正比例函数图象及性质
《正比例函数图像及性质》教案
八年级数学下册
一、教学目标
1. 知识技能：学习正比例函数及其图象画法、性质和应用。
2. 过程与方法：培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、利用正比例函数及其图象解决实际问题能力。
3. 情感态度：认识数学知识与实际生活相联，体验学习有价值的数学过程。二?教学重点：正比例函数及其图象性质
难点：正比例函数的增减性
三.教学准备
课件、笔记本电脑、三角板、计算器
四.教学过程
（一）复习引入
什么是自变量？什么是函数？（提问）
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是变量，y是x的函数.
（二）共同思考，探索新知
1、下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么
共同点?
（1）圆的周长I随半径r的大小变化而变化？（L=2 r ）
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3的大小变化而变化；（m=7 8V）
（3）每个练习本的厚度为0. 5cm。一些练习本摞在一些的总厚度h （cn）随这些练习本的本数n的变化而变化。（h=0. 5n）
（4）冷冻一个0C的物体，使它每分钟下降2C.物体的温度T （C）随冷冻时间t （分）的变化而变化。（T=-2t ）
2、发现新知：
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样。一般地，形如y=kx （k
是常数，"0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
3、随堂练习
1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例
函数的比例系数是多少？
x 2 鼻
2x -1
（1）y = -0.1 x（2）y = 2- （3）y =
（4）y 4 x
4、讲解例题
例：已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7，求y与x之间的函数解析式.
（三）探究正比例函数图象
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么
特征呢?
探索正比例函数的变化规律。
（1）y i = 2 x ，
i
y 2 = ■—x
3
<2）y t = -1.5x= 一4兀
教师活动：引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表
学生活动：利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引
导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对
规律的理解与认识。
1、活动一］活动内容设计: 画出下列正比例函数的图象,
2、总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律
［生］正比例函数y=kx（k是常数，k工0）的图象是一条经过原点的直线。当k>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。
3、练习“做一做”
已知（X i, yj、（X2、y）是直线y二-3x上的两点，若x i>X2，贝S y1, y2的大小关系是（）.
A.y i V y2
B.y i > y2
C.y i=y2
D.不能比较
4、［活动二］活动内容设计：经过原点与点（1, k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：1、y=1.5 x 2、
y=-3x
教师活动：引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，
寻求转化的方法。从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法。
学生活动：在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进- 步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由。
活动过程及结论：画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）。因为两点可以确定一条直线。
五、小结
1、什么是正比例函数？其解析式是什么？
2、正比例函数的图象是什么？它有什么特征？
3、如何简便地画出正比例函数的图象？
4、本节课的学习经历了怎样的过程？你有何感悟？六、布置作业
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
第1课时--正比例函数的图象和性质-练习题(含答案)
第1课时正比例函数的图象和性质一．选择题（共10小题） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A．y=﹣2x2B． y=C． y= D．y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2 B．﹣2 C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B． 三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C． y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米 6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A．3B．﹣3 C．±3 D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A．k=2 B．k≠2 C．k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A．1B．2C．3D．4 8题图 9题图 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（） A．k 1 ＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（） A．B．C．D． 二．填空题（共9小题） 11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ． 12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ．
函数图像及性质
1．某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地．已知一辆A 种货车的运费需0.5万元，一辆B 种货车的运费需0.8万元． （1）设A 种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y 万元，试写出y 与x 的关系表达式； （2）若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A ，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】（1）y 0.3x 40=-+（2）共有三种方案，见解析（3）A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元 【解析】解：（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50＋x ）辆。 根据题意，得 y 0.5x 0.8(50x)=+-，即 y 0.3x 40=-+。 （2）根据题意，得 9x 6(50x)360 3x 8(50x)290 +-≥??+-≥?，解这个不等式组，得20x 22≤≤。 ∵x 是整数，∴x （3）由（1∵k=－0.3＜0，∴一次函数y 0.3x 40=-+的函数值随x 的增大而减小。 ∴x 22=时，y 有最小值，为y 0.3224033.4=-?+=（万元）。 ∴选择方案三：A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。 （1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50－x ）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x 的不等式组，再根据x 是整数，即可求得x 的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解。 2．.某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作 设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。 （1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z, （2）求y 与x 之间的函数关系式。 （3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】（1）z=360－x －y （2）y=360－3x （3）每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元 【解析】解：（1）从件数方面：z=360－x －y ， 从工时数方面：由 21x+31y+41z=120整理得：z=480－2x －4 3 y 。
余弦函数图像和性质练习含答案
课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数f (x )＝cos(2x －π 6)的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 解析：本题考查三角函数的周期． T ＝ 2π 2 ＝π. 余弦型三角函数的周期计算公式为2π ω (ω>0)． 答案：B 2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π 3个 单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9 解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π 3)＝ cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π 3 ω＝2k π， ∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时， ω有最小值6，故选C.
