数学物理方法习题解答(完整版)44767
数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明:令Re z u iv =+。Re z x =Q ,,0u x v ∴==。
1u
x
?=?,0v y ?=?,
u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2
f z z
=
仅在原点有导数。
证明:令()f z u iv =+。()2
2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ??= =??。v v
x y
?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而
,,u u v v
x y x y
???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。
()00
00
00x x y y u v v u f i i x x y y ====????????
'=+=-= ? ?????????。
或:()()()2
*
00
0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z
?→?→?=?=?'==?=?-?=?。
2
2
***0*
00lim
lim lim()0z z z z z z z
zz z z z z z z
z z
=?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z
z z
??==??】
3、设333322
()z 0
()z=0
0x y i x y f z x y ?+++≠?
=+???
,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。
证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则
()332222
22
,=0
0x y x y u x y x y x y ?-+≠?
=+?+??, 332222
22
(,)=0
0x y x y v x y x y x y ?++≠?
=+?+??
。 3
300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y
y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =-
()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)()
lim lim ()()z z f z f x y i x y z
x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则
333333434322222
0()1(1)1(1)
lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。
4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上
必为常数。
(1)()z f 在区域D 上为实函数; (2)()*z f 在区域D 上解析; (3)()Re z f 在区域D 上是常数。 证明:(1)令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。
由于()z f 在区域D 上为实函数,所以在区域D 上(,)0v x y =。 ()f z Q 在区域D 上解析。由C -R 条件得
0u v x y ??==??,0u v
y x
??=-=??。 ∴在区域D 上(,)u x y 为常数。从而()z f 在区域D 上为常数。
(2)令()(,)(,)f z u x y iv x y =+,则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。 ()f z Q 在区域D 上解析。由C -R 条件得
,u v u v
x y y x
????= =-????。 (1) 又*()f z 在区域D 上解析,由C -R 条件得
,u v u v x y y x
????=- =????。 (2) 联立(1)和(2),得
0u u v v x y x y
????====????。 ,u v ∴在区域D 上均为常数,从而()f z 在区域D 上为常数。
(3)令()()(),,f z u x y iv x y =+,则()Re (),f z u x y =。 由题设知(),u x y 在区域D 上为常数,0u u x y
??∴
==??。
又由C -R 条件得,在区域D 上
0,0v u v u x y y x
????=-= ==????,于是v 在区域D 上为常数。 ,u v ∴在区域D 上均为常数,从而在区域D 上()f z 为常数。 5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。
证明:令2
u xy =,2222022u u
x x x y
??+=+=??。
u ∴ 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z 的一个解析函数的实
部。
6、若z x iy =+,试证:
(1)sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+; (2)cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-; (3)2
22sin sin sinh z x y +=; (4)222cos cos sinh z x y =+。
证明:(1)sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+
cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q , sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。
(2)cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=- cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q , cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。
(3)2
22sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+ 2222sin (1sinh )cos sinh x y x y =++
222222sin (sin cos )sinh sin sinh x x x y x y =++=+。
(4)2
222222cos (cos cosh )(sin sinh )cos cosh sin sinh z x y x y x y x y =+=+ 2222cos (1sinh )sin sinh x y x y =++ 22222cos cos sinh sin sinh x x y x y =++
222222cos (cos sin )sinh cos sinh x x x y x y =++=+。 7、试证若函数()f z 和()z ?在0z 解析。()()()0000,0f z z z ??'==≠,
则()()()()
000lim z z z f z f z z ??→'='。(复变函数的洛必达法则) 证明:
00000000000000000
()()()()lim
()()()()
lim lim lim ()()()()()()()()
lim z z z z z z z z z z f z f z f z f z f z z z z z f z f z f z z z z z z z z z z z z z ????????→→→→→--'---====--'---。 或倒过来做。 8、求证:0
sin lim 1z z
z →=。 证明:000sin (sin )lim lim limcos 1z z z z z z z z
→→→'
==='。 第二章习题解答 9、利用积分估值,证明
a .()22i
i x iy dz π-+≤? 积分路径是从i -到i 的 右半圆周。 b .证明222i
i
dz
z
+≤?积分路径是直线段。 证明:a .(方法一)
()()2
22
2
44i
i
i
i
i
i
x
iy dz x
iy
dz x y dz ---+≤+=+??
