江苏省师范大学附属中学2015年春季八年级数学校本课程

“卓越思维课程”之——数学校本教材

八年级下册

前言

数学是重要的，它是社会生活和科学研究不可缺少的工具、语言，同时，又是我们每一位公民的必备素养，它对培养人的逻辑思维和创新能力有着不可以替代的作用。

随着课程改革的推进，校本课程开发已经成为我国当前课程改革的一项重大举措。实施校本课程是实现我校的办学理念和培养目标，发展办学特色的有效途径；实施校本课程能更好地满足学生的兴趣和需要，促进学生的个性发展。为了全面实施学校校本课程的开发，进一步搞好课题研究工作，根据课改精神，编制我校校本课程开发方案。

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．

中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法．

表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识．

那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质．数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些．

第一讲整体代换思想（一）——————————4 第二讲整体代换思想（二）——————————6第三讲数形结合思想（一）——————-——— 8 第四讲数形结合思想（二）——————————10 第五讲化归与转化思（一）——————————12第六讲划归与转化思想（二）—————————14 第七讲分类讨论思想（一）——————————16 第八讲分类讨论思想（二）——————————17 第九讲类比思想（一）————————————18 第十讲类比思想（二）————————————20 第十一讲方程思想（一）——————————— 23 第十二讲方程思想（二）———————————-25

编写人员：

姜平安于怀文姚静

孟祥翠刘冰陈军海

张平许俊波刘林

第一讲整体代换思想（一）

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想典型例题解析：

【例1】已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则24

x x -

+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7

相应练习：

1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（）．

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．4

2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=

总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。

【例2】.已知

114a b -=，则

2227a ab b

a b ab

---+的值等于（） A.6 B.6- C.

125 D.2

分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出

a b

-的形式，再整体代入求解．

【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．

总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．

巩固练习：

1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32

259m m m +--的值.

2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.

总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。通常来讲技巧性还是蛮强的。

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想典型例题解析：【例4】已知241

x y k x y k +=+??+=+?，且03x y <+<，则k 的取值范围是

【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组35

x ay x by -=??+=?的解为56x y =??=?，那么关于x ，y 的

二元一次方程组

3()()5

()11

x y a x y x y b x y +--=??

++-=?的解为为

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

【例6】．解方程 225

23423x x x x

+-=

分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．

总结：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2

234y x x =+-，将方程变形为5

y y =

+来解．

第二讲整体代换思想（二）

三．函数与图象中的整体思想典例解析：

【例7】已知y m +和x n

-成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式

总结：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．四．几何与图形中的整体思想【例8】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=

分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将

12∠+∠视为一个整体，

那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．

说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．【例9】．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为．

说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例10】．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．

说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF

+转化为FG这一整体，从而达到了解决问题的目的．

用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．

巩固训练：

1．当代数式a-b的值为3时，代数式2a-2b+1的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0

3．当x=1时，代数式a x3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式a x3+bx+7的值为( ) A．7 B．10 C．11 D．12

4．若方程组

31,

x y k

x y

+=+

的解x，y满足0

A．－4－4

5．(08芜湖)已知11

3 x y

，则代数式

2142

x xy y

的值为_________．

6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则

-=_____．

7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=___．

8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2

10．(07泰州)先化简，再求值：2

412

4422

a a a a a

-÷

-+--

，其中a是方程x2+3x+1=0的根．

第三讲数形结合思想（一）

一、知识链接

数形结合思想是数学中重要的思想方法．它根据数学问题中条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握

二、典例解析

例1、当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_________．

例2、如图，函数y 1＝x 和y 2＝1

3x ＋4

的图象相交于(－1，1)，(2，2)两点．当y 1>y 2时，x 的取值范围是

例3、已知不等式组0

x a x ->??->?的整数解共有2个，则a 的取值范围是

总结：数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．

三、巩固练习

1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2

a a

b +-=_________． 2、如图，已知函数y=x+b 和y=a x+3的图象交点为P ，则不等式x+b>a x+3 的解集为__________． 3、如图，方程组21

1y x y x =-??

=--?

的解是__________．

4、有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方

形，如图2．

用两种不同的方法计算图2中正方形的面积你可以得出的一个等式为： 5、如图,C 为BD 上的一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x .

