黑龙江省绥化市第九中学高二理科新人教A版选修2-1第三章 空间向量与立体几何 导学案
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
8486 复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量.
叫相反向量， a
的相反向量记着 .
叫相等向量. 向量的表示方法
有 ， ， 和 共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长
度和方向规定如下： (1)|λa |＝ .
(2)当λ＞0时，λa 与A. ；
当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）
数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为
OB =
， AB = ，
试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.
a b a b +-
.
2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则
AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
AB BC + ⑴；
'AB AD AA ++
⑵；1'2
AB AD CC ++ ⑶
1(')2
AB AD AA ++ ⑷．
变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'
',AC BD 和'DB
.
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平
移使它们转化为首尾相接的向量．
. b
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
一、课前准备
（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：
⑴ 5（32a b - ）+4（23b a -
）；
⑵ ()()
63a b c a b c -+--+- .
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a
与b
平行的充要条件是
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判
定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b
的充要条件是存在唯一实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直
线l 上的充要条件是
试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+
()
3CD a b =-
，求证: A,B,C 三点共线.
反思：充分理解两个向量,a b
共线向量的充要条件中
的0b ≠
，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+
，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12
OP OA tOB =+
，那么t ＝
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,
设CD =a ，',CB b CC c ==
，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .
变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：
⑴ '
AA CB - ;
⑵ '''''AB B C C D ++
⑶ '111222AD AB A A +-
D
试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满
足关系式111236
OP OA OB OC =++
,则点P 与 A,B,C
共面吗？
反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满
足关系式OP xOA yOB zOC =++
,且点P 与 A,B,C 共面，则x y z ++= .
※ 典型例题 例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ）
①;OM OA OB OC =--
②111;532OM OA OB OC =++
③0;MA MB MC ++=
④0OM OA OB OC +++= . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一
点，若向量()17,53
OP OA OB OC R λλ=++∈ 则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=
例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OH
k OA OB OC OD
==== 求证：E,F ,G ,H 四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G ,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满
足条件122555
OP OA OB OC =++
，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？
练 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠
，若//a b ，求实数.x
三、总结提升
※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的
平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共
同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A
、1D C 、11
AC
是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面
''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++
, 则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D
的交点,则'1()3AB AD AA ++=
AO .
5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直
线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、
b 、
c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，
则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋
y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.
A ．0 B.1 C. 2
D. 3 1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++
， 0a ≠ ，若//a b ，求实数,x y .
2.已知两个非零向量21,e e
不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-
. 求证：,,,A B C D 共面．
A B C D F E G H
§3.1.3．空间向量的数量积（1）
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2.
题． 9092
复习1：什么是平面向量a 与b
的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ?
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b
在空间 一点O ，作,OA a OB b ==
，则AOB ∠做向量a 与b 的夹角，记作 .
试试：
⑴ 范围: ,a b ≤<>≤
,a b ?? =0时,a b 与 ;,a b ?? =π时,a b 与
⑵ ,,a b b a <>=<>
成立吗？
⑶,a b <>=
，则称a 与b 互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量,a b ，则 叫做,a b
作a b ? ，即a b ?=
.
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ?= （选0还是0 ）
⑶ 你能说出a b ?
的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ?=<>
．
（2）a b a b ⊥??=
．
（3）a a ?=
＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?
．
（2）a b b a ?=?
（交换律）．
（3）()a b c a b a c ?+=?+?
（分配律
反思：
⑴ )()a b c a b c ??=??
（吗？举例说明.
⑵ 若a b a c ?=? ，则b c =
吗？举例说明.
⑶ 若0a b ?= ，则00a b ==
或吗？为什么？
※ 典型例题
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式1：用向量方法证明：已知：
,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．
例
2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，
3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值
变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若
AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ）
A. 60°
B. 90°
C. 105°
D. 75°
例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=?,'BAA ∠=
'DAA ∠=60°,求'AC 的长.
※ 动手试试
练1. 已知向量,a b
满足1a = ，2b = ，3a b +=
，则a b -= ____.
练 2. 222,,22a b a b ==?=-
已知, 则a b 与的夹角大小为_____. 三、总结提升 ※ 学习小结
1..向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
※ 知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求
两条直线的夹角和线段长度的新方法.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中：
①若0a b ?= ，则a ，b 中至少一个为0
②若a 0≠ 且a b a c ?=? ，则b c =
③()()a b c a b c ??=??