?
4
2
2
4
2222()i
i
i
i
x x y y dz x y dz π--≤++=+=?
?
。
(方法二)在半圆周221x y +=上,221,1x y ≤ ≤,从而
42424422x x y y x y x y ≤ , ≤?+≤+
在半圆周221x y +=上,2244221x iy x y x y +=+≤+=,44max 1c
x y +=,
()2
2
2
2
2
2
i
i i
i
i
i
i
i
x
iy dz x iy dz x y dz dz π----+≤+≤+==???
?。
或:()2244max i
i c
x iy dz x y ππ-+≤+=?。 b .证:2
22
111
max
max
max
11
z x i
z x i
z x z =+=+===+ 222
1max 22i
i
z x i
dz z z +=+∴ ≤?=?
。
10、不用计算,证明下列积分之值均为零,其中c 均为圆心在原点,
半径为1的单位圆周。
a .cos c dz z ??;
b .256z
c e dz z z ++??
。 证明:a .
1
cos z 的奇点为1,0,1,2n z n n π??=+=± ???
L ,由于1n z >,所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
1
cos z
∴
在以原点为圆心的单位圆内无奇点,处处解析。 由柯西定理: 0cos c
dz
z
=?
?。 b .256(2)(3)
z z
e e z z z z =++++的奇点为12z =-,23z =-,它们均不在以
原点为圆心的单位圆内。
256z
e z z ∴ ++在以原点为圆心的单位圆内处处解析。 由柯西定理:2056z c e dz
z z =++??。
11、计算
a .()221
:21c z z dz
c z z -+=-??;b .()
()22
21
:21c
z z dz
c z z -+=-?
?。
解: a .221z z -+在2z =所围区域内解析,且1z =在2z =所围区域内。
由柯西积分公式得
221212(21)2241z c z z dz i z z i i z πππ=-+=-+=?=-??。
b .221z z -+ 在2z =所围区域内解析,且1z =在2z =所围区域内。
由推广的柯西积分公式得
()
()()222
11
21
2212412361z c
z z z dz i z z i z i i z ππππ==-+'
=-+=-=?=-??。
12、求积分z c e dz z
??(:1c z =),从而证明()cos 0cos sin e d πθ
θθπ=?。 解: z e 在1z =所围区域内解析,且0z =在1z =所围区域内。
由柯西积分公式得0
22z z
z c e dz i e i z
ππ===??。 (1)
在c 上令i z e θ=,πθπ-≤≤,则
cos sin i z e i c e dz i e d i e d z θ
ππθθππθθ+--==????()()cos cos sin sin sin i e i d π
θπ
θθθ-=+????? ()()cos cos cos sin sin sin i e
d e
d π
π
θ
θ
π
π
θθθθ--=-
??()cos 0
2cos sin i e d π
θθθ=?,
其中利用了,由于()cos sin sin e θθ是θ的奇函数,而()cos cos sin e θθ是θ 的偶函数,所以
()cos sin sin 0e
d π
θ
π
θθ-=?,
()()cos cos 0
cos sin 2cos sin e
d e d π
π
θ
θπ
θθθθ-=??。
()cos 0
2cos sin z c e dz i e d z π
θ
θθθ∴=???。 (2) 从而,联立(1)和(2),得
()cos 0
cos sin e d π
θ
θθπ=?。 13、由积分2c dz
z +?之值,证明012cos 054cos
d πθθ+=+?,c 为单位圆周1z =。 证明:
1
2z +在单位圆周1z =所围区域内解析。由柯西定理: 02c dz z =+??。 (1)
另一方面,在c 上i z e θ=,πθπ-≤<,
()()()()2222222i i i i c c dz z e dz ie d z z z e e θπθ
θθπθ---++==+++++???蜒 ()1212cos 2sin 54cos 124
i i i e i i d i d e e θ
π
πθθππθθθθθ---+++==++++?? 12cos sin 254cos 54cos i d d π
πππθθ
θθθθ
--+=-++?
