正弦定理教学设计
教学设计
一、内容及其解析
1.内容:正弦定理
2.解析:《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容,比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4(包括三角函数与平面向量)之后,可以启发学生联想所学知识,运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具,推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础,又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端,对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习,培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。
二、目标及其解析
目标:(1)正弦定理的发现;
(2)证明正弦定理的几何法和向量法;
(3)正弦定理的简单应用。
解析:先通过直角三角形找出三边与三角的关系,再依次对锐角三角形与钝角三角形进行探讨,归纳总结出正弦定理,并能进行简单的应用。
三、教学问题诊断分析
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一,它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系,对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题,这些知识的掌握,有助于培养分析问题和解决问题能力,所以一向为数学教育所重视。
四、教学支持条件分析
学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识和有关任意三角形的一些知识,
学生在高中已学过必修4(包括三角函数与平面向量),学生已具备初步的数学建模能力,会从简单的实际问题中抽象出数学模型完成教学目标,是切实可行的。
五、教学过程
(一)教学基本流程
(一)创设情境,引出课题
①在Rt △ABC 中,各边、角之间存在何种数量关系? 学生容易想到三角函数式子:(可能还有余弦、正
切的式子) ②这三个式子中都含有哪个边长?
学生马上看到,是c 边,因为 ③那么通过这三个式子,边长c 有几种表示方法?
④得到的这个等式,说明了在Rt △中,各边、角之间存在什么关系? (各边和它所对角的正弦的比相等) ⑥此关系式能不能推广到任意三角形?
设计意图: 以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.
(二)探究正弦定理
猜想:在任意的△ABC 中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即:
设计意图:鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.
三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,对于直角三角形,我们前面已经推导出这个关系式是成立的,那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式? 设计意图:及时总结,使方向更明确,并培养学生的分类意识
①那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证? ——可以构造直角三角形
②如何构造直角三角形?
——作高线(例如:作CD ⊥AB ,则出现两个直角三角形)
③将欲证的连等式分成两个等式证明,若先证明 ,
那么如何将A 、B 、a 、b 联系起来?
——在两个直角三角形Rt △BCD 与Rt △ACD 中,CD 是公共边: 在Rt △BCD 中,CD= , 在Rt △ACD 中,CD=
④如何证明 ? ——作高线AE ⊥BC ,同理可证.
设计意图:把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.
c a A =sin c
b B =sin 1sin =C =
c C c B b A a sin sin sin =
= C B A c a b c c
C ==1sin C
c
B b A a sin sin sin ==
B
b
A a sin sin =
B a sin A
b sin A b B a sin sin =∴B b A a sin sin =∴
C c B b sin sin =
若△ABC 为钝角三角形,同理可证明:
(三)例题分析,加深理解
例题:在△ABC 中,已知C =48.57o , A =101.87o , AC =2620m , 求AB.(精确到1米)
解:B =180o-A -C = 180o- 48.57o -101.87o =29.56o
正弦定理:
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 正弦定理推论(1)A R a sin 2=, B R b sin 2=,
C R c sin 2=
正弦定理推论(2)R a A 2sin =, R b B 2s i n =, R
c
C 2sin =
解决类型:(1)已知三角形的任意两角与一边,可求出另外一角和两边;
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,可求出另外一边和两角。 (四)目标检测
1.一个三角形的两个内角分别是30
和45
,如果45
角所对的边长为8,那么30
角所对边的长是 2.在△ABC 中,
(1)已知75A = ,45B =
,c =,则a = ,b =
(2)已知30A = ,120B =
,12b =,则a = ,c =
3.在△ABC
中,b =
c =60C =
,则A = ____________ 4.在△ABC 中,3b =,
c =30B =
,则a =_____________ 5.在△ABC 中,2sin b a B =,则B C +=________________ (五)小结
(1)在这节课中,学习了哪些知识?
正弦定理及其发现和证明 ,正弦定理的初步应用
(2)正弦定理如何表述?
