《大学物理教程》郭振平主编第三章光的干涉知识点及课后习题答案

第三章 光的干涉

一、基本知识点

光程差与相位差的关系：

2c L v λ

φ

π?=

?

光的叠加原理：在真空和线性介质中，当光的强度不是很强时，在几列光波交叠的区域内光矢量将相互叠加。

相干叠加: 当两列光波同相时，即2k φπ?=，对应光程差L k λ?=，0,1,2,k =±± ，则合振幅有最大值为max 12A A A =+，光强也最大；当两列光波反相时，即()21k φπ?=+，对应光程差()

212

L k λ

?=+，0,1,2,k =±± ，则合振幅有最小值为min 12A A A =-，光

强也最小。这样的振幅叠加称为相干叠加。

光的干涉：振幅的相干叠加使两列光同时在空间传播时，在相交叠的区域内某些地方光强始终加强，而另一些地方光强始终减弱，这样的现象称为光的干涉。

产生干涉的条件： ① 两列光波的频率相同；

② 两列光波的振动方向相同且振幅相接近； ③ 在交叠区域，两列光波的位相差恒定。 相干光波：满足干涉条件的光波。 相干光源：满足干涉条件的光源。

获得相干光的方法：有分波阵面法和分振幅法。

分波阵面法: 从同一波阵面上分出两个或两个以上的部分，使它们继续传播互相叠加而发生干涉。

分振幅法: 使一束入射光波在两种光学介质的分界面处一部分发生反射，另一部分发生折射，然后使反射波和折射波在继续传播中相遇而发生干涉。

杨氏双缝干涉：

图3-1

杨氏双缝干涉实验装置如图3-1所示，亮条纹和暗条纹中心分别为

D x k

a

λ

=±，0,1,2,...k =：亮条纹中心 ()212D x k a λ

=±-，1,2,k = ：暗条纹中心 式中，a 为双缝间距；D 为双缝到观察屏之间的距离；λ为光波的波长。 杨氏双缝干涉条件：a ≈λ；x <

杨氏双缝干涉条纹间距: 干涉条纹是等间距分布的,任意相邻亮条纹(或暗条纹)中心之间的距离

1k k D

x x x a

λ+?=-=

杨氏双缝干涉条纹的特点：

(1) 以O 点（0k =的中央亮条纹中心）对称排列的平行的明暗相间的条纹； (2) 在θ 角不太大时条纹等间距分布,与干涉级k 无关。

（3）白光入射时，中央为白色亮条纹，其它级次出现彩色条纹, 有重叠现象。 半波损失: 光从光疏介质（折射率较小的介质）射向光密介质（折射率较大的介质）的分界面时，在反射光中可产生半波损失，而透射光中不产生半波损失。当光从光密介质射向光疏介质的分界面时，在反射光中也没有半波损失。

等倾干涉：几束光发生干涉时，光的加强或减弱的条件只决定于光束方向的一种干涉现

象。

薄膜的等倾干涉：

图3-2

如图3-2所示，设薄膜的厚度为e ，折射率是n ，薄膜周围介质的折射率是1n ，光射入薄膜时的入射角是i ，在薄膜中的折射角是γ，透镜L 将a 、b 两束平行光会聚到位于透镜焦平面的观察屏P 上使它们相互叠加形成干涉。

当1n n >时在反射光中要考虑半波损失，反射光中亮条纹和暗条纹分别对应

122k λ?

?=- ???：亮条纹

2k λ=：暗条纹

1,2,3,k = 。

由此可以看出，对厚度均匀的薄膜，在n 、1n 、2n 和e 都确定的情况下，对于某一波长而言，两反射光的光程差只取决于入射角。因此，以同一倾角入射的一切光线，其反射相干光有相同的光程差，并产生同一干涉条纹。换句话说，同一条纹都是由来自同一倾角的入射光形成的。这样的条纹称为等倾干涉条纹。

由于透射光中没有半波损失，透射光中的等倾干涉条纹亮条纹和暗条纹分别对应

2k λ=，

()

2212

k λ

=+，

1,2,3,k = 。

劈尖的等厚干涉：

图3-3

如图3-3所示，折射率为1n 的两块玻璃片，一端互相叠合，另一端夹一细金属丝或薄金属片，这时，在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为空气劈尖。