? (2) sin 54cos θ
θ+Q
为θ的奇函数, sin 054cos d ππθθθ
-∴=+? (3) 由(1)、(2)及(3)得
12cos 054cos d π
πθ
θθ-+=+?。
(4) 又12cos 54cos θθθ++为的偶函数, 012cos 12cos 254cos 54cos d d πππθθθθθθ
-++∴=++??。(5) 于是由(4)和(5)得
012cos 054cos d π
θ
θθ+=+?。
14、设()26
4
z F z z +=-,证明积分()c F z dz ?? a.当c 是圆周221x y +=时,等于0;
b.当c 是圆周()2
221x y -+=时,等于4i π; c.当c 是圆周()2
221x y ++=时,等于2i π-。 证明:()()()
2
66
422z z F z z z z ++=
=-+-的奇点为12z =及22z =-。 a.当c 是圆周221x y +=时,12z =及22z =-均在圆外,()F z 在圆内 解析。由柯西定理: ()()
6
022c
z dz z z + =+-??。
b.当c 是圆周()2
221x y -+=时,仅12z =在圆内。由柯西积分公式 得()()2
66
2224222c
z z z dz i i i z z z πππ=++ ==?=+-+??。
c.当c 是圆周()2
221x y ++=时,仅22z =-在圆内。由柯西积分公式 得()()
()266
2212222c
z z z dz i i i z z z πππ=-++ ==?-=-+--??。
第三章习题解答
15、求下列级数的收敛半径,并对c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。
a.11n n n z n ∞
=∑;b.1n n
n n z ∞=∑;c.0
k n n n z ∞
=∑(0k >为常数)。 解:
a. 1
lim lim 1n n n R n n →∞→∞====∞。
b. 1
lim
0n n R n
→∞===。 c. ()
lim
lim 111k
k
k
n n n n R n n →∞→∞??=== ?+??
+。
或1lim
1k
n n n
R n
→∞
===。
11ln lim lim 1x x x
x x x e
→∞
→∞
==【ln 1
lim
lim 0x x x x x
→∞→∞==(洛必达法则)】 在收敛圆周1z =上,i z e θ
=,级数成为0
k in n n e θ∞
=∑。
0k >Q ,∴它的通项k in n e θ在n →∞时,不趋于0。
故级数0
k in n n e θ∞
=∑发散。
16、试求下列级数的收敛半径。
a.!
n n z ∞
=∑;b.0!n
n n n z n ∞
=∑;c. ()00,0n n
n n z a b a ib ∞
=>>+∑。 解: a.当()()
1
!1!
!!
!
lim
lim
lim 1n n n n n
n n n n n z z
z
z
z
++→∞
→∞
→∞
==<时,级数收敛。
当!lim 1n n
n z →∞
>时,级数发散。
亦即当1z <时,级数收敛。而当1z >时,级数发散。 于是收敛半径1R =。 b.()()
()()()11
!11!1lim
lim lim lim 11!1!1n n
n
n
n n n n n n n n n n n n
R e n n n n n n ++→∞
→∞→∞→∞++??====+= ?+??
++。
c.n R =Q
()
1
222lim n
n n
n n R a b →∞
==+。
又因为{}()
{}112222max ,2max ,n n n
n
a b a b a b ≤+≤,且12lim 2
1n
n →∞
=,
故()
{}1
222lim max ,n
n n
n a b a b →∞
+=。
于是所求级数的收敛半径{}max ,R a b =。
或:1
lim n n n a R a →∞+=
Q ,n R ∴=。
当a b >
时,n n R a ===, 当a b <
时,n n R b ===, {}max ,R a b ∴=
17、将下列函数按z 的幂展开,并指明收敛范围。
a. 2
0z
z e dz ?;b. 2cos z 。
解: a.2
20!
n
z n z e n ∞
==∑,z <∞,
()2
2221
000000!!!21n n n z
z z z n n n z z z e dz dz dz n n n n +∞
∞∞===∴===+∑∑∑??? z <∞。 b. ()21
cos 1cos 22z z =+,()()()()()2220
1212cos 22!2!n n
n
n n n n z z z n n ∞
∞
==--==∑
∑ z <∞,
()()
2122
0121cos 22!n
n n n z z z n -∞=-∴ =+ <∞∑
。 18、将下列函数按1z -的幂展开,并指出收敛范围。
a. cos z ;
b.
