补考监考安排建模

2012河南理工大学第二次建模模拟

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 21

所属学校（请填写完整的全名）：河南理工大学

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期2012 年 07 月 28日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

补考监考安排

摘要

本文解决的是补考监考的具体安排问题。由于考生所补考的科目不尽相同，巡考职能限制以及使教室的个数和老师人数达到最小，为解决此问题，需对科目顺序、考场、考生及监考、巡考老师进行一个合理的安排。我们需建立模型进行求解。

对于问题一：我们首先用excel对考生信息处理，建立各科目间对称矩阵，利用网络图法得出各个科目间的排列顺序。我们对要求进行分析后，认为在满足补考需求的情况下，老师巡考、监考场次极差尽可能小，巡考、监考老师和教室安排的最少为最优解建立模型，用lingo进行求解，得出教室数。继续分配考场，分配巡考、监考老师。并用教室的利用率函数对模型进行评价，用lingo对教室的利用率进行量化。

对于问题二：我们采用了类似问题一方法的分析，用网络图法对另一校区考试科目进行排序，分配考场。在对老师进行分配时，我们利用数据分析得出老师利用度为7179

.1，即一个老师的的监考场数为1次或者2次。两个校区共同分配老师，先分配巡考老师，再分配监考老师。最后利用分配极差最小模型进行评价。

对于问题三：在出现更多的校区情况下，对于其不同校区的需求，是对问题二的一种拓展。我们只需按照处理问题一的类似方法，分三步走。一：利用网络图法对每个学校的科目进行排序，建立每个学区对应科目的对称矩阵，二：对各自校区进行考场安排，三：对整体的巡考、监考老师进行全面系统整体的的安排。

关键字：三步走网络图法对称矩阵教室利用率分配极差

一、问题重述

某次补考共有13门课)13,......,2,1(C C C ，安排在同一天进行，上午两场)2,1(A A ，

下午两场)2,1(P P 。全部考生共745人次（有的学生可能不只考一门）。

可用教室资源包括可容纳42名考生的教室7间)7,......,1(R R ，可容纳45名考生的教室6间)13,......,8(R R 。可安排的监考教师共30人)30,......,1(T T ，其中教师1T 或2T 可以巡视课程6,......,1C C ，3T 或4T 可以巡视课程7C 、8C ，5T 或6T 可以巡视课程13,......,9C C 。另外，还有如下要求：

)1(同一门课安排同一场次考试；

)2(同一学生不能被安排在同一场次参加两门考试（如果出现一学生须参加

5门

或以上的考试可以特殊处理）；

)3(同一班的学生须安排在同一考场； )4(每个考场安排两名教师监考； )5(每门课须安排

1名巡考教师，教师巡考的考场数不限，可以在同一场次巡视

多门课的考试；

)6(多门课程可以安排在同一考场；同一考场尽量少安排不同课程的考试； )7(同一监考教师可以安排多场监考，但教师的监考安排要均衡，即教师监考场

次最大最小极差要尽可能小；

)8(一位教师安排多场监考，场次尽量相邻；

)9(尽可能少的安排教室、教师（监考及巡考）

； )10(考试教室不必排满。

问题1、请根据以上要求提供一份补考安排表，确定每场次考试科目、考生、教室、监考教师和巡考教师。

问题2、如果另有一校区同时安排考试。该校区考试科目包括1C 、......、6C 、14

C 、15C 、16C ，考生为219人次（只能在该校区进行考试），可用教室为可

容纳45名考生的教室3间)

,......,

39

31

(T

T，

R

R。监考教师增加9人)

,

16

,

15

14

(R

其中教师31

T或34

T可以巡视课程14

C，33

C，

C、......、6

T或32

T可以巡视课程1

C。请针对增加校区的情况编制考试安排表，T可以巡视课程15

C、16

35

T或36

除了要求满足以上)

)1( 条件外，还要求

10

(

(监考教师或巡视教师可以安排在两个校区中的任一校区，但同一教师不能被)

11

安排到两个校区监考（或巡视）。

具体数据见附录表1。

问题3、你所建立的数学模型，对于更多校区的情况有无应用价值？

二、问题的假设

(1)要求)3(理解为同一科目的同一班的学生必须安排在同一考场；

(2)要求)6(多门科目可以安排在同一场次，同一考场尽量少安排不同科目的考试，规定同一考场最多只可以安排两门考试。

(3)学校能灵活的应对当出现特殊的情况，如考生挂五科或科目四场次无法安排。

三、符号的说明

四、问题的分析

由于原始数据很多，所以首先进行数据处理。利用excel进行分类，排序与汇总。可得：每一班的补考人次与科目，每一科目补考的人员，每一学生补考的科目与次数三张表。每一班补考人次与科目见附录。

