人教版八年级上册数学 全册全套试卷培优测试卷

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板

45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)

45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：

()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，

()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00

)45(a ≤≤时，探索

DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．

【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；

（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?,由FEM CAM C ∠=∠+∠，

30C ∠=?， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=?，即可利用三角形内角和求出答案.

【详解】

()1当a 为15时，//AB CD ，

理由：由图()2，若//AB CD ，则30

BAC C ∠=∠=，

453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-?=?， 所以，当a 为15时，//AB CD ．

注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15， 第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ， 这两种解法都是正确的．

()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?

证明：

,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=?,

30FEM CAM ∴∠=∠+?, EFM BDC DBM ∠=∠+∠,

DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,

180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=?,

3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+?+?=?,

1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=?--=?,

所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.

【点睛】

此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.

2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以

B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不

变时，整式2253m n +-化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=1

2

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】

（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-. （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1

2

(EM-ON). 【详解】

（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°

, ∵ABC △为等腰直角三角形， ∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°, ∵∠QAC+∠ACQ=90°, ∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB, ∴AQC BOA ?(AAS), ∴CQ=AO,AQ=BO, ∵OA=2,OB=4, ∴CQ=2,AQ=4, ∴OQ=6, ∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,

∴∠BPD=90°,

∵ABD △是等腰直角三角形， ∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°, ∴∠ABO=∠BDP ,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°, ∴AOB BPD ? ∴AO=BP ,

∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()

23,0-, ∴OA=3 ∴m+n=23

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23 ∴整式2253m n +-3- （3）()1

2

EN EM ON =

- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.

∵OBM为等边三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,

∵OE=OB,

∴OE=OM=BM,

∴∠3=∠EMO=15°,

∴∠BEM=30°,∠BME=45°,

∵OF⊥EB,

∴∠EOF=∠BME,

∴ENO BGM

,

∴BG=EN,

∵ON=MG,

∴∠2=∠3,

∴∠2=15°,

∴∠EBG=90°,

∴BG=1

2 EG,

∴EN=1

2 EG,

∵EG=EM-GM,

∴EN=1

2

(EM-GM),

∴EN=1

2

(EM-ON).

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.

3．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.

（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD

（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的

点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+1

2

BC+CD.

【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；

（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；

（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；

（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=1

2

BC，即可得出结论．

【详解】

（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，

在△ABE和△AFE中，

AB AF BAE FAE AE AE ?

∠??

∠??＝＝＝， ∴△ABE ≌△AFE （SAS ）， （2）∵△ABE ≌△AFE ， ∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ， ∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE ， ∴FE=CE ，

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠DEF=∠DEC ， 在△DEF 和△DEC 中，

FE CE DEF DEC DE DE ?

∠??

∠??＝＝＝， ∴△DEF ≌△DEC （SAS ）， ∴DF=DC ， ∵AD=AF+DF ， ∴AD=AB+CD ；

（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE=

1

2

BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ）， △DEG ≌△DEC （SAS ），

∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ， ∵BE=CE ， ∴FE=GE ，

∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°， ∴∠AEF+∠GED=60°， ∴∠GEF=60°， ∴△EFG 是等边三角形， （2）∵△EFG 是等边三角形， ∴GF=EF=BE=

1

2BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+

1

2

BC ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

4．如图（1），在ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，

F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=?． （1）求证：DEF 为等腰直角三角形；

（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；

（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持

90EDF ∠=?，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析． 【解析】 【分析】

（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得

DEF 为等腰直角三角形；

（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ?ADF +S ?ADE =S ?BDE +S ?CDF ，以此进行分析计算求出四边形

AEDF 的面积即可；

（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得

DEF 为等腰直角三角形. 【详解】

解：（1）证明：如图①，连接AD.

∵∠BAC=90?,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，AD=BD ， ∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°， 又∵∠3+∠4=90°， ∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDEF为等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BD E+S?CDF，

∴ S?ABC=2 S四边形AEDF,

∴S四边形AEDF=3.5 .

（3）是.如图②，连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC,AD=BD ，

∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠DAF=∠DBE，

∵∠EDF=90°，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4,

在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴△DEF为等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

5．在等边ABC中，点D是边BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E.连接CE并延长，交射线AD于点F.

（1）如图，连接AE，

①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；

（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.

【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解. 【解析】 【分析】

（1）①根据轴对称性，即可得到答案；

②由轴对称性，得：AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，由ABC 是等边三角形，得AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解； （2）作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，易证?FCG 是等边三角形，得GF=FC ，再证?ACG ??BCF(SAS)，从而得AG=BF ，进而可得到结论. 【详解】

（1）①∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ， ∴AB 和AE 关于射线AD 的对称， ∴AB=AE.

故答案是：AB=AE ；

②∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ， ∴AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α， ∵ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠EAC=60°-2α，AE=AC ，

∴∠ACE=

1

180(602)602αα??--=+?

?， ∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.

（2）AF-EF=CF ，理由如下：

作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，

∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴?FCG是等边三角形，

∴GF=FC，

∵ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=α.

在?ACG和?BCF中，

∵

CA CB

ACG BCF

CG CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴?ACG??BCF(SAS)，

∴AG=BF，

∵点B关于射线AD的对称点为点E，

∴AG=BF=EF，

∵AF-AG=GF，

∴AF-EF=CF.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.

（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；

（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到

∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明

△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.

（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.

【详解】

（1）∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=8，

∵AB=12，

∴12-8＜AE＜12+8，

即4＜AE＜20，

∵D为AE中点

∴2＜AD＜10；

（2）延长AF到H，使AF=HF，

由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，

∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAE+∠CAD=180°，

又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，

∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，

∴∠ACH+∠CAD=180°，

故∠BAE= ACH，

又AB=AC，AD=AE

∴△BAE≌△ACH（SAS），

故BE=AH,又AH=2AF

∴BE= 2AF.

（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：

延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，

由题意得△DBF≌△ADG，

∴FD=GD，BF=AG,

∵DE⊥DF，

∴DE垂直平分GF,

∴EF=EG,

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

又∠B=∠DAG，

∴∠DAG +∠CAB=90°

∴∠EAG=90°，

故EG2=AE2+AG2，

∵EF=EG, BF=AG

∴EF2=AE2+BF2，

则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.

7．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．

(1)求证：∠BAD=∠EDC；

(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.

（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.

【详解】

解：(1)如图1，

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，

又∵DE=DA，

∴∠E=∠DAE，

∴∠BAD=∠EDC．

(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，

∵DE=DA，

∴DM=DA，

由(1)可得，∠BAD=∠EDC，

∴∠MDC=∠BAD，

∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，

∴∠MDC+∠ADB=120°，

∴∠ADM=60°，

∴△ADM是等边三角形，

∴AD=AM．

【点睛】

本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.

8．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点

E、F．

①求证：∠1＝∠2；

②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；

（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，

求ABF

ACF

S

S的值．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2

【解析】

【分析】

（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；

②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；

（2）在BF上截取BK＝

AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S

△ABK

＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；

【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AD⊥BN，

∴∠ADB＝90°，

∵∠MBN＝30°，

∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，

∴∠1＝∠2

②证明：如图2中，

在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°， ∴BF ＝2DF ， ∵BF ＝2AF ， ∴BF ＝AD ，

∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ， ∴△BFC ≌△ADB ， ∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°， ∴BF ⊥CF

（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK

．

∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1， ∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ， ∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ， ∴∠1+∠4＝∠2+∠4 ∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ， ∴△ABK ≌CAF ，

∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，

∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ， ∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ， ∴AF ＝FK ＝BK ， ∴S △ABK ＝S △AFK ，

∴

ABF

AFC

S 2S ??=． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

9．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；

（2）求证：△AOC≌△BEC；

（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；

（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．

【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得

∠BFM的度数；

（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．

【详解】

(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°；

∴线段AM为BC边上的高，

∴∠CAM=1

2

∠BAC=30°，

故答案为60，30°；

（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE.

在△ADC和△BEC中，

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)；

（3）补全图形如下：

由（1）（

2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，

∴∠CBE=∠CAM=30°，

∵∠BMF=90°，

∴∠BFM=60°；

（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CBE=∠CAD=30°，

又∵∠AMC=∠BMO，

∴∠AOB=∠ACB=60°.

即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.

10．（阅读理解）

截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.

解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.

根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________ （拓展延伸）

（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由; （知识应用）

（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.

【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）

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+ 【解析】 【分析】

（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ?=∠=，结合120BDC ?∠=知

180ABD ACD ?∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ?得

,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论；

（2） 同理可证ABD ACE ?得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得

222DA AE DE +=，等量代换即得结论；

（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知

2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.

【详解】

解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，

ABC 是等边三角形

,60AB AC BAC ?∴=∠= 120BDC ?∠= 180ABD ACD ?∴∠+∠=

又

180ACE ACD ?∠+∠=

ABD ACE ∴∠=∠ ()ABD ACE SAS ∴?

,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠

60BAC ?∠=

60BAD DAC ?∴∠+∠= 60DAE DAC CAE ?∴∠=∠+∠=

ADE ∴是等边三角形

DA DE DC CE DC DB ∴==+=+

（2）2DA DB DC =+

延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，

90BAC ?∠=，90BDC ?∠= 180ABD ACD ?∴∠+∠=

又

180ACE ACD ?∠+∠=

ABD ACE ∴∠=∠

,AB AC CE BD ==

()ABD ACE SAS ∴?

,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠ 90DAE BAC ?∴∠=∠=

222DA AE DE ∴+=

222()DA DB DC ∴=+

2DA DB DC =+

（3）连接PQ ，