3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π 2 的函数，若f (x )＝ ????? cos x ? ?? ?? －π2≤x ≤0，sin x 0 14.2.2 正比例函数图象及性质 罗江中学初中数学组:张恩东 【教材分析】 正比例函数图像及性质位于第十四章第二节，是学好正比例函数解析式的后续内容，这一节内容是函数与直角坐标平面第一次完美的结合，在这节课中如果学生能够很好的感悟和内化数形结合的思想，将为研究更为复杂的反比例函数图像、二次函数图像奠定坚实的基础，本节内容在初中数学里起着承上启下的重要作用。在感悟数形结合思想同时也适合对学生分析、对比、归纳等能力的培养。 一、教学目标 1、知识与技能: 认识正比例函数图像是一条直线，学会画正比例函数图像 2、过程与方法: 通过计算机辅助教学使学生在观察、探究中自主发现正比例 函数的性质,并认识k 的符号对函数图象的影响. 3、情感态度与价值观: 通过性质的探索、研究、发现，使学生感受、领悟数 形结合思想，同时培养学生的观察、分析、归纳的逻辑思维 能力。 二、教学重点: 正比例函数图像的画法及其性质的发现。 三、教学难点: 正比例函数图像的画法及其性质的发现。 四、教学过程 知识复习: 上一节课我们学习了正比例函数,那么正比例函数一般解析式是什么呢? y=kx （k 是常数，k ≠0）其中k 叫做比例系数．称y 与x 成正比例 怎样判断一个函数是正比例函数呢? 正比例函数的图象是什么呢?这节课我们一起来探索正比例函数图象及性质 现在请同学们在同一直角坐标系中画出下列正比例函数的图象 (1)x y 2= (2)x y 2-= 提问:要画出这两个函数图象应采用什么方法呢?这种方法有哪些步骤? 自变量的取值有没有要求呢？ 观察、 比较两个函数的相同点与不同点． 两图象都是经过原点的___________．函数y=2x 的图象从左向右____________，经过第________象限；函数y=－2x 的图象从左向右_________，经过第_________象限． 为什么函数图象不同?请大家观察这两个函数的解析式同不同?不同在哪个地方? 说明k 的值对函数图象有影响吗? 请大家在刚才直角坐标系中画下列两个正比例函数的图象 (1)x y 21= (2) x y 2 1-= k 的值对函数图象有影响吗?(没有) k 的符号对函数图象有影响,有怎样的影响呢? 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 §11.2 反比函数的图像与性质（1） 教学目标： 1.类比画一次函数图象的方法，用描点法画出反比例函数的图象； 2.利用反比例函数的图象得到其基本特征，认识表达式、列表、图象是相互印证、和谐统一的； 3.在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想. 一、学习导入 复习提问 （1）大家以前还学过哪些函数？研究这些函数时，我们是从哪几个方面入手的？ （2）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？ （3）回顾用描点法画出一次函数图象的步骤：列表、描点、连线 设计意图：结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫． 二、探究新知 【探究一】 利用手中的网格纸，画出反比例函数x y 6 的图象． 师生活动：（1）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，教师巡视，收集并展示学生画出的典型图象． （2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。教师适时提问：选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图象延伸的趋势是怎样的？为什么？教师引导学生思考和回答。 （3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。 设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识。列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x ≠0）。同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；连线时按照自变量从 3/ 2016 -2017学年度第二学期初二数学单元测试 （时间70分钟，满分100 分） (共 2 页) 2017.5 1 2 3 4 5 6 7 8 、选择题（本题共36分，每小题4分，将答案填在表格中） 1如果点M 在直线y =X-1上，贝y M 点的坐标可以是（ ) 8 .如图，菱形 ABCD 中，AB = 2，/ B = 120 °点 M 是AD 的中点, 点P 由点A 出发，沿A T B T D 作匀速运动，到达点 D 停止， 则厶APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图 象大致是（ O 1 2 3 1 O O A ? (1, 0) B ? ( 0, 1) C - (— 1, 0) D ? (1,— 1) ?如果函数y =（m -1）x |m| 是正比例函数，那么（ ) 二、填空题（本题共 24分，每小题4分） A . m = 1 或 m = -1 B . m = 1 .一次函数y= — 3x+2的图象不经过（ A .第一象限 B .第二象限 5.若一次函数y = x +4的图象上有两点 B . 5 - y2 .关于直线y= -2x - 4的描述正确的是（ A ?可以看成是直线 B ?可以看成是直线 m = -1 D . m = 0 C ?可以看成是直线 D ?可以看成是直线 ) C .第三象限 1 A(- , yj 、B (1, 2 y= -2x 沿x 轴向左平移 y= -2x 沿x 轴向右平移 y= -2x 沿y 轴向上平移 y= -2x 沿y 轴向下平移 D .第四象限 y 2）,则下列说法正确的是 （ ） C . % y 2 4个单位得到 4个单位得到 4个单位得到 4个单位得到 乃-忌+/> .一次函数y 1 =kx b 与y^ x a 的图象如图，则下列结论① k ：： 0 ；② a 0 ；③当 x 3 寸，Wh 中，正确的个数是（ B . 