2z z +;c. 225
z
z z -+。 解: a.()()()cos cos 11cos1cos 1sin1sin 1z z z z =+-=---????。
()()()()2011cos 12!n
n
n z z n ∞
=---=∑,()()()()21
11sin 121!n
n n z z n +∞=---=+∑,
()()()()()()221
1111cos cos1sin12!21!n n
n n n n z z z n n +∞
∞
==----=-+∑
∑
1z -<∞。
()21cos1cos 12n n π??-=+ ???Q ,()211sin1cos 12n n π+??
-=-+ ???
。
()()()()22100
221cos 1cos 122cos 112!21!n n n n n n z z z n n ππ∞∞
+==+????++ ? ?????∴=-+-+∑∑ ()0
cos 121!n n n z n π∞
=??
+ ??? =-∑ 1z -<∞。 或:令()cos f z z =,则()()cos 2
n n f z z π
??=+
??
?,()
()1cos 12n n f π??=+
??
?
, 所以()
()()()0
cos 112cos 11!!n n n n n n f z z z n n π∞
∞
==??+ ???=-=-∑
∑ 1z -<∞。 b.
221
11122313
z z z z =-=-?-+++ ()()()100
12111121333n
n
n n n n n z z ∞
∞
+==--??=--=-- ???∑∑ 13z -< c.
()()()2222
1111
25141414
z z z z z z z z -+-==+-+-+-+-+ 22
1
1
11
4
4111122z z z -=
?+?--????++ ? ?????
令2
12z t -??
= ???,()0
1111n n n t t t ∞= =- <+∑Q ()()()222
00111
1124112n n
n n
n n n z z z ∞
∞
==---??
∴ =-= ???-??
+ ???
∑∑,11122z z --< 从而()()()()22200111111254444n n n n
n n
n n z z z z z z ∞∞==-----=+-+∑∑
()()()()21
2110
111144n n n n
n n n n z z +∞
∞
++==----=+∑
∑
()
()()2211
1114n
n n n n z z ∞
++=-??=-+-??
∑
12z -<
进一步,()()
()()21
21
1
111144
n n n n
n n n n z z +∞
∞++==----+∑
∑ ()
()()
()()
()()()111
12
2
221
2
310
2
111111222
n
n
n n n n
n
n n n n n n n z z z ??---??-∞
∞
∞
????
+++-+
===---=
-+
-=-∑
∑
∑
奇数
偶数
所以()()()()1112223102
11252
n
n
n n
n n z
z z z ??--??-∞
????
+-+
=-=--+∑ 12z -<。
19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。
a.21(1)z z z +-,01,1z z <<<<∞;
b.()()
22
25,1221z z z z z -+<<-+。 解: a.
222211212
(1)(1)(1)
z z z z z z z z z +-+==+---。
在01z <<内,0
1111n n z z z ∞
==-=---∑, 22
222021
1111222(1)n n
n n n n z z z z z z z z z ∞∞∞
-==-=-+∴=-=-=---∑∑∑。 在1z <<∞内,1
1z <,
01111111111n n n n z z z z z
z ∞∞
=====--∑∑, 2
2221311111
22(1)n n n n z z z z z z z
∞∞
+==+∴=+=+-∑∑。 b. ()()222
2512
21
21z z z z z z -+=--+-+ 在12z <<内,
12
z <,且211
11z z <,
100111122222
12
n
n n n n z z z z ∞∞
+==??∴=-?=-=- ?-??-∑∑。
()()1222
2201
2
2212
11121111n
n n n
n n z z z z z z ∞
∞
+===?=-=-++∑∑, ()()()21122
01
25121221n n n n n n z z z z z z ∞∞
++==-+∴=----+∑∑。 20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数,并指出成立范
围。 a.
()
2
21
,1z i z =+【
()n n n a z i ∞
=-∞
-∑
】;b.()1
2
11,1z
z e
z --=【
()1n
n n a z ∞
=-∞
-∑
】。
解: a. z i = 的无心邻域为0z i R <-<,
()
()()
2
2
2
21
1
1z i z i z =
-++,且()
2
1
1d dz z i z i ??
=-
?+??
