高中数学专题——函数导数专题

专题六函数导数专题

【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位．在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法．解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一．【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．

【例题解析】

题型1 函数的概念及其表示

例1 （2008高考山东文5）设函数

2

2

11

()

21

x x

f x

x x x

?-

?

=?

+->

??

，，

，，

≤

则

1

(2)

f

f

??

?

??

的值为（

）

A．

15

16

B．

27

16

-C．

8

9

D．18

分析：由内向外逐步计算．

解析：()()

11

24,

24

f

f

==，故

()

2

11115

1

24416

f f

f

??????

==-=

? ? ?

?????

??

．答案A．

点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．

例2（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题）如图，函数()

f x的图象是曲线OAB，其中点,,

O A B的坐标分别为()

0,0,(1,2),(3,1)，则

()

1

3

f

f

??

?

?

??

的值等于．

分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系．

解析：对于(3)1,

f=(1)2

f=．

点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质．

题型2 函数的图象与性质

例3（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题）已知m 为非零实数，若函数

ln(

1)1

m

y x =--的图象关于原点中心对称，则m = ． 分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x 都有

()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m 的值，特别地()()()0000f f f -=-?=也可以解决问题．

解析： 对于函数ln(1)1

m

y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =，因此有

ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-．答案2-．

点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．

例4 （绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题）设0.2

1

312

1log 3,,23a b c ??

=== ???，则（ ）

A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b a c << 分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．

解析：对于0.21312

1log 30,1,213a b o c ??

=<>=>=> ???，因此a b c <<．答案A ．

点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个

函数一般就是找分界线．

题型3 函数与方程

例5．（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第3题）函数()23

123

x x f x x =++

+的零点的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决． 解析：对于()2

2

13

1()024

f x x x x '=++=++

>，因此函数()f x 在R 上单调递增，而对于523

(2)0,(2)033

f f -=-<=>，因此其零点的个数为1个．答案B ．

点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函

数的零点定理，探究问题的答案．

例6．（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第题）函数()2

21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的

零点，则实数m 的取值范围是 A ．(],1-∞ B ．(]

{},01-∞ C ．()(],00,1-∞ D ．(),1-∞

分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．

解析：当0m =时，1

2

x =

为函数的零点；当0m ≠是，若0?=，即1m =时，1x =是函数唯一的零点，若0?≠，显然函数0x =不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程

()2210f x mx x =-+=有一个正根一个负根，即()00mf <，即0m <．综合知答案B ．

点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的1x =就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题． 题型4 简单的函数模型及其应用

例7．（苏州市2009届高三教学调研测试第18题）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足()802g t t =-（件），价

格近似满足1

()20|10|2

f t t =--（元）．

（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （020t ≤≤）的函数表达式； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．

分析：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可．

解析：（1）1

()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =?=-?--=---

＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-

≤≤≤

（2）当010t ≤<时，y 的取值范围是[]1200,1225，在5t =时，y 取得最大值为1225； 当1020t ≤≤1时，y 的取值范围是[]600,1200， 在20t =时，y 取得最小值为600．

答案：总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． 点评：分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过“零点分区”的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数．

题型5 导数的意义、运算以及简单应用 例8．（2008高考江苏8）直线b x y +=2

1

是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b = ． 分析：切线的斜率是1

2

，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b 的值． 解析： 方法一'

1y x =

，令'

12

y =得2x =，即切点的横坐标是2，则纵坐标是ln 2，切线过点()2,ln 2，所以ln 21b =-．

方法二：设曲线上一点点坐标是()00,ln x x ，由'

1

y x

=

知道过该点的曲线的切线的斜率是01x ，故过该点

的曲线的切线方程是()0001ln y x x x x -=

-，

即001ln 1y x x =+-，根据已知这条直线和直线b x y +=2

1

重合，故002,ln 1ln 21x b x ==-=-．

．

答案：ln21

点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒．

例9．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第2题）已知物体 的运动方程为

t t s 3

2+=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为

A ．419

B ．417

C ．415

D ．4

13

分析：对运动方程求导就是速度非常． 解析：2

3

'2s t t =-

，将2t =代入即得．答案D ． 点评：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点．

例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第14题）若函数()3

213

f x x a x =

-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的 取值范围是 ．

分析：问题等价于函数()f x 在区间[]0,1的最大值与最小值的差不大于1，可以通过求函数()f x 在[]0,1上的最值解决．

解析：问题等价于函数在[]0,1的()()max min 1f x f x -≤．()2

2

'f x x a =-，函数()3

213

f x x a x =

-的极小值点是x a =，若1a >，则函数()f x 在[]0,1上单调递减，故只要()()011f f -≤，即只要2

43

a ≤，

即13a <≤

；若1a ≤，此时()()32

2min 1233

f x f a a a a a a ==-=-，由于

()()2100,13f f a ==-，故当3a ≤时，()()max 1f x f =，此时只要22

12133a a a -+≤即可，即

222

133

a a ??-≤????，由于a ≤，故2211033a -≤-<1a <≤时，此时()()

max 0f x f =，故只要2213a a ≤即可，此显然．故43a ≤，即a 的取值范围是???． 点评：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性

质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数! 题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用

例11（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数()ln a f x x x

=-， （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；

（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为

3

2

，求a 的值； （3）若2

()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．

分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间[1,]e 上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．

解析：（1）由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x

+'=

+=． 0,()0a f x '>∴>，故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数．

（2）由（1）可知：2

()x a

f x x +'=

① 若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为增函数，

min 33

[()](1),22

f x f a a ∴==-=∴=-（舍去）．

② 若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为减函数，

min 3[()]()122

a e

f x f e a e ∴==-

=?=-（舍去）． ③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，

当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，

min 3

[()]()ln()12

f x f a a a ∴=-=-+=

?=

综上可知：a =

（3）

22(),ln a

f x x x x x

<∴-

<． 又3

0,ln x a x x x >∴>-

令2

3

2

116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x

-''=-==+-=-=，

()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<， ()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．

令1a ≥-得()a g x >，∴当2

()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．

点评：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式，

这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式．求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要

思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准．本题第三问实际上是对函数

()g x 两次求导，也要注意这个方法．

例12．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第22题）已知函数)0()(>+

=t x

t

x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为),(11y x M 、),(22y x N ． （1）求证：21,x x 为关于x 的方程022=-+t tx x 的两根； （2）设)(t g MN =，求函数)(t g 的表达式；

（3）在（2）的条件下，若在区间]16, 2[内总存在1+m 个实数121,,

,m a a a +（可以相同），使得不等式

)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．

分析：（1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点P 点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数t 的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t 为系数的一个方程的两个解；（2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案． 解析：（1）由题意可知：112212

,t t y x y x x x =+

=+， ∵ 21)(x t

x f -

='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(121

11x x x t x t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(0121

11x x t

x t x --=+

-， 即0212

1=-+t tx x ， ①

同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222

2=-+t tx x ．② 由①、②，可得21,x x 是方程022=-+t tx x （ * ）的两根．

（2）由（ * ）知． ???-=?-=+. ,

22121t x x t x x

22

211221)()(x t

x x t x x x MN --+

+-= ])1(1][4)[(2

2

121221x x t x x x x -

+-+=t t 20202+=， ∴ )0( 2020)(2>+=

t t t t g ．

（3）易知)(t g 在区间]16,2[上为增函数，