圆的方程求法分类解析
圆的方程求法分类解析
圆的方程是解析几何中一类重要曲线方程,是高考的必考内容之一,本文将圆的方程的求法作以分类解析,供同学们学习时参考.
一、直接法
根据条件利用圆的有关性质,求的圆心坐标和半径,从而写出圆的方程的方法. 例1已知圆C 的圆心与点(2,1)P 关于直线1y x =+对称.直线3430x y ++=与圆C 相交于B A ,两点,且6=AB ,求圆C 的方程.
分析:利用点关于直线对称以求得圆心,利用点到直线的距离公式及垂径定理易求的半径,从而求出圆的方程.
解析:设圆心C (,a b ),半径为r ,则12
122
1112
b a b a ++?=+???-??=-?-?,解得a =0,b =3,
∴C (0,3).
由点到直线的距离公式得,圆心C 到直线34110x y +-=距离为
d =
2
2
|30433|
34
?+?++=3,
由垂径定理得,2r =22
||(
)2
AB d +=18,
∴圆C 的方程为: 22(3)18x y +-=.
点评:若根据条件利用圆的有关性质,易求的圆心坐标和半径,常用直接法.
二、待定系数法
例2 已知圆C 经过A (-2,4),B (3.-1)两点,且在x 轴上截得的弦长等于6,求圆C 的方程.
分析:求过两已知点的圆的方程问题,用带到系数法,设圆的一般方程形式.
解析:设圆C 的方程为:2x +2
y +Dx +Ey +F =0, 圆C 经过A (-2,4)
,B (3.-1), ∴2
)2(-+24D 2-+E 4+F =0 ①,
2
3+2)1(-+D 3E -+F =0 ②
令圆方程中y =0得,02
=++F Dx x ,
设方程两根为1x ,2x ,则1x +2x =-D ,1x 2x =F ,
∴||21x x -=211)(x x -=212
214)(x x x x -+=F D 42-=6 ③
由 ①②③联立解得?????==-=086F E D 或??
?
??-==-=842F E D
∴圆C 的方程为:2x +2y +x 6-+y 8=0,或2x +2y +x 2-+y 4+8-=0,
点评:求圆的方程的常用方法是待定系数法,若已知圆心或半径或在解题过程中需要用到圆心或半径,如已知弦长、相切等,则将圆的方程设成标准方程形式;若已知条件与圆
心和半径无关,则设圆的一般方程.
三、圆系法
经过两圆1C :2x +2y +x D 1+y E 1+1F =0和圆2C :2x +2y +x D 2+y E 2+2F =0交点的圆系方程为:222211122()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1λ≠-).注意包括圆1C 不包括圆2C .
经过直线:0Ax By C ++=与圆:220x y D x Ey F ++++=交点的圆系方程为:
2
2
()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.
例3求过直线240x y ++=和圆:222410x y x y ++-+=的交点,且面积最小的圆的方程.
分析:本题是过直线与圆的交点的圆的方程问题,可用圆系法.
解析:设所求圆的方程为22241(24)0x y x y x y λ++-++++=,即
2
2
2(1)(4)410x y x y λλλ++++-++=,
所以所求圆的半径为r =22
14(1)(4)4(41)2
λλλ++--+
=
2
1516162
λλ-+ 当λ=
85
时,m in r ,圆的面积最小,
∴所求圆的方程为2
2
26123705
5
5
x y x y ++
-
+
=.
点评:若所求圆过两圆的交点或以直线与一个圆的交点,常用圆系法,本题也可用直接法,因以直线被圆截得的弦为直径的圆半径最小,此时圆面积最小,故可求出直线与圆的交点,从而求出圆心与半径,写出圆的方程.
在求圆的方程时,根据已知条件,选用合适的方法求解,用待定系数法时,注意方程类型的选定.
最新圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。 圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是: 1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1
圆的方程经典题目带答案
圆的方程经典题目 1.求满足下列条件的圆的方程 (1)过点A(5,2)和B(3,-2),且圆心在直线32-=x y 上;(2)圆心在835=-y x 上,且与两坐标轴相切;(3)过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;(4)与y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且直线 x y =截圆所得弦长为72;(5)过原点,与直线1:=x l 相切,与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切;(6)以C(1,1)为圆心,截直线2-=x y 所得弦长为22;(7)过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点,且面积最小的圆的方程. (8)已知圆满足①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0,求该圆的方程. (9)求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆(1)求实数m 的取值范围 (2)求该圆半径r 的取值范围(3)求面积最大的圆的方程(4)求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
(1)过)4,3(-的切线方程(2)过)7,5(的切线方程、切线长;切点弦方程、切点弦长 (3)以)2,1(为中点的弦的方程 (4)过)2,1(的弦的中点轨迹方程 (5)斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点,O 为坐标原点,若OQ OP ⊥,求实数m 的值. 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点,求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上,被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求: (1)通过圆心的反射线方程,(2)在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O (1)判断两圆的位置关系 (2)求它们的公共弦所在的方程 (3)求公共弦长 (4)求公共弦为直径的圆的方程. 题型五、最值问题 思路1:几何意义 思路2:参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x (1)求 x y 的最小值 (2)求2 2y x ++32-y 的最值;(3)求y x 2-的最值(4)|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++.(1)证明:不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交(2)求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A (1,0),B (-1,0)两点,已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点,PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线,A 、B 是切点, C 是圆心,那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的互相垂直的弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________
圆锥曲线标准方程求法(学生版)
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18,)0,4(),0,4(B A -,求点C 的轨迹方程。 【变式】:在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的一个焦点为()0,1,点??? ? ??26,23M 在椭圆上,求椭圆C 的方程; 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=,定点2(1,0)F .动圆M 过点F 2,且与圆F 1相内切.求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量, ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=,且8||||=+.求点),(y x M 的轨迹C 的方程; 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为 2 ,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,椭圆G 的方程.
2.已知椭圆1C :22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ,过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆1C 的方程. 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C 的方程. 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=(,0a b >>)过2)M ,(6,1)N 两点,O 为坐标原点,求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
圆与方程知识点小结
圆与方程 2、1圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2、2点与圆的位置关系: 1. 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : (1)点在圆上 d=r ; (2)点在圆外 d >r ; (3)点在圆内 d <r . 2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2、3 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . 当042 2 >-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心? ?? ??--2,2 E D C ,半径2 42 2F E D r -+= . 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点?? ? ? ?- - 2,2 E D . 当0422<-+ F E D 时,方程无图形(称虚圆). 注:(1)方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0 =B 且 ≠=C A 且 042 2 AF E D -+. 圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A 2、4 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 (1)若2 2 B A C Bb Aa d +++= ,0??>相离r d ; (2)0=???=相切r d ; (3)0>???<相交r d 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组???=++++=++0 2 2 F Ey Dx y x C By Ax 求解,通过解 的个数来判断: (1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点),直线与圆相交;