本题分三个步骤，第一确定补考科目的顺序；第二安排考场；第三安排巡考与监考老师。

第一确定补考科目顺序。

首先挑出需要补考5次的同学，可得表1如下：

表1

通过对每一学生补考次数统计表进行分析，可得分别补考4次，3次，2次，1次的同学。根据题目要求)2(，同一学生不可以被安排到同一场次，参加两门

考试。根据补考4次的同学，可以绘制图1如下：

点表示：其代号所代表的科目；

线表示：有同学需要补考这两门。只要有线相连，即表示这两门课，不可以同一时间段进行考试，其考试安排时间应该错开。

图1

从图1中可得：从1

C，任意两门可以在一起考试的科目连线关系。

C到10

根据补考3次的同学，同样绘制相似的图，如图2：

图2

根据图2可得：只要两科目之间有连线，就不可以在一起考试，可以得到不在一起考试的科目之间的关系。

根据对补考4次和补考3次的情况进行分析，可以算出在13门科目中，剩下的可以在同一时间段进行考试的科目之间的连线。再分析需要补考2次的情况，再去掉不可以同时考试的科目之间的连线。可得如表2的结果：0表示两科目之间没有冲突，可以在同一时间进行考试；

1表示两科目之间有冲突，不可以在同一时间进行考试。

表2

为了满足要求)1(和要求)2(，同一门课安排在同一场次，同一学生不会被安排在同一场次参加两门考试，把可以在同一时间进行考试的科目关系找出。又要满足要求)9(，安排尽可能少的巡考老师。因为每个巡考老师负责的科目的不同，尽量使巡考老师负责的科目放在一起考试，这样巡考老师会减少。即1

C到6

C放在一起排序，7

C和8

C放在一起，9

C到13

C放在一起考虑，在进行组合。

从1

C到6

C，5

C和6

C不可以放在一起，2

C和3

C不可以放在一起，4

C可以单独放；7

C和8

C不可以放在一起；从9

C到13

C，9

C单独放，11

C和12

C可以在同一时间考试，10

C和13

C可以在同一时间考试。再根据图3，在三个时间段进行组合。

根据对数据的分析，如果分4场考试，根本达不到要求)2(，肯定会有时间冲突的同学，在同一时间进行考试。也可以根据补考5次的3个同学，每个同学都需要补考科目9，而且科目9 补考人数最多，不可以和任何其他的科目一起考试。所以为实现补考安排，避免同一考生同一时间考两门考试，需安排5场考试，才能实现要求。

考试科目顺序安排如表3：

五、模型的建立与求解

5.1对问题一的求解

第一安排考场。

表2实现要求)1(、)2(、)5(和)9(。为满足要求)3(，同一科目的同一班的补考学生必须在同一考场。根据每一科目的人数，在这一科目下每个班的补考人数，建立如下模型一：

目标函数：使用的考场的个数尽可能的小。

∑=+

=

5

1

) (

min

i

i i

y x

根据已经安排的补考科目的顺序，考虑每一时间段补考的人数小于等于每个时间段考场的总容量。

1, (5)

(i 4245=?+?≤i i i y x D

在同一时间段，42人的考场的个数不可以超过7间，45人的考场的个数 不超过6间。

1, (5)

(i 71 1,...,5)(i 61=≤≤=≤≤i i y x

总结如下：

∑=+=

5

1

)(min i i i

y x

?????

??

??=?+?≤=≥=≤=≥=≤1, (5)

(i 42451,...,5)(i 11,...,5)(i 71,...,5)(i 11,...,5)(i 6i i i i i i i y x D y y x x

用lingo 进行求解，如表4：

表4

每一时段需要教室的数量已知，因为每一时间段的科目表示很多，在考虑每一科目补考人数，与42,45比较，小于，看是否能与同一时段的其他科目合并在一个考场，但假设规定同一考场最多只容纳两门不同的科目。大于42或45，先单独分满一班，再考虑与其他的科目进行合并。在分班时，要满足要求)3(，同一科目同一班必须在一个考场。在分配时，在快分到42,45时，考虑是否把一个班的同学拆开了，如果拆开，先由序号下一位进行补充，在一个新班时，在分配原来将拆开的班级。通常一个班补考的人数并不是很多，至多8个，需要换顺序

的可能不大。在进行分配前，先进行对班级代号进行排序，班级排号见附录，表4。班级分配结果与老师分配结果合并见下面的表5。

第二安排巡考老师和监考老师

根据已算出的补考科目的顺序的安排，可以知道每一时间段，需要几位巡考老师。根据已经安排考场，可知每一时间段需要几位监考老师。进行加总，可知共需要多少次监考。知道从1

