2018年全国二卷数学(含详解答案)

2018年全国二卷数学(含详解答案)

2018年全国二卷数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共

60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．

12i

12i

+=-

A ．

43i 55-- B ．43i 55

-+ C ．

34i 55

--

D ．

34i 55

-+

2．已知集合(){}2

23A x y x y x y =+∈∈Z Z

，≤，，，则A 中元素的

个数为

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4 3．函数

()2

e e x x

f x x --=

的图像大致为

4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0 5．双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>3

线方程为 A ．2y x

= B ．3y x

= C ．2y =

D ．3y x =

6．在

ABC

△中，

5

cos

2C 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30

C 29

D ．25

7．为计算

11111123499100

S =-

+-++-…，设计了

右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中

取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的

开始0,0

N T ==S N T =-S 输出1i =100

i <1

N N i

=+

11

T T i =+

+结束

是否

和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．1

12 B ．114 C ．115

D ．118

9．在长方体11

1

1

ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1

3AA =，则异

面直线1

AD 与1

DB 所成角的余弦值为

A ．15

B 5

C 5

D 2

10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值

是

A ．π

4

B ．π2

C ．3π4

D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足

(1)(1)

f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…

A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50 12．已知1

F ，2

F 是椭圆

22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左、右焦点，

A

是C

的左顶点，点P 在过A

3的直线

上，12

PF F △为等腰三角形，12

120F F P ∠=?，则C 的离

心率为

A ． 2

3

B ．12

C ．13

D ．14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线

2ln(1)

y x =+在点

(0,0)

处的切线方程为

__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥??

-+≥??-≤?

，

，， 则z x y =+的最大值

为__________．

15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．

16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余

弦值为78

，SA 与圆锥底面所成角为45°，若

SAB

△的面积为515，则该圆锥的侧面积为

__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。第17～21题为必考

题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．学科*网（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记n S为等差数列{}n a的前n项和，已知17

a=-，

315

S=-．

（1）求{}n a的通项公式；

（2）求n S，并求n S的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投

资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归

模型．根据2000年至2016年的数据（时间

变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：?30.413.5y

t =-+；根据2010年至2016年的数据（时

间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：?9917.5y

t =+．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线2

4C y

x

=：的焦点为F ，过F 且斜率为

(0)

k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．

（1）求l 的方程；学科&网

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）

如图，在三棱锥

P ABC

-中，

22

AB BC ==，

4

PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，

求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．

P

O

M

21．（12分）

已知函数2

()e

x

f x ax =-．

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题

中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为

2cos 4sin x θy θ

=??

=?，（θ为参数），直线l 的参数方程为 1cos 2sin x t αy t α

=+??

=+?，（t 为参数）．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|f x x a x =-+--．

（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题

13．2y x = 14．9 15．12- 16．2π

三、解答题 17．解：

（1）设{}n

a 的公差为d ，由题意得1

3315a d +=-．

由1

7

a

=-得d =2．

所以{}n

a 的通项公式为29

n

a n =-．

（2）由（1）得228(4)16

n

S

n n n =-=--．

所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为?16．

18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基

础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1

y=-+?=(亿元)．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?9917.59256.5

y=+?=(亿元)．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-+上下．这说明利用2000年至2016 y t

30.413.5

年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建

立的线性模型?9917.5

=+可以较好地描述2010

y t

年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．学科*网

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：

（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1

2

2

1

(,),(,)A y x y x B ，

由2

(1),

4y k x y x

=-??

=?

得2

2

22(24)0

k x k x k -++=．

2

16160

k ?=+>，故

1222

24

k x k x ++=

．

所以

1222

44

||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=

．

由题设知

22

44

8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．

因此l 的方程为1y x =-．

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以

AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．

设所求圆的圆心坐标为0

(,)x y ，则

0022

0005,

(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=

+??解得00

3,

2

x

y

=??

=?

或00

11,

6.

x y =??

=-?

因此所求圆的方程为

22(3)(2)16

x y -+-=或

22(11)(6)144

x y -++=．

20．解：

（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以

OP AC

⊥，且23OP =．

连结OB ．因为22

AB BC AC ==，所以ABC △为等腰

直角三角形，

且OB AC ⊥，122OB AC ==． 由2

22

OP

OB PB +=知PO OB ⊥．

由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．

（2）如图，以O 为坐标原点，OB

uu u r

的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．

由

已

知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),

O B A C P AP -=u u u r

取

平面PAC 的法向量

(2,0,0)

OB =u u u r

．

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)

AM a a =-u u u r

． 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．

由

0,0

AP AM ?=?=uu u r uuu r

n n 得

2230(4)0

y z ax a y ?+=??+-=??，可取

3(3,)

a a a =--n ，

所以

2

2

2

23(cos ,23(4)3OB a a a

=

-++uu u r

n

由已知可得3|cos ,|OB =

uu u r n ．

222

23|4|323(4)3a a a a --++．解得4a =-（舍去），4

3

a =． 所以83434

()333

=--n ． 又

(0,2,23)

PC =-u u u r

，所以

3cos ,4

PC =

uu u r n ．

所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3．

21．解：

（1）当1

a =时，()1

f x ≥等价于2(1)e 10

x x -+-≤．

设

函

数

2()(1)e 1

x g x x -=+-，

则

22()(21)e (1)e x x

g'x x x x --=--+=--．

当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x

h x ax -=-．

()

f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)

+∞

只有一个零点．

（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当

a >时，

()(2)e x

h'x ax x -=-．

当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故

2

4(2)1e a h =-

是()h x 在[0,)+∞的最小值．

①若(2)0h >，即2e 4

a <

，()h x 在(0,)+∞没有零点；

②若(2)0h =，即

2

e 4a =

，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；

③若(2)0h <，即2e 4

a >

，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)

有一个零点， 由（1）知，当

x >时，

2

e x x >，所以

33342241616161

(4)11110

e (e )(2)a a a a a h a a a

=-=->-=->．

故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4

a =

．

22．解：

（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=．

当

cos 0

α≠时，l

的直角坐标方程为

tan 2tan y x αα

=?+-，

当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80

t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1

t ，2

t ，则1

2

t t

+=．

又由①得1224(2cos sin )

13cos t t ααα

++=-

+，故2cos sin 0αα+=，于

是直线l 的斜率tan 2k α==-．

23．解：

（1）当1a =时，24,1,()2,12,

26, 2.x x f x x x x +≤-??

=-<≤??-+>?

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故

()1

f x ≤等价于|2|4a +≥．

由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是

(,6][2,)

-∞-+∞U ．