最新抛物线经典性质总结教学内容

2

124p x =;

3. 2

12y y p =-;

4. '90AC B ∠=;

5. ''90A FB ∠=;

6. 123222()2sin p p

AB x x p x α

=++=+=

; 7.

112

AF BF P

+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'

A 三点共线；

10. 2

2sin AOB P S α

=；

11. 23()2

AOB S P

AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=-；1cos P

BF α=+；

13. 'BC 垂直平分'

B F ；

14. 'AC 垂直平分'

A F ；

15. '

C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥；

17. 11

'('')22

CC AB AA BB =

=+；

18. AB 3

P K =

y ； 19. 2p 22

y

tan =x -α;

20. 2

A'B'4AF BF =⋅; 21. 1

C'F A'B'2

=

. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00

性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛

-

0,2p 在准线上． 证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB 是抛物线px y 22

=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，

l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有

结论6P A ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．

结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ． 结论2

FB FA = 结论11PAB S ∆2min

p =

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=

，2

2

1y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． 结论14 PFB PFA ∠=∠

结论15 点M 平分PQ

结论16 2

PF =

相关考题

1、已知抛物线y x 42

=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ， （1）证明：AB FM ⋅的值；

（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．

2、已知抛物线C 的方程为y x 42

=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； （1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；

（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．

3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42

=上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点

()n n n t s B ,， （1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）

（2）取n

n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：

122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）

—南 昌 大 学 考

试 试 卷—

【适用时间：20 13 ～20 14 学年第 二 学期 试卷类型：[ B ]卷】