锐角三角形的三条高(三条虚线) 直角三角形的三条高(一条虚线加两条直角边) 钝角三角形的三条高(三条虚线) 按边分 底 直角边 C B A 直角边C B A C B A 底 边 等边三角形(三条边都相等,每个角都是60°) 等腰三角形(两条边相等,两个底角相等)
※已知三角形两条边各长a、b(a>=b),求第三边长度c的范围 方法:a-b5 能(等边三角形/正三角形) 例:已知三条线段分别是10cm、10cm、20cm,它们能不能组成三角形? 10+10=20 不能 ※多边形内角和问题
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第一章:整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的 乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 整 式 幂运算 的 运 算 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的乘法 整式运算 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或― 1。 6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是 0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时,应化成假分数。 11、单项式的系数是 1 或― 1 时,通常省略数字“ 1”。 12、单项式的次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项,就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念,但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。四、整式 的加减1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法 分配率。 2、几个整式相加减,关键是正确地运用去括号法则,然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤: (1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。 (2)按去括号法则去括号。 (3)合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤: (1)代数式化简。 (2)代入计算 (3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 n n 1、n 个相同因式(或因数) a 相乘,记作 a ,读作a 的n 次方(幂),其中 a 为底数,n 为指数,a 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:m n m+n a ﹒a =a 。 m+n m n 4、此法则也可以逆用,即: a = a ﹒a 。 5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 m n m 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。(a )表示n 个a 相乘。 m n mn 2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。(a )=a 。 mn m n n m 3、此法则也可以逆用,即: a = (a )=(a )。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 n n n 2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即(ab)=a b 。 n n n 3、此法则也可以逆用,即: a b = (ab)。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点: (1)法则中的底数不变,只对指数做运算。 (2)法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式)。 (3)对于含有 3 个或3 个以上的运算,法则仍然成立。 2、不同点: (1)同底数幂相乘是指数相加。 (2)幂的乘方是指数相乘。 (3)积的乘方是每个因式分别乘方,再将结果相乘。九、同底数幂 的除法 1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:m n m-n a÷a=a(a≠0)。 m-n m n 2、此法则也可以逆用,即: a = a ÷a (a≠0)。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义:任何不等于 0 的数的0 次幂都等于1,即:a =1(a≠0)。 十一、负指数幂 p1 1、任何不等于零的数的―p 次幂,等于这个数的p 次幂的倒数,即:a(a0) a p 注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
初中数学三角形知识点总结
初中数学三角形知识点总结 初中数学三角形知识点总结 等边三角形 ⑴等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°. ⑵等边三角形每条边上的中线.高线和所对角的平分线互相重合(三线合一) ⑶等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线.高线或对角的平分线所在的直线. ⑷等边三角形的重要数据 角和边的数量 3 内角的大小60° ⑸等边三角形重心.内心.外心.垂心重合于一点,称为等边三角形的中心.(四心合一) ⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 三角形的垂心 锐角三角形垂心在三角形内部. 直角三角形垂心在三角形直角顶点. 钝角三角形垂心在三角形外部. 垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点. 三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6组四点共圆. 三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角有十二,构成九对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清, 三角形垂心的性质 设△ABC的三条高为AD.BE.CF,其中D.E.F为垂足,垂心为H,角A.B. C的对边分别为a.b.c,p=(a+b+c)/2. 1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角
形的垂心在三角形外. 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 3. 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上. 4. △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF. 5. H.A.B.C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组). 6. △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆. 7. 在非直角三角形中,过H的直线交AB.AC所在直线分别于P.Q,则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC. 8. 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA. 9. 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍. _. 锐角三角形的`垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形,最早在古希腊时期由海伦发现). _.西姆松定理(西姆松线):从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上. _. 设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是PB_PC_BC+PB_PA_AB+PA_PC_AC=AB_BC_CA. _.设H为非直角三角形的垂心,且 D.E.F分别为H在BC,CA,AB上的射影,H1,H2,H3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3. _.三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线.
中考 三角形知识点复习归纳总结
D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形
21D C B A D C B A (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外; ③三角形三条高所在直线交于一点. ⒋ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意: (1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.