C需要巡考2场，从

C到6

C和8

C需要巡考3场，7

C需要巡考3场。只需要5名巡考老师即可。共19个考场，共需38人C到13

9

次监考，除巡考老师外，还有25名监考老师，其中13名需监考2场，其余监考1场即可。巡考老师与监考老师按着编号顺序进行排列。要满足要求)8(同一教师可安排多场监考，场次尽量相邻，按着编号，先配对，18前在连着巡考2次即可，后几位只需两两配对，巡考一次即可。分配结果如下表5。

上午第一场

上午第二场

下午第一场

下午第二场

晚上第一场

表5 表6为安排巡考老师与监考老师的结果：

表6

5.2对问题一的所用模型及其解的评价

为满足要求)9(使用尽可能少的教室，即在教室利用率最大的情况之下，教室的使用也最少，所以建立教室利用率指标模型二进行评价：

∑

=?+?=

13

1

4245 Z max j j

j j

y x C

???????=≤=≥=≤=≥1, (13)

(j 71,...,13)(j 11,...,13)(j 61,...,13)(j 1j

j j j y y x x

用lingo 进行求解：

13593.11=Z

问题一的教室利用率为

58610.019

13593

.11==

M 由于是补考，科目多，但各科目人数不多，而且各教室最多可以容纳两门科目，人数能达到42或45的考场不多，所以%61.58的利用率非常满足要求。教室利用率高了，所用教室就少了，即可达到要求)9(。

5.3对问题二的求解

如果有另一个校区同时安排考试，该校区只考从1C 到6C 、

14C 、15C 和16C 九门考试，共考219人次且只能在该校区进行考试，可用三间可容纳45人的考场，老师增加9名，巡考工作有固定的安排。同问题一，第一个校区一样，分三步进行解决。

第一 确定补考科目的顺序。

由于虽然第二个校区人数少，但是每个学生补考科目分散，根据对数据的分析如下表:7：

表7

0：表示两科目之间没有冲突，可以在同一时间进行考试；

1：表示两科目之间有冲突，不可以在同一时间进行考试。

由上表6可知：在一天进行全部的考试，根本不可能。因为有太多的人考试时间冲突，为满足要求)2(，同一学生不可以在同一时间进行两门考试。所以共安排了7场考试。为满足要求)9(，安排尽可能少的巡考老师与要求)8(老师监考、

巡考的场次尽量相邻，故第二个校区补考科目安排顺序如下表8：

表8

第二安排考场。

由于每个科目补考的人数并不是很多，又要满足规定，一个班最多只有两门科目进行考试，人数之和不会超过45，所以不用考虑要求)3(，同一科目的同一

班必须在同一考场，而且一场考试也只需一个教室即可，分配结果和老师分配结果如下表9。

第三安排巡考老师与监考老师。

第一和第二个校区，虽然学生只能在固定的校区考试，但是老师可要满足要求)

(，老师可以安排在任意一个校区，但同一教师不能被安排到两个校区工作。

11

所以在你补考科目顺序确定，需要的巡考老师已经知道，在考场安排之后，需要的监考老师已经确定。此时，需把第一和第二个校区连起来考虑，安排老师的问题。四种科目各分别需要多少巡考老师，考场确定共需多少监考老师。总需要老师人次除总老师人数为7179

.1。平均每个老师安排1场或2场。先安排巡考老师，再把不需要的可以巡考的老师放在监考老师之列，按照老师的序号，先两两配对，

在进行排列。老师分配结果如下表9与表10：

上午第二场

第二校区

第一校区老师安排

第二校区老师安排

5.4对问题二的所用模型及其解的评价

根据每位巡考、监考老师工作的场次，利用老师分配极差最小指标建模三对问题二进行评价：

∑∑==-=

39

139

1

||B min k k k k

N T

?????

?

?=≥=≤=≥=≤1, (39)

(k 11,...,39)(k 21,...,39)(k 11,...,39)(k 2k

k k k N N T T

用lingo 进行求解得：

648=B

5.5 对问题三的求解

问题三要求，我们在问题一和问题二的基础上进行推广。面对不同校区的学生所需补考的科目时，我们采用三步走来解决问题：一：利用excel ，对学生的数据进行处理，求出我们需要的数据；然后根据处理过的数据，利用网络图法对每个校区的科目进行排序，以满足要求，同一学生不可以在同样时间进行两门考试，建立每个校区对应科目的对称矩阵；利用对称矩阵，再满足要求，所安排的巡考、监考老师尽可能的少，尽量把某类巡考老师所巡考的科目安排在同一时间段，将不同的科目进行人性化的排序，满足要求，同一科目必须在同一时间进行考试；二：在已排好的科目顺序的基础上，根据不同的学校各校区的情况（如教师人数与教室个数等）对各自校区考场进行合理的安排，让其考场的利用率达到