④22
(32)(32)94a b a b a b +?-=-
正确有个数为（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3
π
，则下面
向量中与212e e -
垂直的是（ ）
A. 12e e +
B. 12e e -
C. 1e
D. 2e 3.已知ABC ?中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，
且3,1a b ==,30C ∠=?,则BC CA ?
=
4. 已知4a = ，2b =
，且a 和b 不共线，当 a b λ+ 与a b λ-
的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .
5. 已知向量,a b
满足4a = ，2b = ，3a b -= ，则a b +=
____
课后作业：
1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，
求证：AD BC ⊥.
2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离.
D B C
§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
一、课前准备 （预习教材P 92-96找出疑惑之处）
复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总
是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表
示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥ ，则称向量P 正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量
,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+
，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ .
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量
有何位置关系？
新知： ⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a
，均可分解为不共面的三个向量11a λ 、22a λ 、33a λ ，使112233a a a a λλλ=++ . 如果123,,a a a
两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，
对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++
. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++
，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a
的坐标，记着p =
.
⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB
＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则
⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；
⑶λa ＝12
3(,,)a a a λλλ()R λ∈；
⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.
试试： 1. 设23a i j k =-+
，则向量a 的坐标为 .
2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB
＝ . 3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，
8a ，a ·b
※ 典型例题 例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量
,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+
q a b =-
构成空间的另一个基底？
变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC
不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？
小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底
的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的
中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC
表示OP 和OQ .
变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G
是侧面''BB C C 的中心，且OA a =
，',OC b OO c == ，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .
※ 动手试试 练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==
，求： ⑴()
a b c ?+ ； ⑵68a b c +- .
练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向
建立空间直角坐标系，则点1D ，'
,AC AC 的坐标分别是 ， ， .
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；
2. 空间向量坐标表示及其运算
※ 知识拓展
建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若{}
a,,b c
为空间向量的一组基底，则下列各项中，
能构成基底的是（ ）
A.,,a a b a b +-
B. ,,b a b a b +-
C. ,,c a b a b +-
D. 2,,a b a b a b ++-
2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、
z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-
，则点B 的坐标是 3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ?的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝
4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐
标原点，以'AB,AD,AA
为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .
5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有
两个实根，c a tb =+ ，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-
，
当t ＝ 时，c
的模取得最大值. 1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA
线段AB
的中点坐标及线段AB 的长度.
2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量
,,a b a b c +- 是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是
()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-
的坐标.
§3.1.5
空间向量运算的坐标表示
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
※ 典型例题
例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．
变式：如上图,在正方体1111A B C D A B C D -中
，1111113
A B
B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．
例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.
变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.
1. 若a ＝12
3(,,)a a a ，b ＝123
(,,)b b b ，则
3
12123
a a a
b b b ==是//a b
的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不不要条件
2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-
，且a b ⊥ ，
则x ＝ .
3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+ 与OB
的夹角
为120°，则λ的值为（ ）
A. B. C. D. 4. 若()()
2,2,0,3,2,a x b x x ==-
，且,a b 的夹角为钝
角，则x 的取值范围是（ ）
A. 4x <-
B. 40x -<<
C. 04x <<
D. 4x >
5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=
， 且
(2)//(2)a b a b +-
，则（ ）
A. 1,13x y ==
B. 1
,42
x y ==-
C. 1
2,4
x y ==- D. 1,1x y ==-
1. 如图，正方体
''''ABCD A
B
C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.
2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.
§3.1 空间向量及其运算（练习）
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
a xi y j zk =++
，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a
的坐标，记着p =
.
10. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .
11. 向量的直角坐标运算： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ； ⑶λa ＝ ； ⑷a ·b ＝
※ 动手试试 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的
直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A
、1D C 、11
AC 是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量
C ．共面向量
D ．不共面向量
3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ）
，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 657 4．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+ 则53a b ?= （ ）
A ．－15
B ．－5
C ．－3
D ．－1
※ 典型例题 例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b == ， OC c =
，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的
中点，则MN = .
变式：如图，平行六面体''''
ABCD A B C D -中，
,AB a AD b ==
，'AA c = ,点,,P M N 分别是
'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且
'4
1
CQ QA =,用基底,,a b c
表示下列向量：
⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .
例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中
，1
90,1,2,6ABC CB CA ∠=?==,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.
变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =
b ，
1CC = c ， 则1A B =
（ ） A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c 2.,,m a m b ⊥⊥ (,n a b R λμλμλ=+∈
向量且、
0)μ≠则（ ）
A ．//m n
B ． m 与n
不平行也不垂直
C. m n ⊥
， D ．以上情况都可能.