(1)用含x 的代数式表示AC+CE= . (2)当点C 满足时时，AC+CE 的值最小；

(3)根据(2)规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.

第四讲数形结合思想（二）

一、知识链接

华罗庚先生曾指出：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．

二、典例解析

例1、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为5．

分析：要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出DQ+PQ的最小时Q点位置是解题关键．

例2、从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE 表示y与x之间的函数关系．

（1）小明骑车在平路上的速度为km/h；他途中休息了h；

（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

三、巩固练习

1、某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360 km外的农村采访，全程的前一部分为

高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，

汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图Z3－6，则下列结论正确的

是( ) A．汽车在高速公路上的行驶速度为100 km/h

B．乡村公路总长为90 km

C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km/h

D．该记者在出发后4.5 h到达采访地

2、如图，在□AOBC中，对角线AB、OC交于点E，双曲线y＝

经过A、E两点，若□

AOBC的面积为18，则k＝_______．

3、已知反比例函数

＝的图像与一次函数y2＝x＋1的图像的一个交点的横坐标是－3．（1）求k的值；

（2）根据反比例函数图像回答下列问题：

①指出当x＜－1时，

y的取值范围；

②指出当

y＞3时，x的取值范围；

③指出当

y＞

y时，x的取值范围. －3

第五讲化归与转化思（一）

一、知识链接

化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。

二．典例解析

例1.解二元一次方程组

34(1)

1(2) x y

x y

+=---?

+=---

例2.解方程解方程：﹣1=，

例3.已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求这个一次函数的解析式．

三、巩固练习：

1..若点A(2，4)在函数y ＝kx －2的图像上，则下列各点在此函数图像上的是 ( ) A ．(1，1)

B ．（－1，1)

C ．(－2，－2)

D ．（2，－2)

2..若a ＜b ＜0，则下列结论中正确的是（）（A ）a ＋b ＜－a ＋b ＜a －b ＜－a －b （B ）a ＋b ＜a －b ＜－a ＋b ＜－a －b （C ）－a －b ＜a －b ＜－a ＋b ＜a ＋b （D ）－a －b ＜a ＋b ＜－a ＋b ＜a －b

3.已知（x+y ）2=29，xy=2，求x 2+y 2的值。

5.已知012=-+x x ,求2009223++x x 的值。

6.计算：（1）．1111＋－－－＋a a a a （2）如果x ＋y ＝4、xy ＝3；求＋y x x y 的值

7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值；（2）求正比例函数y=kx 的解析式；

（3）试判断点B （2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．

第六讲划归与转化思想（二）

一．知识链接

数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。

二．典例解析

例1.已知直线421+=x y x 轴、y 轴的交点分别是B 、A ，直线32

2-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别是D 、C 。求四边形ABCD 的面积.

例2.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．空调彩电进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台） 6100 3900

设商场计划购进空调x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y 元．（1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可供选择？

（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？

三．巩固练习：

1.已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是

．

2.如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B 离点C 的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点C,需要爬行的最短路径是多少?

3.甲乙两个仓库要向两地A.B 两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥；A 地需70吨水泥，B 地需110吨水泥；两库到A 、B 两地的路程和运费如下表∶(1) 设甲库运往A 地水泥X 吨，求总运费（Y 元）关于X 的函数关系式；(2) 当甲、乙两库各运往A 、B 两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的运费是多少？

4，如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC 的长。

路程（千米）

运费（元/吨千米）

甲库

乙库甲库乙库 A 地 20 15 12 12 B 地

一、知识链接

分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想．分类思想的实质是按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．

引起分类讨论的主要原因：(1)概念本身是分类定义的(如绝对值)；(2)某些公式、定理、性质、法则是有条件和范围限制的；(3)题目条件和结论的不唯一；(4)含有字母系数的问题，需对该字母的不同取值范围进行讨论；(5)图形的位置和形状不确定．

分类讨论思想的解题策略：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(选择分类标准，理清分类界限，不重复，不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并作出结论.

二、典例解析

例1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。例2、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 例3、已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足065422

=+-+

-y y x ，则第

三边的长为_____________。

三、巩固训练

1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________

2.在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

3. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

一、知识链接二、典例解析

例1 若点A 、B 、C 在数轴上分别表示数-1、5、x ，且满足AC ≧3BC,求x 的取值范围.