+, ()()()
0111111222212n
n
n n z i z i z i i z i i i i i
∞=--==?=-++-+∑ 【()1
21i =-】 ()()
12
1
12
n n
n n z i -∞
+=--=∑
22z i i -<=。
()
()()()()
111
2
2
2
11
01
111
22n n n
n n n n n z i n z i d
dz z i ---∞∞
++==----=-=-+∑∑,
()
()
()
()()
()111
3
2
2
2
2
1
1
2
11
111
1
221n n n n n n n n n z i n z i z i z -+--∞
∞
++==----∴
=-
=-+∑
∑
()()()
2
4
2
132n n
n n n z i ∞
+=--+-= ∑
02z i <-<。
b.Q 当<∞z 时,0!
n
z
n z e n ∞
==∑,
()()()
110011
!1!1n
z
n n
n n e
n z n z ∞
∞
-==-∴==--∑∑ 01z <-<∞,
()()()
()()()
12
12
02111!12!1n
n
z
n n
n n z e
n z n z ∞
∞
--==---∴-==-+-∑∑ 01z <-<∞。
21、把()1
1f z z
=
-展成下列级数。 (1)在1z <上展成z 的泰勒级数; (2)在1z >上展成z 的罗朗级数; (3)在12z +<上展成(1)z +的泰勒级数; (4)在12z +>上展成()1z +的罗朗级数。
解:(1)在1z <上,011n n z z ∞
==-∑,【11z
-在1z <上解析】。 (2)在1z >上,01111111111n
n n n z z z z z
z
∞∞==??=-?=-=- ?-??-∑∑。 (3)
1
1z
-在12z +<上解析,且112z +<,所以 ()()1
0011111111121222212
n
n
n n n z z z z z ∞∞
+==++??
==?== ?+--+??-∑∑。 (4)在12z +>上,
2
11
z <+,所以 ()()()1
0111111222121111111
n n n n
n n z z z z z z z -∞∞
====-?=-=---+++++-+∑∑。 第四章习题解答
22、确定下列各函数的孤立奇点,并指出它们是什么样的类型(对于极点,
要指出它们的阶),对于无穷远点也要加以讨论: (1)
()
2
211z z z -+;(2)1cos z i +;(3)1
sin cos z z
+。
解: (1)0,,z z i z i ===-是
()
2
2
11z z z -+的孤立奇点且是极点。
()()()2222220
114110z z z z z z z =='????+=+++=≠??????
??Q , 0z ∴=是()2
21z z +的一阶零点,从而是
()
2
2
11z z z -+的一阶极点;
()()()22222211410z i
z i
z z z z z =±=±'????+=+++=??????
??Q , ()()()2222221141z i
z i
z z z z z =±=±''
'????+=+++??????
?
?
()()()3
223
4181880z i
z z z z z i =±??=++++=±≠??
,
z i ∴=±是()2
21z z +的二阶零点,从而是
()
2
211z z z -+的二阶极点。
()
22
11z z z -+Q
在<∞1 2 2 1lim 01z z z z →∞ -=+,z ∴=∞是可去奇点, 四阶零点。 (2)1 cos z i +Q 在z i =-的罗朗展开式()()()2011cos 2!n n n z i n z i ∞ =-=++∑的主要 部分有无穷多项, z i ∴=-是1 cos z i +的本性奇点。 1cos z i +Q 在1z <<∞内解析,1limcos 1z z i →∞=+, ∴∞是1 cos z i +的可去奇点。 (3 ) 1 1 1 sin cos 4z z z z z π= = +? ? ?+ ? ? ? ?? , sin 4z π? ?+ ?? ?的零点,0,1,2,4n z n n ππ=-=±±L ,是1sin cos z z +的极点。 又()4 4 sin cos 1044n n n z z n z z n z z ππππππ==-==-??'??????+=+=-≠ ? ?????? ???, ,0,1,2,,4 n z n n π π∴=- =±±L 是sin cos z z +的一阶零点, 从而是1 sin cos z z +的 一阶极点。 z =∞是 1 sin cos z z +的奇点,但不是孤立奇点,因为在无穷远点的的任 何邻域r z <<∞内,总有其它奇点。 23、求()11z z e f z e -=+在孤立奇点处的留数。 解:10z e +=的解()21.0,1,2n z i n n π=+ =±±L ,是11z z e e -+的奇点。 由于()211lim 1z z z i n e e π→+-=∞+,()21n z i n π∴=+是11z z e e -+的极点。