(3)表达式反映了什么?
指出了任意三角形中,各边与对应角的正弦之间的一个关系式
C
c
B b A a sin sin sin ==得由
C c B b sin sin =398256.29sin 57.48sin 2620sin sin 0
=?==B C b c C A
B
C c
B b A a sin sin sin ==
学 案
1.1正弦定理
班级 姓名 学号
一、学习目标
(1)正弦定理的发现;
(2)证明正弦定理的几何法和向量法; (3)正弦定理的简单应用。
二、问题与例题
问题1:在Rt △ABC 中,各边、角之间存在何种数量关系? 问题2:这三个式子中都含有哪个边长??
问题3:那么通过这三个式子,边长c 有几种表示方法??
问题4:得到的这个等式,说明了在Rt △中,各边、角之间存在什么关系? 问题5:那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证? 例1. (三)例题分析,加深理解
例题:在△ABC 中,已知C =48.57o , A =101.87o , AC =2620m , 求AB.(精确到1米)
三、目标检测
1.一个三角形的两个内角分别是30
和45
,如果45
角所对的边长为8,那么30
角所对边的长是 2.在△ABC 中,
(1)已知75A = ,45B =
,c =,则a = ,b =
(2)已知30A = ,120B =
,12b =,则a = ,c =
3.在△ABC
中,b =
c =60C =
,则A = ____________ 4.在△ABC 中,3b =,
c =30B =
,则a =_____________ 5.在△ABC 中,2sin b a B =,则B C +=________________
C A
B
配餐作业
一、基础题(A 组)
1、在△ABC 中,若a=5,b=15,A=300, 则c 等于 ( ) A 、25 B 、5 C 、25或5 D 、以上结果都不对 2.在△ABC 中,一定成立的等式是 ( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB
C.asinB=bsinA
D.acosB=bcosA 3.若c
C
b B a A cos cos sin ==则△ABC 为 ( )
A .等边三角形
B .等腰三角形
C .有一个内角为30°的直角三角形
D .有一个内角为30°的等腰三角形
4.△ABC 中,∠A 、∠B 的对边分别为a ,b ,且∠A=60°,4,6==b a ,那么满足条件的△ABC
( ) A .有一个解 B .有两个解 C .无解
D .不能确定
5.在△ABC 中,a =3
2,b =22,B =45°,则A 等于 .
6. 在△ABC 中,若210=c ,?=60C ,3
3
20=
a ,则=A . 二、巩固题(B 组)
7. 在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为 . 8. 在锐角△ABC 中,已知B A 2=,则的b
a
取值范围是 . 9. 在△ABC 中,已知21tan =
A ,3
1
tan =B ,则其最长边与最短边的比为 . 10. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是 .
三、提高题(C 组)
11.在△ABC 中,a +b =1,A=600,B=450,求a ,b
12△ABC 中,若sinA=2sinBcosC ,sin 2A=sin 2B+sin 2C ,试判断△ABC 的形状。
13.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在A 处测得塔尖的仰角为75.5
,前进38.5m 后,到达B 处测得塔尖的仰角为80.0
.试计算东方明珠塔的高度(精确到1m ).
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
《正弦定理》教学设计方案
探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
2016年全国高中数学优质课:1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)
正 弦 定理教 学 设 计
《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用, 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的 基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,形成疑问,激发学生探究欲望,提出斜三角形的边 角关系的猜想;第二,带着疑问,对猜想进行验证,首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证,其次是严密的数学推导证明;第三,得到正弦定理,解决引例,首尾呼 应,并学以致用,简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化,从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次,探索——发现——证明,从实际中来,到实际中去。通过课堂,体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发,通过观察、实验、猜想、验证、证明,从特殊到一般得到 正弦定理,掌握正弦定理,了解正弦定理的一些推导方法,并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题; 2、通过对实际问题的探索,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养学生的缜密思维;
正弦定理教案
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c