劈尖厚度等于e 处反射光干涉明纹和暗纹分别对应 2,1,2,3,2

ne k k λ

λ+

==

()221,0,1,2,3,22

ne k k λ

λ

+

=+= 这类光在厚度不同的薄膜表面发生干涉时，光的加强或减弱的条件只决定于膜的厚度的一种干涉现象称为等厚干涉。

对于单色光，劈尖干涉形成的干涉条纹是等间距的，且条纹的间距只与劈尖的夹角θ有关。θ愈小，干涉条纹愈疏；θ愈大，干涉条纹愈密。当θ大到一定程度时，干涉条纹将密得无法分开。所以，一般只有在劈尖夹角很小的情况下，才能观察到劈尖的干涉条纹．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。 牛顿环：把一个曲率半径R 很大的平凸透镜A 放在一块平面玻璃板B 上，其间有一厚度逐渐变化的劈尖形空气薄层，如图3-4（a ）。用单色光垂直照射，从反射光中可以看到一组明暗相间的圆环，如图3-4（b ），这些环形的干涉条纹就叫做牛顿环。

图

3-4

一般R e >>，由于有半波损失，牛顿环中心O 点处是暗点。从中心计第k 个暗环的半径为

0,1,2,r k ==

第k 个亮环的半径为

1,2,r k ==

二、典型习题解题指导

3-1 在杨氏实验装置中，光源波长为0.64μm ，两缝间距为0.4mm ，光屏离缝的距离为50 cm 。

1) 试求光屏上第一亮条纹与中央亮条纹之间的距离；

2) 若P 点离中央亮条纹为0.1 mm ，则两束光在P 点的相位差是多少? 3) 求P 点的光强度和中央点的光强度之比。 解：1) 由D

x k d

λ=

得第一亮条纹（k=1）与中央亮条纹（k=0）之间的距离 6

3103

0.50.64100.810m =0.8mm 0.410

D x x x d λ---???=-===?? 2) 光程差

m D xd 83

31085

.0104.0101.0---?=???==δ 相应的位相差

4

104.61082278π

πδλπ

?=???==?-- 3) 两束相干光在空间某点相遇时合成光矢量的光强为 ??++=cos 22121I I I I I

因21I I =，有

2

cos 42

1??=I I 中央明纹相位差0=??，光强104I I = P 点相位差4

π

?=

?，该点的光强度和中央明纹的光强度之比

8536.08

cos 2cos 220==?=π?I I 3-2 在杨氏实验装置中，两小孔的间距为0.5 mm ，光屏离小孔的距离为50 cm 。当 以折射率为1.60的透明薄片贴住小孔2S 时，如图3-5所示，发现屏上的条纹移动了1cm ，试确定该薄片的厚度。

图3-5

解：未插入透明薄片时，由1S 、2S 发出的光程差为

D

d

x r r 1121=

-=δ 设透明薄片的厚度为e ，覆盖上透明薄片后光程差为

()D

d

x r ne e r 2122=

-+-=δ 由此带来的附加光程差为

()211n e δδδ?=-=-=

D

d

x x )(12-

得： ()()mm D n d x x e 24

121067.15

.016.110501.01)(--?=?-??=--=

3-3 在双缝实验中，缝间距为0.45mm ，观察屏离缝115cm ，现用读数显微镜测得10个干涉条纹(准确说是11个亮条纹或暗条纹)之间的距离为15mm ，试求所用波长。用白光实验时，干涉条纹有什么变化？

解：按题意，115cm D =，a = 0.45mm ， 条纹间距mm a D x 5.110

15

===

?λ 所以 m D xa μλ587.015

.11045.0105.13

3=???=?=--

由于条纹间距与波长成正比，因此用白光实验时，则在白色的中央明纹的两侧出现由紫到红的彩色条纹，且各色光会发生重叠。设红光和紫光重叠级次为k ，有

()紫红λλ1+=k k 即

()1400760+=k k 解得

1.136

40

==

k 说明在中央明纹的两侧只有第一级彩色光谱是清晰可辨的，第二级干涉条纹开始发生重叠。 3-4 一波长为0.55μm 的绿光入射到间距为0.2mm 的双缝上，求离双缝2m 远处的观察屏上干涉条纹的间距。若双缝间距增加到2mm ，条纹间距又是多少？ 解：633

20.5510 5.510m =5.5mm 0.210

D x d λ---???===?? 64

3

20.5510 5.510m =0.55mm 210D x d λ---??'?===?'?

