《数形结合思想》在解题中的应用

浅谈数形结合思想在解题中的应用

一、数形结合思想的提出

在高中数学解析几何这一模块中， 处理问题的方法常见有代数法和几何法。 代数法是从 “数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成， 相得益彰。 现举例如下：若直线 y = x ? k 与曲线x - - y 2恰有一个公共点，求 k 的取值范围. 解：(代数法)曲线方程可化为x 2 ? y 2 =1(x _ 0)，把y = x ? k 代入x 2 ? y 2二1(x _ 0) 可得：Zx 2 +2kx+k 2 -1 = 0( xZ0)，由题意可知方程仅有一个非负根

①当方程有等根时，即厶=(2k)2 -8(k 2 -1)=0,可得k =「丿2，当k =衣2时，方程可化 为2x 2 ^2x ^0，得x = 不合题意；当k - - 2时，方程为2x 2 - 2、、2x ? 1 = 0 得x -符合题意，可知k = -羔2 ；

2

②当方程根为x = 0时，得k 2 -1 =0，k = 一1，当k 二-1时，方程为2x 2 -2x = 0，得方 程两个根为& = 0，X 2 = 1不合题意应舍去；当k = 1时，方程为2x 2 2^ 0，得方程两 个根为捲=0， X 2 = -1适合题意，可知k= 1 ；

综上所述：所求 k 的取值范围为k =或-1 ：：： k 乞1。

(几何法)曲线x = ..1 - y 2是单位圆x 2 y 2 =1的右半圆(x - 0), k 是直线

^x k 在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如 图所示知：直线与曲

线相切时，

k 「2， 由图形：可得k = —V2或 一1 ： k 乞1。

上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即 一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有 极为独特的指导作用。

二、数形结合思想的概述

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学 问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，

将数的问题利用形来观察， 揭示 其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，

分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式 巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合” ，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为

③当方程根为一正一负时，只需

NX 2 k 2 -1 2

:::0，可得-V k 1。

数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是

将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结

论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

三、数形结合思想解题方法指导

1转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股

定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2 ?运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，

反映几何图形内在的属性。

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应

的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分

析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

四、数形结合思想方法的应用

1化静为动用图像

例1已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为(-1,1) , (2,2),若直线l : x m^ m = 0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围。

分析：题中直线l: x my m = 0是一条过定点的动直线系，而有向线段PQ是一条定的有向线段，要使直线I与有向线段PQ延长线相交，可先找到I过一个临界点Q,再从运动

观点促使直线I的斜率在某一范围内，从而可求实数m的取值范围。

1

解：直线I的方程I : x my 0可化为点斜式：y ? 1 (x- 0)，易知直线I过定

m

1

点M (0,-1)且斜率为，因为I与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ

m

1 平行时，直线的斜率趋近于最小；当过点M,Q时，直线I的斜率趋近于最大，又kp Q二

3

3

k

MQ = 2，设直线l的斜率为k，由k pQ

：：： k ::: k“Q

1 13 2

得所以_ 3 ：：： m ■■-—

3 m2 3

评注：含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程?本题是

1

化为点斜式方程后，可看出交点M(0,-1)和斜率，此类题目一般结合图形化静为动，

m

以动求解，可判断出斜率的取值范围。

2、破解疑难构图像

sin x + 2

例2求函数y 的值域。

cosx - 2

分析：本题可以把函数化为关于x的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，

对学生的运算能力有较高要求，有一定难度。此题可看成过两点M( cosx,si nx),P(2,-2)

构成直线的斜率的范围，又M ( cosx,sinx)在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值

域。

解：y二sinx 2

的形式类似于斜率公式

k = y2―y i

COSX-2 血-X i

???函数值域为［二7，土二］

3 3

评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，考查学生的数形结合的能力。

在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的

图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。

3、寻求正解配图像

例 3 设A={X| -2 乞x^a}，B={y| y = 2x 3,x A}，c={z| z = x2,x A}，若C B，

求实数a的取值范围。

p

分析：解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合 C,进而用不等式将

C - B 这一集合语言加以转化。

解：??? y =2x 3在［-2, a ］上是增函数，??? B=｛y|乞 y 乞 2a ? 3｝。

① 当一2乞a < 0时，如图1, a 2乞z 乞4，即｛ z| a 2空z 乞4 ｝o

1

要使C B ，必须且只需2a ? 3 _ 4，解得a ，与-2乞a 乞0矛盾。 2

② 当0 ：：：a 乞2时，如图2, 0乞z 乞4，即｛ z| 0乞z 空4｝.

"2a + 3Z4

1 要使C 5 B ，必须且只需 ，解得 a 乞2。 QEa 兰

2 2

③ 当 a - 2时，如图 3, 0 — z — a 2，即｛ z| 0 - z — a 2｝。

a 2

兰2勺+ 3 要使C B ，必须且只需 ，解得2 ：：： a 乞3。

12

④ 当 a ：：： -2 时，A=〔r ，此时 B =C =_ , C 二 B 成立。

— —1

综上所述，a 的取值范围是(-：：，-2)一.［ ,3］。

评注：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么， 然后再把集合语言“翻译”为数学语言， 进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。

对于二次函数在闭区间上的最值问题，

应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系， 借助

图象的直观形象，达到解决问题的目的。

4、观其意义想图像

例4已知复数z 满足z-2-2i ，求z 的模的最大值、最小值。 分析：由复数z 满足z-2-2i = J2，可知有明显的几何意义，即复数z 在以(2,2)为圆心, 作出函数z ^x 2的图象，其定义域右端点 x = a 有三种不同的位置关系

:

以,2为半径的圆上，通过数形结合，进而可求 z 的模的最大值、最小值。

评注：二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题， 利用可行域可以求 目标函数的最值，属于典型的数形结合的案例。 值得注意的是，目标函数对应的直线与边界 直线斜率的大小关系用于确定最优解的正确位置应仔细观察各直线的倾斜程度，

准确判定可 行域内的最优解。

总之，数形结合思想是数学中基本而又重要的思想， 是解答数学试题的的一种常用方法

与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效。数学家华罗庚曾指出：

“数缺形时 少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。 ”可见数形结合的思想可以 使某些抽象的数学问题直观化、 生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题 的本质。在高考复习时， 同学们必须随时注意运用数形结合思想，

复习中要以熟练技能、方

法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。 解：由条件可知复数z 有明显的几何意义，它表示复数z 对应的点到复数2 2i 对应的点之 间的距离，因此满足z-2-2i = J2的复数z 对应的点Z ，应在以（2,2）为圆心，以为 半径的圆上，如图所示：而 z 表示复数z 对应的点Z 到原点0的距离，显然，当点 Z 、圆 心C 、点0三点共线时，z 取得最值，此时図斷「2, |z|ma x = 3、、2,

评注：本题还可以令 z = a bi ，利用代数思想求解模的最值。但是 利用复

数的几何意义，借助图形利用数形结合是解决复数最值问题最有 效的途径，

它将代数问题转化为几何问题，求解直观、形象，优化了解 题过程。

5、结论模糊画图像

x_1,

一 I ' 例5 （08年高考湖南卷理3改编）已知变量x 、y 满足条件 X-y^O, x 2y _9 _ 0,

求x y 的最大值.

分析：本题实质是线性规划问题，运用图像画平面区域，再求线性目标函数的最值。 解：如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线） ，贝U z=x ? y 在A 点处取得最大值,

f x - v = 0

由《 y 得A (3, 3),故最大值为3+ 3=6.

x 2y-9=0