1 9.函数y=" x 中，自变量x 的取值范围是 3 10.写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点 （ 可以是 0,5), 则这个一次函数 11.平行四边形的周长为 240，两邻边为x 、y ,则它们的函数解析式为 y= 其中自变量 x 的取值范围是 __________________ 12.已知函数 y = ax + b 和y = kx 的图象交于点 P ,则根据图象可得，二元一次方程组 13.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：① 从小到大排列并用“v”连接为 __________________ b , c 14.右表是一次函数 比=kx ? d, y 2二kx ? 6的部分自变 量x 与函数的对应值，则 m 的值为 _______ . x -2 0 1 y 1 3 y 2 2 m 一次函数 二次函数 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 12.2 一次函数的图象 1 正比例函数的图象和性质 要点感知1画函数图象的步骤：(1)__________；(2)__________：建立直角坐标系，以__________为横坐标，__________为纵坐标，确定点的坐标；(3)__________. 预习练习1-1下面所给点的坐标满足y=-2x的是( ) A.(2，-1) B.(-1，2) C.(1，2) D.(2，1) 要点感知2 正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条__________，因此画正比例函数图象时，只要描出图象上的__________，然后过两点作一条直线即可，这条直线叫作“直线__________”. 预习练习2-1 如图，某正比例函数的图象过点M(-2，1)，则此正比例函数表达式为( ) A.y=-1 2 x B.y= 1 2 x C.y=-2x D.y=2x 要点感知3 正比例函数图象的性质：直线y=kx(k≠0)是一条经过________的直线.当k>0时,直线y=kx经过第_______象限，从左到右，y随x的增大而________；当k<0时，直线y=kx经过第_____象限，从左到右，y随x的增大而________. 知识点1 画正比例函数的图象 1.正比例函数y=3x的大致图像是( ) 2.已知正比例函数y=x，请在平面直角坐标系中画出这个函数的图象. 知识点2 正比例函数的图象与性质 3.已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大，则函数的图象经过( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 4.对于函数y=-k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是( ) A.其函数图象是一条直线 B.其函数图象过点(1 k ，-k) C.其函数图象经过一、三象限 D.y随着x增大而减小 5.正比例函数y=-x的图象平分( ) A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 6.函数y=-5x的图象在第__________象限，y随x的增大而__________. 知识点3 实际问题中的正比例函数 第六章反比例函数 2.反比例函数的图象与性质（二） 一、学生知识状况分析 函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫． 二、教学任务分析 《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对0 k<时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的k>和0 基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质 理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下： 知识与技能目标： 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质． 提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．过程和方法目标： 让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验． 逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想． 情感、态度和价值观目标： 经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力. 在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点： 重点：探索反比例函数的主要性质. 难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节： 第一环节：要点回顾铺平道路；第二环节：设问质疑探究尝试；第三环节：实际运用巩固新知；第四环节：激趣质疑再探新知；第五环节：活学活用巩固提高；第六环节：总结串联纳入系统；第七环节：分层达标课后延伸. 第一环节：要点回顾铺平道路 内容： 1. 下列函数中，哪些是反比例函数？ 教学策略： 让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数 例函数定义以及图象的再认知． 设计意图： 反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力． 反比例函数的图象与性质练习题 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x 成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 . 2、如果反比例函数x k y =的图象过点（2，-3），那么k = . 