又 ()()() () ()2 212111111n n z z z z z z z z z i n z z i n e e e e e e e π π ==+==+'-++??+= ?-?? - () ()2 221221022 1n z z z z i n e e π ==+-= = =-≠-, ()21,0,1,2,,n z i n n π∴=+=±±L 是11z z e e +-的一阶零点,从而是11z z e e -+的一阶极点。 z =∞不是11z z e e -+的孤立奇点,因为在它的任一邻域r z <<∞内,总有其它的奇点。 由推论2:()()()()21211111 Re 2121 1n n z z z z z z i n z z i n e e sf i n e e π π π==+==+--++= == =-????-' +。 【()()0 41 12Re 2122281z z z n e dz i sf i n i i e ππππ==--=+=?--=-????+∑??】 24、求下列函数在指定点处的留数。 (1) ()() 2 11z z z -+ 在1,z =±∞; (2)241z e z -在0z =,∞。 解:(1)1z =为()()() 2 11z f z z z = -+的一阶级点., 1z =-为()()() 2 11z f z z z = -+的二阶极点。 ()() ()() () 2 2 1 1 1Re 1lim 1lim 4 111z z z z sf z z z z →→∴=-== -++, ()()()()2 2111Re 1lim 1lim 1411z z d z d z sf z dz dz z z z →-→-????-=+==-?? ?-??-+???? 。 由于1z =±已是()f z 的所有有限孤立奇点, ()()()Re Re 1Re 10sf sf sf ∴∞=-+-=????。 (2)()241z e f z z -=在0z =的罗朗展开式为 ()() ()441 4 13222!!4! n n n n n n n n z z z n f z z n n ∞ -+∞ ∞ ===--= =-=-+∑ ∑∑ ()31244 Re 03!33 a sf -∴=-=-?=-。 由于0z =是()f z 的仅有的一个有限孤立奇点, ()()4 Re Re 03 sf sf ∴∞=-= 。 【()231z e f z z -=在0z =的罗朗展开式为 ()() ()331 3 12222!!3! n n n n n n n n z z z n f z z n n ∞ -+∞ ∞ ===--= =-=-+∑ ∑∑ ()2 122Re 022! a sf -∴=-=-?=-】 25、求下列函数在其奇点(包括无穷远点)处的留数,(m 是自然数) (1)1 sin m z z (m 是自然数); (2) () 2 1z e z -; (3)31 sin z e z -。 解: (1)0z =是()1 sin m f z z z =的有限远孤立奇点。在0z =,()f z 的罗朗展开 式为()()()()( )2121001121!21!n n m n n m n n f z z n z n z ∞ ∞ ++-==--==++∑∑。 令211n m +-=,则2 m n = 。 n Q 为非负整数,∴只有m 为偶数时上式才成立。 而当m 为奇数时,211n m +-≠,即()f z 在0z =的罗朗展开式中没有1-次幂项,即10a -=。 ∴当m 为奇数时, ()Re 00sf =。 当m 为偶数时,2m n = 的项是1-次幂项,()()2 111! m a m --=+,所以,此时()()()2 1Re 01! m sf m -= +。 总之,不管m 为偶数或奇数,都有()()()()2 111Re 01! 2m m sf m -+-= ?+。 (2)1z =是()() 2 1z e f z z = -的唯一的有限奇点,且是二阶极点。 ()()()2 21Re 1lim 11z z d e sf z e dz z →??∴=-=??-???? , ()()Re Re 1sf sf e ∴∞=-=- (3)z n π=,0,1,n =±L ,是()1 3sin z e f z z -=的孤立奇点。 ()f z 在z n π=点的罗朗展开式为 ()() () 3 1 1sin n z n n e e f z z n πππ--= -- ()()()()()()()23 335 12!3!13!5!n n n z n z n e e z n z n z n z n ππππππππ?? ---+-+++??????=-??----++?? ???? L L ()()()()()()()23 33 2412!3!1165!n n n z n z n e e z n z n z n z n π π ππππππ?? ---+-+++??-????=?-?? --- ++?????? L L ()()3 24 165!z n z n ππ-?? --- ++????? ? L 在z n π=解析, 且为()z n π-的偶函数,所以它在z n π =处的泰勒展开式中只有()z n π-的偶次项。而