最大，目的是利用最少的考场，要满足规定一个考场至多安排两门科目的考试，还要满足同一科目同一班的同学必须分到一个考场；三：对监考和巡考老师进行安排，要达到全局最优，即要求在建模的的时，保证不同的老师的分配工作的极差值最小，在我们的模型中，即对全部的巡考、监考老师进行全面系统整体的的安排，以满足要去，教师的监考安排要均衡，教室监考场次最大最小极差要尽可能小；而且教室监考的场次尽量相邻，在保持均衡的条件下，各老师在平均工作次数的附近取值时，按照老师的编号进行编排，排在前面的多工作一场，排在后面的少工作一场。像问题二中所要求的老师可以安排在任一校区，但一定分定，同一老师就不能被安排在两个校区工作，只能为一个校区服务。

在我们建立的模型之中，只需根据具体的要求，对已经建立的指标模型进行改进与推广，还是分三步走，就可以得到所需求的补考监考安排，而不用考虑学校的校区的个数。即问题三利用已有模型进行细化可解。

六、模型的评价及改进

6.1模型评价

优点

)1(在满足题目的各种要求的情况下，建立的各种指标模型。将考生的考试

科目顺序、场次安排、班级科目所在的考场进行有效的安排，这样考生可以清楚的了解自己的补考安排，而且不会同一时间安排两场考试；对于老师，可以在保证监考顺利进行的情况下，对于所有的老师，他们的最大最小极差尽可能的小，使老师的平均工作量均衡，最终的考试监考安排使老师监考的场次尽可能相邻；对于老师和学生都是人性化的安排。

()2根据繁杂的数据，在处理的过程中，通过建立对称矩阵，可以方便的查询到不同的科目之间是否可以在同一时间进行考试的关系图；

()3利用我们所建立的模型，根据具体的条件进行拓展，可以很好的解决同一学校更多校区所面对的补考问题。

)4(本文层次分明，逻辑性强，分三步走，确定补考科目顺序，确定考场，安排巡考监考老师，层层递进，将问题分解，简单化，一个步骤一个步骤处理，在用模型指标进行评价，简单易懂，清晰明了。

缺点

由于题目给出的数据存在自身的冲突，4场考试不可能保证同一学生不会在同一时间进行两场考试，在进行处理的时，我们增加了一场考试，以保证同一学生在同一时间不会进行两场考试。否则对一些有冲突的学生，这样的安排是不合理的。在建立模型时，在保证题目数据的正确性的情况下，视具体情况，具体分析，使结果符合现实与逻辑。

6.2 模型的改进

()1针对本文所建立的模型，还有需要改进的地方。在对数据进行处理之后，建立对称矩阵。此时需要对科目进行排序，如果一个科目可以和其他多个科目进

行组合的情况下)851(进行组合进行组合，也可以和可以和如C C C ，我们可以根

据建立的对称矩阵，建立一个相应的障碍函数，如：()()j i C i i C j i C F ,,),(?+=。这样在同一时间段，可以根据二者之间()i i C ,的值，判断二者的关系。

()2对于老师的分配，

文中利用极差最小进行评价，我们可以采用层次分析法，将其极差进行赋值，利用层次分析法相关的算法，算出各个时间段内，各个老师

的最优监考次数，更有利于解决老师分配问题。

七、 参考文献

[1]胡运权，运筹学基础及应用，北京：高等教育出版社，2008。

[2]谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件，北京：清华大学出版社，2005。

[3]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2009。

附录

模型一：

model:

sets:

streak /1..5/:x,y,D;

endsets

data:

D= 139 114 120 244 128;

enddata

@for(streak(i):D(i)<=42*x(i)+45*y(i););

[obj] min=@sum(streak(i):x(i)+y(i););

@for(streak:@bnd(1,x,7));

@for(streak:@bnd(1,y,6));

@for(streak:@gin(x));

@for(streak:@gin(y));

end

模型二：

model:

sets:

number/1..13/:C,x,y;

endsets

data:

C= 34 99 45 85 40 0 42 35 128 117 42 36 42;

x=1 3 0 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1;

y=0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0;

enddata

A=@sum(number(i):c(i)/(42*x(i)+y(i)*45););

end

模型三：

model:

sets:

Number/28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39/:T,D; endsets

data:

T= 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1;

D= 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1;

enddata

B=@sum(number(i):@sum(number(j):@ABS(T(i)-D(j)));); end