3、已知y 与x 成反比例，并且当x=2时，y=-1，则当y=3时，x 的值是 . 4、已知y 与（2x+1）成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=0，y 的值是 . 5、若点A （6，y 1）和B （5，y 2）在反比例函数x y 4- =的图象上，则y 1与y 2的大小关系是 . 6、已知函数x y 3=，当x ＜0时，函数图象在第 象限，y 随x 的增大而 . 7、若函数12)1(---=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是 . 8、直线y=-5x+b 与双曲线x y 2-=相交于 点P （-2，m ），则b= . 9、如图1，点A 在反比例函数图象上， 过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B ， 若S △AOB =2，则这个反比例函数的解析式为 . 图 1 10、如图2，函数y=-kx(k≠0)与x y 4-=的图 象交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂 足为C ，则△BOC 的面积为 . 图 2 二、选择题（每小题3分，共30分） 1、如果反比例函数的图象经过点P （-2，-1），那么这个反比例函数的表达式为（ ） A 、x y 21= B 、x y 21-= C 、x y 2= D 、x y 2-= 2、已知y 与x 成反比例，当x=3时，y=4，那么当y=3时，x 的值等于（ ） A 、4 B 、-4 C 、3 D 、-3 3、若点A （-1，y 1）,B(2,y 2)，C （3，y 3）都在反比例函数x y 5=的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A 、y 1＜y 2＜y 3 B 、y 2＜y 1＜y 3 C 、y 3＜y 2＜y 1 D 、y 1＜y 3＜y 2 4、反比例函数x m y 5-=的图象的两个分支分别在第二、四象限内，那么m 的取值范围是（ ） A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜5 D 、m ＞5 5、已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ） A 、（-1，-2） B 、（-1，2） C 、（1，-2） D 、（-2，1） 6、若一次函数b kx y +=与反比例函数x k y =的图象都经过点（-2，1），则b 的值是（ ） A 、3 B 、-3 C 、5 D 、-5 7、若直线y=k 1x(k 1≠0)和双曲线x k y 2=（k 2≠0）在同一坐标系内的图象无交点，则k 1、k 2的关系是（ ） A 、k 1与k 2异号 B 、k 1与k 2同号 C 、k 1与k 2互为倒数 D 、k 1与k 2的值相等 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 二次函数 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 第五章反比例函数 5.２反比例函数的图象与性质（一） 执教者：揭东县锡场镇世德初级中学林燕玲 【教学目标】 〈知识目标〉1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。 2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。 3．培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。〈能力训练要求〉通过学生自己动手列表,描点,连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数图象的有关性质,训练学生的概括总结能力. 〈情感与价值观要求〉让学生积极参与到数学学习活动中去,增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。 【教学重难点】 教学重点：作反比例函数图象并认识图象的特点。 教学难点：作反比例函数图象。 【教学方法】 1.提出问题—分小组讨论—启发引导—解决问题。 2.多媒体教学。 【教具】 三角板，小黑板。 【教学过程】 （第一环节）回顾交流,问题牵引（幻灯片1） 1.什么叫做反比例函数？ 2．反比例函数自变量x 的取值范围是什么？ 3.下列等式中,哪个等式表示y 是x 的反比例函数 （ ） (A ) k y x = （B ） 23y x = （C ） 121 y x =+ （D ） 21xy -= （第二环节）合作交流（幻灯片2） 1．一次函数 y = kx + b ( k 为常数，k ≠ 0 )的图象是什么形状？ 2．用描点法作函数图象的一般步骤是什么形状？ 3．对于反比例函数 y= x k ( k 是常数,k ≠ 0 )的图象，我们能否像探究一次函数的图象那样进行探究？ （第三环节）探求新知（幻灯片3） 例题精讲：作反比例函数x y 4=的图象。 思考：这个函数中自变量x 的取值范围是什么？ 解：（1）列表： x … … … … （2）描点：（幻灯片4） （3）连线：（幻灯片5） x y 4 =x y 4 = 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 精心整理 正、余弦函数的图象与性质 [知识回顾] 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< 原点的距离是()0 r r=>，则sin y r α=，cos x r α=，() tan0 y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT． 