3. 已知a +b +c ＝0 ，|a |＝2，|b |＝3，|c
|则向量a 与b
之间的夹角,a b <> 为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
4.已知()()1,1,0,1,0,2,a b
==-
且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）
A. .1
B. 15
C. 35
D. 7
5
5. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，
C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =
如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥；
⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.
§3.2立体几何中的向量方法（1）
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
行、垂直、夹角等立体几何问题．
一、课前准备
（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）
复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？
复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，
a ·
b ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
新知：
⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么
空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP
来表示，
我们把向量OP
称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：
① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =
，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：
① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向
量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b
是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP x a y b =+ .
② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
⑷ 平面的法向量：如果表示向量n
的有向线段所在
直线垂直于平面α，则称这个向量n
垂直于平面α,
记作n ⊥α，那 么向量n
叫做平面α的法向量.
试试： .
1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b
的关系 .
2.向量n
是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行
或在平面内，则n 与a
的关系是 .
反思：
1. 一个平面的法向量是唯一的吗？
2. 平面的法向量可以是零向量吗？
⑸ 向量表示平行、垂直关系：
设直线,l m 的方向向量分别为,a b
，平面,αβ 的
法向量分别为,u v
，则
① l ∥m ?a ∥b a kb ?=
② l ∥α?a u ⊥ 0a u ??=
③ α∥β?u ∥v .u kv ?=
※ 典型例题
例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB
与坐标平面YOZ 的交点.
变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在
OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ?
取得最小值时,点Q 的坐标.
小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
※ 动手试试
练1. 设,a b
分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线
12,l l 的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-
；
⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==
.
练2. 设,u v
分别是平面,αβ的法向量，判断平面
,αβ的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--
；
⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--
.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间点，直线和平面的向量表示方法
2. 平面的法向量求法和性质.
※ 知识拓展：
求平面的法向量步骤：
⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =
；
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；
,即得法向量.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--
分别是直线12,l l 的
方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .
2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-
分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .
3. 已知n α⊥
，下列说法错误的是（ ）
A. 若a α?，则n a ⊥
B.若//a α，则n a ⊥
C.若,m α⊥ ，则//n m
D.若,m α⊥ ，则n m = 4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α
5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-
，能做平面ABC 的法向量的是（ ）
A. ()1,2,1
B.11,,13??
??? C.()1,0,0
D. ()2,1,3
1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB
是平面
1ACD 的一个法向量.
2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==
，求平面ABC 的一个法向量.
§
3.2
立体几何中的向量方法（2）
的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
一、课前准备
（预习教材P 105~ P 107，找出疑惑之处.
复习1：已知1a b ?= ，1,2a b ==
，且2m a b =+ ，
求m .
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知
：用空间向量表示空间线段，然后利用公式
a = 求出线段长度.
试试：在长方体''''A B C D
A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.
反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知
量用已知条件中的向量表示.
※ 典型例题
例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长
有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?
探究任务二：用向量求空间图形中的角度
例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的
交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，
CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
变式：如图，60?的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ==
=,求CD 的长.
※ 动手试试 练1. 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'
30DBD
∠= ，如果
AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.
练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角.
三、总结提升
※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，
然后利用公式a ； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式cos ,a b
a b a b
?=? 求解.
※ 知识拓展
解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
“翻译”成相应的几何意义.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .
2. 已知1
cos ,2
a b =- ，则,a b 的夹角为 .
3. 若M 、N 分别是棱长为1
的正方体''''ABCD A B C D
-的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（ ）
C.35
D.25 4.
将锐角为60?边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60?的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）
A.32a C.3
4
a 5.正方体'''A B C D A
B C D -
中棱长为a ，'13
AM AC
=
,N 是'BB 的中点，则
MN 为（ ）
1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1， ,M N 分别是''',BB B C 的中点，求：
⑴ ',MN CD 所成角的大小； ⑵ ,MN AD 所成角的大小； ⑶ AN 的长度.
§3.2立体几何中的向量方法（3）
C
,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且
'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.
变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,
底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=
,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以
先找到它们的公垂线方向的一个向量n
，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离
n AB
d n
?= 求解.
三、总结提升
※ 学习小结
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
※ 知识拓展
用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .
1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.
2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE . ⑴ 计算DE 的长；
⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.
§第三章 空间向量（复习）