3-5 在菲涅耳双面镜干涉实验中，光波长为0.5μm 。光源和观察屏到双面镜交线的距离分别为0.5 m 和1.5m ．双面镜夹角为10-3 rad 。 1) 求观察屏上条纹间距；

2) 屏上最多可以看到多少条亮条纹？

图3-6

分析：菲涅耳双面镜干涉实验如图3-6所示，光源S 经镜M 1C 和M 2C 所成的虚像S 1

和S 2相当于双缝干涉实验中的两个孔，由于两面镜间交角ε很小，近似有

12SC S C S C r ===

设SC 和M 1C 所成夹角为α，SC 和M 2C 的延长线所成夹角为β，由几何关系可见S 1C 和S 2C 所成夹角为

222θβα=-

∴ αθβ+=

又 εαβ+=

∴ εθ=

等效双缝间距

2sin a r ε= 代入双缝干涉公式即可。

解：1）按题意，光波长λ=0.5μm ，双面镜夹角ε =10-3 rad ，光源到双面镜交线的距离r = 0.5 m ，观察屏到双面镜交线的距离L = 1.5m ，而“双缝”S 1和S 2到观察屏的距离 cos D L r ε=+ 则观察屏上干涉条纹间距为

()633

1.50.50.510cos 102sin 220.510

D L r L r x m a r r ελλλεε---+??++?==≈==?? 2）成像的范围为222x Ltg L εε=≈，则屏上可以看到的亮条纹数

336

22222 1.51020.5103()(1.50.5)0.5102x L L r L r x L r r εεελλε

---??????=====+?++?? 屏上共可看到3条亮条纹，除中央明条纹外，在其上、下侧还可看到一级亮条纹。

3-6 试求能产生红光(0.7

λ=μm)的二级反射干涉条纹的肥皂薄膜厚度。已知肥皂膜的折射率为1.33，且平行光与法向成30?角入射。

解：由反射光中亮条纹满足的条件

1

2

2

kλ

??

=-

?

??

得二级反射干涉条纹的肥皂薄膜厚度

nm

m

i

n

n

k

e426

10

26

.4

23

.1

4

10

1.2

30

sin

33

.1

2

10

7.0

2

1

2

sin

2

2

1

7

6

2

2

6

2

2

1

2

=

?

=

?

?

=

?

-

?

??

?

?

?

?-

=

-

?

?

?

?

?-

=-

-

-

λ

3-7 波长为0.40～0.76 μm的可见光正入射在一块厚度为6

1.210-

?m、折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强？

解:此题为等倾干涉相长现象, 薄膜（玻璃片）厚度确定，求波长，由相干条件:

022

1

2cos()

2

d n i kλ

=+

代入数据：n2 =1.5、d0= 1.2×10-6m、i2 = 00

解出波长：

6

2 1.210 1.53600

1/21/2

nm

k k

λ

-

???

==

++

k = 0、1、2、3、……

将干涉级数k = 0、1、2、3、…分别代入，解出在可见光范围内的光波波长；

k = 5 时，nm

5.

654

=

λ；k = 6 时，nm

8.

553

=

λ

k = 7 时，nm

480

=

λ；k = 8 时，nm

5.

423

=

λ

3-8 图3-7绘出了测量铝箔厚度D的干涉装置结构，两块薄玻璃板尺寸为75mm×25mm。在钠黄光(0.5893

λ=μm)照明下，从劈尖开始数出60个条纹(准确说应为61个亮条纹或暗条纹)，相应的距离是30mm，试求铝箔的厚度D=？若改用绿光照明，从劈尖开始数出100个条纹．其间距离为46.6mm，试求这绿光波长。

图 3-7

解：1）由劈尖反射光干涉亮条纹的条件 2,1,2,3,2

ne k k λ

λ+==

得：

()n

e n

e 25.061,4611λ

λ

-=

=

由图3-7的几何关系有

3

1

611030sin tan -

?-=≈=e e L D θθ 得：

()m m L

L e e D μμλ25.415893.07011211012010303

3161=?=-?=

?-=

-- 2) 由 ()m L L e e D μλλ25.414

.186200

701201104.186106.463

31101=?=-?=?-=-- 得：

m m μλ5492.0105492.014000

1025.414.18666

=?=??=

-- 3-9 如图3-8所示的尖劈形薄膜，右端厚度h 为0.005 cm ，折射率 1.5n =，波长为0.707μm 的光以30?角入射到上表面，求在这个面上产生的条纹数。若以两块玻璃片形成的空气尖劈代替，产生多少条条纹？

图3-8

解：1）根据薄膜干涉的反射光中亮条纹的条件

1

2

2

kλ

??

=-

?

??

得第k级条纹处薄膜厚度

()

i

n

n

k

e

2

2

1

2sin

4

1

2

-

-

=

λ

相邻条纹处薄膜（劈尖）的厚度差

()()

i

n

n

i

n

n

k

i

n

n

k

e

e

e

k

k2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

sin

2

sin

4

1

2

sin

4

1

2

-

=

-

-

-

-

+

=

-

=

?

+

λ

λ

λ

产生的条纹数

200 h

N

e

====

?