人教版七年级下册数学知识点归纳完整版
人教版七年级下册数学课本知识点归纳 第五章相交线与平行线 一、相交线两条直线相交,形成4个角。 1.邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:∠1、∠2。 2.对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条 边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种 关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、∠3。 3.对顶角相等。 二、垂线 1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。2.垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。 4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1.同位角:在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。 2.内错角:在在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。如:∠3和∠5。 3.同旁内角:在在两条直线之间,又在直线EF的同侧, 具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。 四、平行线 (一)平行线 1.平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b (在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。) 2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。 ②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (二)平行线的判定: 1.同位角相等,两直线平行。 2.内错角相等,两直线平行。 3.同旁内角互补,两直线平行。 (三)平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 4.两条平行线被第三条直线所截,外错角相等。
北师大版数学七年级下第3章三角形知识点
三角形 几何A 级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明) 1.三角形的角平分线定义: 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图) A B C D 几何表达式举例: (1) ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD 是角平分线 2.三角形的中线定义: 在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图) A B C D 几何表达式举例: (1) ∵AD 是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ∵ BD = CD ∴AD 是三角形的中线 3.三角形的高线定义: 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. (如图) A B C D 几何表达式举例: (1) ∵AD 是ΔABC 的高 ∴∠ADB=90° (2) ∵∠ADB=90° ∴AD 是ΔABC 的高 ※4.三角形的三边关系定理: 三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.(如图) A B C 几何表达式举例: (1) ∵AB+BC >AC ∴…………… (2) ∵ AB-BC <AC ∴…………… 5.等腰三角形的定义: 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图) A B C 几何表达式举例: (1) ∵ΔABC 是等腰三角形 ∴ AB = AC (2) ∵AB = AC ∴ΔABC 是等腰三角形 6.等边三角形的定义: 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图) A B C 几何表达式举例: (1)∵ΔABC 是等边三角形 ∴AB=BC=AC (2) ∵AB=BC=AC ∴ΔABC 是等边三角形
有关三角形知识点总结
有关三角形知识点总结
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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。(判断三条线段能否组成三角形的依据) 2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:一定要记得分类讨论) 方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.(90°角和互余关系) 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点。
2 、三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。 4、方法利用:求三角形中未知的高或者底边的长度,可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达,求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。
人教版七年级数学知识点归纳(上下册)
人教版七年级数学知识点归纳(上下册) 第一章 有理数 1.1 正数和负数 (1)正数:大于0的数; 负数:小于0的数; (2)0既不是正数,也不是负数; (3)在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义; (4)-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数; (5)自然数:0和正整数统称为自然数; (6)a>0 ? a 是正数; a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数; a <0 ? a 是负数; a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 1.2 有理数 (1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数; (2)正整数、0、负整数统称为整数; (3)有理数的分类: ?????????????负分数负整数负有理数零 正分数正整数正有理数有理数 ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (4)数轴:规定了原点、正方向、单位长度的一条直线;(即数轴的三要素) (5)一般地,当a 是正数时,则数轴上表示数a 的点在原点的右边,距离原点a 个单位长度;表示数-a 的点在原点的左边,距离原点a 个单位长度; (6)两点关于原点对称:一般地,设a 是正数,则在数轴上与原点的距离为a 的点有两个,它们分别在原点的左右,表示-a 和a ,我们称这两个点关于原点对称;
(7)相反数:只有符号不同的两个数称为互为相反数; (8)一般地,a 的相反数是-a ;特别地,0的相反数是0; (9)相反数的几何意义:数轴上表示相反数的两个点关于原点对称; (10)a 、b 互为相反数?a+b=0 ;(即相反数之和为0) (11)a 、b 互为相反数?1-=b a 或1-=a b ;(即相反数之商为-1) (12)a 、b 互为相反数?|a|=|b|;(即相反数的绝对值相等) (13)绝对值:一般地,在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值;(|a|≥0) (14)一个正数的绝对值是其本身;一个负数的绝对值是其相反数;0的绝对值是0; (15)绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a (16)0a 1a a >?= ; 0a 1a a -=; (17)有理数的比较:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序。即左边的数小于右边的数;(①正数大于0,0大于负数,正数大于负数;②两个负数,其绝对值大的反而小;) 1.3 有理数的加减法 (1)有理数的加法法则:①同号的两数相反,取相同符号,并把绝对值相加; ②绝对值不相等的两数相加,取绝对值大的符号,并用绝对值大的减去绝对值 小的。互为相反数的两个数相加为0; ③一个数与0相加仍得这个数; (2)有理数加法的运算律:①加法交换律:a+b=b+a; ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) (3)有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即:a-b=a+(-b); 1.4 有理数的乘除法 (1)有理数的乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; ②任何数与0相乘均为0;
三角函数与解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离是 0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =, () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= (2)商数关系: sin tan cos α αα= (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成α π±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(
初中数学-三角形知识点归纳
初中数学湘教版八年级数学上册三角形知识点集 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. (1)三角形的表示方法:三角形ABC 用符号表示为△ABC , 三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可 用a 表示, △AB C的角可表示为∠B或者∠ABC,∠C或者∠ACB,∠A或者∠BAC, 到底用一个大写字母还是三个大写字母表示角,要看题目用一个大写字母表示角会不会产生混淆 (2)三角形一共有三个顶点,三条边,三个角,这就是三角形的三元素; (3)三角形的对边与对角:一个角对着一条边,一条边对着一个角 如图∠BAC的对边是边BC,边AB的对边是∠C或者∠ACB ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段 (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点,这一点叫做重心; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点,这一点叫做内心 三角形的角平分线的表示法: 如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示: ① AD 是?ABC 的角平分线 ② AD 平分∠BAC ,交BC 于D ; ③ ③ 如果AD 是?ABC 的角平分线,那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC . 三角形的中线表示法: 如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示: ①AE 是?ABC 的中线; ②AE 是?ABC 中BC 边上的中线; ③如果AE 是?ABC 的中线,那么BE=EC = 21BC . 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 (等边三角形三条边都相等,也叫做正三角形) 直角三角形有一个角是90度,直角三角形的两个锐角互余。 A B C D E 图1
全等三角形知识点总结
全等三角形 一、知识框架: 二、知识概念: 1.基本定义: ⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (注意对应的顶点写在对应的位置上) ⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时,其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质: (1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示: 全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理:
⑴边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. (只适用于两个直角三角形) 4、学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;(3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线: ⑴画法:(课本48页,必须要掌握) ⑵性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等. (在做题时,只要满足条件就可以直接运用定理) ⑶性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法: ⑴明确命题中的已知和求(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系) ⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.