12、同角三角函数的基本关系： 222222 [考点例题精讲] 考点一：正余弦函数图象的应用 例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 2 1 sin )1(≥ x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,265, 26 ππππ 2 1 cos )2(≤ x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,235, 23 ππππ 考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题 例2求下列函数的定义域： (1)y ＝1+ x sin 1 (2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠2 3π ＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠ 23π ＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π ＋2k π≤x ≤2 π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2 π ＋2k π］(k ∈Z ) 方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函单调性 在2,22 2k k ππππ??-+??? ? ()k ∈Z 上是增函 数； 在32,22 2k k π πππ??++ ??? ? () k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函 数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2 x k k π π=+∈Z 对称中心(),02 k k π π?? +∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 数，这样也便于求y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线 （4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴 例1．（补充）已知反比例函数ｙ＝（m-1）x m 2-3的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？ 分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=kx -1（k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件。 【略解】∵ｙ＝（m-1）x m 2-3是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0 又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0 解得m=±2且m ＜1 则m=-2 例2．如图，过反比例函数y=x 1（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 【分析】从反比例函数y=x k （k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S=xy=k ，21由此可得S 1＝S 2 ＝21 ，故选B 三、随堂练习、当堂消化 1．已知反比例函数y=x k -3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与y= x a -（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 3．在平面直角坐标系内，过反比例函数y=x k （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 四、课后练习、拓展延伸 《19.2.2正比例函数图像及性质》教案 【教学目标】 1.知识与技能 （1）掌握正比例函数的概念； （2）会求正比例函数的解析式； （3）掌握正比例函数的性质。 2.过程与方法 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。 3.情感态度和价值观 实例引入，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 正比例函数的概念及图像。 【教学难点】 正比例的性质与常数k的关系。 【教学方法】 教法：启发引导。学法：自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】 多媒体课件，直尺，彩色粉笔。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【过渡】我们学习了第一节的内容，主要是学习了函数的基本知识，如变量与常量，函数的解析式等等，现在，我们一起来回忆一下这几个基本概念吧。 1、正比例的解析式是什么？ 2、已知y与x成正比例，且当x =-1时，y =-2，求y与x之间的函数关系式？ （可以由学生回答） 【过渡】在学习基础知识的过程中，我们会看到不同种类的函数解析式，那么，这些函数解析式有没有哪些具有共同的特征呢？又有什么样的性质呢？今天，我们就来探究一种具有独特性质且简单的函数：正比例函数。 二、新课教学 1．正比例函数 课本P86思考内容。 【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？ （学生回答） 列表更清晰直观。 【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？ 这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！ 【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为正比例函数。 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k正比例函数图象及性质
五大基本初等函数性质及其图像
反比例函数的图象与性质
正比例函数图象与性质
高中各种函数图像画法与函数性质
11正比例函数的图象和性质同步习题含答案
反比例函数的图象和性质
(完整版)反比例函数的图象与性质练习题
高中各种函数图像画法与函数性质
正弦函数和余弦函数图像与性质
反比例函数的图象与性质
高中常见函数图像及基本性质
正余弦函数的图象与性质
反比例函数的图象和性质(一)
正比例函数的图像与性质