2）以两块玻璃片形成的空气尖劈上表面反射光亮条纹光程差

2cos,0,1,2,

2

L n e i k k

λ

λ

'

?=+==

得第k级条纹处薄膜厚度

()

21

4cos

k

e

n i

λ

-

'=

相邻条纹处薄膜（劈尖）的厚度差

()()

1

000

2121

4cos4cos2cos

k k

k k

e e e

n i n i n i

λλλ

+

+-

'''

?=-=-=

产生的条纹数

5

6

2c o s2510

c o s30123

0.70710

h h n i

N

eλ

-

-

??

'===?=

'

??

3-10 在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用波长为589.3 nm 的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为34.010l -?=?m ；当用波长未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为33.8510l -'?=?m ，求该单色光的波长。

分析: 牛顿环装置产生的干涉暗环半径λkR r =

，其中k ＝0，1，2…，k ＝0，对

应牛顿环中心的暗斑，k ＝1 和k ＝4 则对应第一和第四暗环，由它们之间的间距

λR r r l =-=?14，可知λ∝?l ，据此可按题中的测量方法求出未知波长λ′．

解: 根据分析有

λ

λ'=?'?l l 故未知光波长 λ′＝546 nm

3-11 在牛顿环实验中，当透镜与平板玻璃间为空气时，第10个亮环的直径为21.410-?m ；当在其间充满某种均匀液体时(假定液体的折射率小于透镜和平板玻璃的折射

率)，第10个亮环的直径变为21.2710-?m ，试求这种液体的折射率。

分析: 当透镜与平板玻璃间充满某种液体（n 2 ＞1），且满足n 1 ＞n 2 ，n 2 ＜n 3或n 1 ＜n 2 ，n 2 ＞n 3 时，在厚度为d 的地方，两相干光的光程差为2

22λ

+=?d n 。由此可推导出

牛顿环暗环半径2n kR r λ=和明环半径221n R k r λ??? ?

?

-=，这里明、暗环半径和充入的介

质折射率n 2 有关。

解：当透镜与玻璃之间为空气时，k 级明纹的直径为

λR k r d k k ??? ?

?

-==2122

当透镜与玻璃之间为液体时，k 级明纹的直径为

2k k d r ''== 解上述两式得

2

2

2 1.4 1.221.27k k d n d ????

=== ? ?'?

???

3-12 在牛顿环装置中，透镜的曲率半径40R =cm ，用单色光垂直照射，在反射光中观

察某一级暗环的半径为 2.5r =mm ，现把平板玻璃向下平移0 5.0d =μm ，上述被观察的暗环半径变为何值？

图3-9 解：由牛顿环暗环公式：

r =012k = ，，，

有：

m kR 3105.2-?=λ

得： ()m R r k 62

3210625.154

.0105.2--?=?==λ 再由 λkR r ==

Re 2求得该暗环处气隙厚度

m k e 61081.72

-?==

λ

平板玻璃向下平移0 5.0d =μm 后，如图3-9所示。该暗环对应的光程差满足

2

12220λ

λ

）（）（+±=+

+k d e ，(k=1，2，…)

取正号，有

λk d e =+）（

02 得

022d k e -=λ

m Rd kR r 3660105.1100.54.0210625.154.02Re 2---?=???-??=-==λ

3-13 利用牛顿环装置可测量凹曲面镜的曲率半径，把已知的平凸透镜的凸面放置在待测的凹面上，如图3-10所示，在两镜面之间形成空气层，可观察到环状的干涉条纹。已知入射光的波长589.3λ=nm ，平凸透镜的半径为1102.3R =cm ，测得第4级暗环的半径4 2.25r =cm ，求待测凹面镜的曲率半径2R 。

图3-10

解：这是一个平凸透镜和凹面镜在底部内切而形成的干涉结构。不妨设12R R <（如图3-11所示）。由于两球面之间的空气层形成以两球心连线为轴的旋转空气劈，尤其是在傍轴区，在单色光垂直入射的条件下，能满足小角度劈的等厚干涉条件，获得等厚干涉圆环。 设半径为k r 的第k 级暗环处与平凸透镜底的距离为1e ，纵向对应凹面镜边缘与凹面镜底的距离为2e ，则反射光程差 ()1222122

e e k λ

λ

-+=±+（），(k=1，2，…)

取正号，有

()122e e k λ-= 得

221212222

k k r r k e e e R R λ

=-=-= 对于k =4, 有

()

7

222211114 5.893100.97291.023 2.2510k k R R r λ--??=-=-=? 凹面镜的曲率半径

2

1

1.0279 0.9729

R m ==

图3-11