体仍保持静止，则物体受到的合力仍为零，故选项A错误，选项B正确；对物体受到的外力进行正交分解，如图，则有F N＝mg cosα＋F sinα，当F增大时F N增大，故选项C正确；由于不能确定F cosα与mg sinα的大小关系，所以不能确定摩擦力的方向，随F的增大，摩擦力可能增大，可能减小，选项D错误．

答案：BC

8. (2013～2014学年杨大附中高一上学期期中考试)如图所示，将一球用网兜挂在光滑的墙壁上，设绳对球的拉力为F1，墙壁对球的支持力为F2，当球的半径增大时(设细绳长度不变)( )

A．F1、F2均不变

B．F1、F2均减小

C．F1、F2均增大

D．F1减小，F2增大

解析：以球为研究对象，球受到重力mg，绳对球的拉力F1，墙对球的支持力F2，如图所示，将重力分解为F1′、F2′

当球的半径增大时，F1′与竖直墙之间的夹角α增大，则可知F1′、F2′都增大，故F1、

F 2均增大，选项C 正确．

答案：C

9. 所图所示，光滑斜面上安装一光滑挡板AO ，挡板可绕O 处铰链无摩擦转动，在挡板与斜面间放一匀质球，现使挡板从图示位置缓慢转至竖直位置，则此过程中球对挡板的压力1N 的变化情况可能是（ ）。

A. 逐渐减小

B. 逐渐增大

C. 先减小后增大

D. 先增大后减小

10. 如图(甲)，为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O 、a 、b 、c 、d ……等为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m 的运动员从高处落下，并恰好落在O 点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe ，bOg 均成120°向上的张角，如图(乙)所示，此时O 点受到的向下的冲击力大小为F ，则这时网绳dOe 中的张力大小为( )

A ．F C ．F ＋mg

解析：O 点受到向下的冲击力为F ，意思是O 点受到人给的向下的合力为F ，已包括mg 的因素，因此C 、D 错误，冲击dOe 的力为F 2，将F 2分解如图所示，由几何知识可知dOe 中张力为F

2，

正确答案为B.

答案：B

11 一质量为m 的物体放在倾角为θ的斜面上，如果物体能沿斜面匀速下滑，则物体与斜面间的动摩擦因数为 ；如果在此物体上作用一个水平力使物体静止在斜面上，水平力大小

tan mg θ，这时物体与斜面间的摩擦力为 。

θ

11. 如图所示，质量为kg m 4.01=的物体A 与质量为kg m 22=的物体B 叠放在倾角为?30的斜面上，物体B 在平行于斜面向上的拉力F 作用下匀速运动，已知A 、B 总保持相对静止，若A 、B 间的动摩擦因数均为34.0，B 与斜面间的动摩擦因数为4/3，求：

（1）则A 、B 间的摩擦力为多少？ （2）拉力F 为多少？

参考答案：

3.

2

tan

2G

F

μ

θ

μ

=

+

4. sin

Fθ 11.tanθ0