例2：

一次函数

y=kx+b 的自变量的取值范围

是-3≤x ≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y ≤-2 ，则这个函数的解析式。

三、巩固训练

1、(2014·绥化)在一条笔直的公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲、乙两人同时分

别从A ，B 两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C 村，最终到达C 村．设甲、乙两人到C 村的距离y 1，y 2(km )与行驶时间x(h )之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：

(1)A ，C 两村间的距离为 km ，a ＝；

(2)求出图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)乙在行驶过程中，何时距甲10 km.

A B -1

第九讲类比思想（一）

知识链接：

所谓类比是这样的一种推理，它把不同的两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。它既不同于演绎推理从一般推导到个别，也不同于归纳推理从个别推导到一般，而是从特定的对象或领域推导到另一特定对象或领域的推理方法。

类比推理的基本原理可以用下列模式来表示：

A对象具有属性a、b、c，另有属性d，

B对象具有属性a、b、c，

===============================

所以，B对象具有属性d。

上述的“A”、“B”是指不同的对象：或是指不同的个体对象，比如地球与太阳；或是指不同的两类对象，比如植物类与动物类；或是指不同的领域，比如宏观世界与微观世界。类比推理的应用场合是多种多样的，有时也可以把某类的个体对象与另—类对象进行类比，例如，为了弄清某种新药物在人类身上的效用和反应如何，往往是用某类动物个体来做试验，然后通过类比求得答案。

类比的结论是或然的。类比的结论之所以具有或然性主要是由于以下两方面的原因；一方面是因为对象之间不仅具有相同性，而且具有差异性。就是说，A，B两对象尽管在一系列属性（a、b、c）上是相似的，但由于它们是不同的两个对象，总还有某些属性是不同的。如果d属性恰好是A对象异于B对象的特殊性，那么我们作出B刘象也具有d属性的结论，便是错误的。例如，地球与火星尽管它们在一系列属性上是相似的（太阳系的行星，存在着大气层，适于生命存在的温度等等），但是地球上有生物，能不能说火星上也有生物呢?不能，因为火星还有不同于地球的特殊性。航天科学考察表明，火星上并未发现什么生物。另一方面，对象中并存的许多属性，有些是对象的固有属性，有些是对象的偶有属性。比如，血液循环是人体的固有属性，而吃了鸡蛋产生过敏反应，这是个别人身上的偶有属性。如果作出类推的d属性是某一对象的偶有属性，那么另一对象很可能就不具有d属性。

为了使类比在科学发现中发挥有效的作用，人们进行类比推理时应当注意以下的原则：第一，类比所根据的相似属性越多，类比的应用也就越为有效。这是因为两个对象的相同属性越多，意味着它们在自然领域（属种系统）中的地位也是较为接近的。这样去推测其他的属性相似也就有较大的可能是合乎实际的。例如十七世纪惠更斯的波动说，是通过光与声音进行类比提出来的。当时发现声音有直线传播、反射、折射等现象，同时又有波动性，光也有直线传播、反射、折射等现象。于是推出，光也有波动性。由于当时惠更斯没有注意到光的干涉现象，加之其他原因，使得光的波动说一度受到了冷落。到了十九世纪，英国的托马斯·扬，进一步将光和声音进行类比，在类比中引进了波长概念，解释了光和声音的干涉现象，提出了横波概念，于是恢复了被人冷落—百多年的光的波动说，使光的波动说进一步被确认。

第二，类比所根据的相似属性之间越是相关联的，类比的应用也就越为有效。因为类比所根据的许多相似属性，如果是偶然的并存，那么推论所依据的就不是规律的东西，而是表面的东西，结论就不大可靠了。如果类比所依据的是现象间规律性的东西，不是偶然的表面的东西，那么结论的可靠性程度就较大。

第三，类比所根据的相似数学模型越精确，类比的应用也就越有成效。因为只有在精确的数学模型之间作出类比，才能把其中相关的元素分别地准确地对应起来，才能较为有效地作出新的发现。

例题解析：

第十讲类比思想（二）

分式与分数的类比

巩固练习

1.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即”“”“”“”“SSS AAS ASA SAS ,,,）和直角三角形全等的判

定方法（即”

“HL ）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究。【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC ?和DEF ?中，,,EF BC DF AC ==

,E B ∠=∠然后，对B ∠进行分类，可以分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探

究。

B F